Subgroups — #27557133

Order 13568.

2650 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133196	C₂	1	2	yes	maximal
2	#20283067	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#20280829	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20280090	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#20279193	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20278359	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20277329	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₂×C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#13133217	C₂²	1	4	yes	complemented
11	C₂×#13133196	—	2	16	no	—
12	C₂×#13133196	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#13133196	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#13133196	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#13133196	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#11719919	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×C₂²⋊Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
19	#16810555	C₂²	1	16	yes	complemented
20	#16810544	C₂²	1	16	yes	complemented
21	#16810529	C₂²	1	8	yes	complemented
22	#16810521	C₂²	1	16	yes	complemented
23	#16810498	C₂²	1	16	yes	—
24	#16810498	C₂²	1	16	yes	—
25	#16810493	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#16810483	C₂²	1	16	yes	—
27	C₂⁴×C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
31	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#95×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
34	C₂²×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
35	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
39	#13133217	—	4	8	no	—
40	#13133196	—	2	16	no	—
41	#13133196	—	2	16	no	—
42	#13133196	—	2	16	no	—
43	#13133196	—	2	16	no	—
44	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	16	yes	—
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	16	yes	—
49	C₂×#11719919	—	2	16	no	—
50	C₂×#11719919	C₂³	1	8	yes	—
51	C₂×#11719919	C₂³	1	8	yes	—
52	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	16	no	—
53	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂³	1	8	yes	—
54	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂³	1	8	yes	—
55	#13133124	C₂³	1	32	yes	—
56	C₂⁵×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
58	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	8	yes	—
59	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	Q₈	1	16	yes	complemented
65	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	8	yes	—
66	C₂×C₄²×C₅₃	—	4	4	no	—
67	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
69	#95×C₅₃	C₂³	1	8	yes	—
70	C₂⁴×C₅₃	—	4	2	no	—
71	C₂⁴×C₅₃	—	4	2	no	—
72	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
73	C₂⁴×C₅₃	C₂×Q₈	1	8	yes	—
74	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	2	yes	—
75	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	16	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
91	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
93	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
94	C₂²×Dic₅₃	—	4	8	no	—
95	C₂²×Dic₅₃	—	4	8	no	—
96	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
97	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
102	C₂×Dic₁₀₆	—	4	32	no	—
103	C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	32	yes	complemented
104	C₄²×C₅₃	—	2	8	no	—
105	C₄²×C₅₃	—	4	4	no	—
106	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	16	no	—
107	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	16	no	—
108	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
109	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	4	16	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	4	16	no	—
112	#11719919	—	2	16	no	—
113	#11719919	—	2	16	no	—
114	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
115	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
117	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
119	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
120	C₂³×C₅₃	—	4	16	no	—
121	C₂³×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	16	yes	complemented
122	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
123	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
124	C₂³×C₅₃	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
125	C₂³×C₅₃	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
126	C₂³×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	4	16	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	16	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
141	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	2	16	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	16	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	4	16	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	4	16	no	—
147	Dic₁₀₆	—	4	16	no	—
148	Dic₁₀₆	—	4	16	no	—
149	#35011	—	53	1	no	maximal, Sylow
150	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
155	C₂²×C₅₃	—	2	16	no	—
156	C₂²×C₅₃	—	4	16	no	—
157	C₂²×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
158	C₂²×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
159	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₅₃	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
161	C₂²×C₅₃	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
162	C₂²×C₅₃	#585	1	2	yes	—
163	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
164	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
165	C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
166	C₄×C₅₃	#534	1	4	yes	—
167	Dic₅₃	—	4	8	no	—
168	Dic₅₃	—	4	8	no	—
169	C₂²×C₂²⋊Q₈	—	53	2	no	—
170	#2857	—	53	4	no	—
171	#2659	—	53	4	no	—
172	#2583	—	53	8	no	—
173	#2502	—	53	4	no	—
174	#2434	—	53	4	no	—
175	#2315	—	53	4	no	—
176	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	D₅₃	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₅₃	—	2	8	no	—
178	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
179	C₂×C₅₃	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₅₃	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₅₃	#3449	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₅₃	#3501	1	4	yes	—
183	C₂³×Q₈	—	53	2	no	—
184	C₂⁴×C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	4	no	—
186	C₂×C₂²⋊Q₈	—	53	4	no	—
187	C₂×C₂²⋊Q₈	—	53	4	no	—
188	C₂×C₂²⋊Q₈	—	53	4	no	—
189	C₂×C₂²⋊Q₈	—	53	4	no	—
190	C₂×C₂²⋊Q₈	—	106	16	no	—
191	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
192	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
193	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
194	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
196	#398	—	53	16	no	—
197	#395	—	53	16	no	—
198	#391	—	53	8	no	—
199	#389	—	53	16	no	—
200	#385	—	53	16	no	—
