Subgroups — C₂²×#16810627 #28247614

Order 13568.

7214 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 304 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×D₂₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂³×#11719917	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16810627	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×#13133137	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂²×#117×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂⁵×D₅₃	—	2	1	no	—
7	C₂³×D₂₁₂	—	2	1	no	—
8	C₂³×D₂₁₂	—	2	6	no	—
9	C₂³×D₂₁₂	—	2	8	no	—
10	C₂³×D₂₁₂	C₄	1	16	yes	complemented
11	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	12	yes	—
13	C₂²×#11719917	—	2	8	no	—
14	C₂²×#11719917	C₂²	1	12	yes	complemented
15	C₂³×#88322	C₂²	1	2	yes	complemented
16	#16810627	C₂²	1	64	yes	direct product factor
17	C₂×#13133137	C₂²	1	48	yes	complemented
18	C₂⁴×C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#117×C₅₃	—	2	6	no	—
20	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	12	yes	complemented
21	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	complemented
22	C₂²×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
23	C₂²×C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
24	C₂⁴×D₅₃	—	2	16	no	—
25	C₂⁴×D₅₃	—	2	2	no	—
26	C₂⁴×D₅₃	—	2	12	no	—
27	C₂⁴×D₅₃	—	4	16	no	—
28	C₂²×D₂₁₂	—	2	96	no	—
29	C₂²×D₂₁₂	—	2	16	no	—
30	C₂²×D₂₁₂	—	2	6	no	—
31	C₂²×D₂₁₂	—	2	8	no	—
32	C₂²×D₂₁₂	—	2	12	no	—
33	C₂²×D₂₁₂	—	2	24	no	—
34	C₂²×D₂₁₂	—	2	48	no	—
35	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	16	yes	—
36	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	96	yes	complemented
37	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	12	yes	—
38	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	16	yes	—
39	C₂×#11719917	—	2	48	no	—
40	C₂×#11719917	C₂³	1	16	yes	complemented
41	C₂²×#88322	—	2	8	no	—
42	C₂²×#88322	C₂³	1	12	yes	complemented
43	#13133137	C₂³	1	64	yes	complemented
44	C₂⁵×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
46	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	6	yes	—
49	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	8	yes	—
50	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
52	#117×C₅₃	—	2	24	no	—
53	#117×C₅₃	C₂³	1	16	yes	complemented
54	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
55	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	12	yes	complemented
56	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
57	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	12	no	—
58	C₂⁴×C₅₃	—	2	8	no	—
59	C₂⁴×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
60	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
61	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂³×D₅₃	—	2	16	no	—
63	C₂³×D₅₃	—	2	96	no	—
64	C₂³×D₅₃	—	2	12	no	—
65	C₂³×D₅₃	—	2	16	no	—
66	C₂³×D₅₃	—	4	96	no	—
67	C₂³×D₅₃	—	4	128	no	—
68	C₂³×D₅₃	—	4	16	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	24	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	3	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	24	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	3	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
82	C₂×D₂₁₂	—	2	48	no	—
83	C₂×D₂₁₂	—	2	192	no	—
84	C₂×D₂₁₂	—	2	96	no	—
85	C₂×D₂₁₂	—	2	12	no	—
86	C₂×D₂₁₂	—	2	24	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	2	32	no	—
89	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	48	yes	—
90	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	64	yes	complemented
91	C₂×D₂₁₂	C₂⁴	1	8	yes	—
92	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
93	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂⁴	1	8	yes	complemented
94	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
95	C₄²×C₅₃	—	2	16	no	—
96	#11719917	—	2	32	no	—
97	C₂×#88322	—	2	24	no	—
98	C₂×#88322	C₂⁴	1	8	yes	complemented
99	C₂³×C₅₃	—	2	24	no	—
100	C₂³×C₅₃	—	2	32	no	—
101	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
102	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
103	C₂³×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
104	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
105	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
106	C₂²×D₅₃	—	2	48	no	—
107	C₂²×D₅₃	—	2	64	no	—
108	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
109	C₂²×D₅₃	—	4	384	no	—
110	C₂²×D₅₃	—	4	64	no	—
111	C₂²×D₅₃	—	4	48	no	—
112	C₂²×D₅₃	—	4	64	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	4	24	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
116	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
117	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
118	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	6	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	8	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	6	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	8	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
125	D₂₁₂	—	2	48	no	—
126	D₂₁₂	—	2	64	no	—
127	D₂₁₂	—	2	8	no	—
128	D₂₁₂	C₂³×C₄	1	16	yes	—
129	#88322	—	2	8	no	—
130	C₂²×#418	—	53	1	no	maximal, Sylow
131	C₂²×C₅₃	—	2	48	no	—
132	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
133	C₂²×C₅₃	#418	1	16	yes	complemented
134	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
135	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
136	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	12	yes	—
137	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×D₅₃	—	2	16	no	—
139	C₂×D₅₃	—	4	128	no	—
140	C₂×D₅₃	—	4	96	no	—
141	C₂×D₅₃	—	4	16	no	—
142	C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
143	C₄×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
144	C₄×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
145	C₄×C₅₃	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₄×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂⁴×D₄	—	53	1	no	—
148	C₂³×M₁₆	—	53	1	no	—
149	C₂²×#117	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
150	C₂×#418	—	53	24	no	—
151	C₂²×#102	—	53	4	no	—
152	C₂×C₅₃	—	2	8	no	—
153	C₂×C₅₃	C₂×#418	1	12	yes	complemented
154	C₂×C₅₃	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₅₃	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
156	D₅₃	—	4	16	no	—
157	C₂⁶	—	106	1	no	—
158	C₂³×D₄	—	53	16	no	—
159	C₂³×D₄	—	53	2	no	—
160	C₂³×D₄	—	53	12	no	—
161	C₂³×D₄	—	106	8	no	—
162	C₂³×D₄	—	106	6	no	—
163	C₂³×D₄	—	106	1	no	—
164	C₂⁴×C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×M₁₆	—	53	12	no	—
166	C₂²×M₁₆	—	106	8	no	—
167	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
168	C₂×#117	—	2	6	no	—
169	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	12	yes	complemented
170	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
171	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
172	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
173	#418	—	53	64	no	—
174	C₂×#102	—	53	48	no	—
175	C₅₃	C₂²×#418	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
176	C₂⁵	—	106	12	no	—
177	C₂⁵	—	106	2	no	—
178	C₂⁵	—	106	16	no	—
179	C₂⁵	—	212	16	no	—
180	C₂⁵	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×D₄	—	53	16	no	—
182	C₂²×D₄	—	53	96	no	—
183	C₂²×D₄	—	53	12	no	—
184	C₂²×D₄	—	53	16	no	—
185	C₂²×D₄	—	106	8	no	—
186	C₂²×D₄	—	106	48	no	—
187	C₂²×D₄	—	106	12	no	—
188	C₂²×D₄	—	106	6	no	—
189	C₂²×D₄	—	106	24	no	—
190	C₂²×D₄	—	106	96	no	—
191	C₂²×D₄	—	106	16	no	—
192	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	8	yes	—
194	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	8	yes	—
195	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
196	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
197	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
198	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
199	C₂×M₁₆	—	53	16	no	—
200	C₂×M₁₆	—	106	48	no	—
201	C₂²×C₈	—	53	12	no	—
202	C₂²×C₈	—	106	8	no	—
203	#117	—	2	24	no	—
204	#117	C₂²×D₅₃	1	16	yes	complemented
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	12	yes	