201	#385	—	53	16	no	—
202	#384	—	53	4	no	—
203	#380	—	53	16	no	—
204	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
205	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
206	C₂×#95	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
207	C₅₃	#35011	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
208	C₂⁵	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
210	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
211	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
212	C₂²×Q₈	—	212	8	no	—
213	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
215	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
216	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	8	yes	—
217	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
218	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
219	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
220	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
221	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
222	C₄⋊Q₈	—	212	8	no	—
223	C₂²⋊Q₈	—	106	16	no	—
224	C₂²⋊Q₈	—	106	16	no	—
225	C₂²⋊Q₈	—	106	16	no	—
226	C₂²⋊Q₈	—	106	16	no	—
227	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
228	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
229	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
230	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
231	C₂×C₄⋊C₄	—	53	16	no	—
232	C₂×C₄⋊C₄	—	53	16	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
234	C₂×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
235	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
236	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
237	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
238	C₂×C₂²⋊C₄	Dic₁₀₆	1	16	yes	complemented
239	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	8	yes	—
240	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
241	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
242	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
243	#95	—	53	32	no	—
244	#95	C₂²×D₅₃	1	8	yes	—
245	C₂⁴	—	4	2	no	—
246	C₂⁴	—	4	2	no	—
247	C₂⁴	C₂×Dic₁₀₆	1	8	yes	—
248	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
249	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
250	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	2	yes	—
251	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
252	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
253	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
254	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
255	C₂×Q₈	—	212	32	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
264	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
265	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
266	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
267	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
268	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
269	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	16	yes	complemented
270	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	8	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	8	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	8	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
278	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
279	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
280	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
281	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
282	C₄⋊C₄	—	212	16	no	—
283	C₄⋊C₄	—	212	16	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
286	C₂²⋊C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	32	yes	complemented
287	C₄²	—	2	8	no	—
288	C₄²	—	4	4	no	—
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	—	2	4	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	4	no	—
293	C₂³	—	4	4	no	—
294	C₂³	—	4	16	no	—
295	C₂³	—	4	4	no	—
296	C₂³	#13133217	1	16	yes	complemented
297	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	2	yes	—
298	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	4	yes	—
299	C₂³	C₂²×Dic₁₀₆	1	8	yes	—
300	C₂³	C₂²×Dic₁₀₆	1	4	yes	—
301	C₂³	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
302	Q₈	—	212	16	no	—
303	Q₈	—	212	16	no	—
304	C₂×C₄	—	2	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	16	no	—
310	C₂×C₄	—	4	8	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	16	no	—
313	C₂×C₄	—	106	8	no	—
314	C₂×C₄	—	106	8	no	—
315	C₂×C₄	—	106	16	no	—
316	C₂×C₄	—	106	16	no	—
317	C₂×C₄	—	212	16	no	—
318	C₂×C₄	—	212	16	no	—
319	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₀₆	1	16	yes	—
323	C₂×C₄	#13133262	1	4	yes	—
324	C₂²	—	2	8	no	—
325	C₂²	—	2	16	no	—
326	C₂²	—	2	4	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	4	16	no	—
331	C₂²	C₂×#13133217	1	4	yes	—
332	C₂²	C₂×#13133217	1	8	yes	—
333	C₂²	C₂³×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂³×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
335	C₂²	C₂×#13133262	1	2	yes	—
336	C₂²	#16811459	1	2	yes	—
337	C₄	—	2	16	no	—
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	2	4	no	—
340	C₄	—	212	8	no	—
341	C₄	—	212	8	no	—
342	C₄	#16811185	1	4	yes	—
343	C₂	—	2	4	no	—
344	C₂	—	2	8	no	—
345	C₂	C₂²×#13133217	1	1	yes	characteristic
346	C₂	C₂×#16811185	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#20288048	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#20288518	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂⁴×D₅₃
commutator, socle, cosocle	C₂³×C₅₃	C₂⁵
Fitting	C₂×C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂
prime radical	C₂⁵×C₅₃	C₂³
hypercenter	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#35011
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×C₂²⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20283067	C₂	semidirect
3. #20280829	C₂	semidirect
4. #20280090	C₂	semidirect
5. #20279193	C₂	semidirect
6. #20278359	C₂	semidirect
10. C₂×#13133217	C₂²	semidirect
19. #16810555	C₂²	semidirect
20. #16810544	C₂²	semidirect
21. #16810529	C₂²	semidirect
22. #16810521	C₂²	semidirect
25. #16810493	C₂²	semidirect
64. C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	Q₈	semidirect
87. C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	semidirect
103. C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×Q₈	semidirect
121. C₂³×C₅₃	C₄⋊Q₈	semidirect
207. C₅₃	#35011	semidirect
238. C₂×C₂²⋊C₄	Dic₁₀₆	semidirect
269. C₂²×C₄	C₂×Dic₁₀₆	semidirect
286. C₂²⋊C₄	C₂×Dic₁₀₆	semidirect
296. C₂³	#13133217	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133196	2
#20283067	2
#20280829	2
#20280090	2
#20279193	2
#20278359	2
#20277329	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	2
#35011	53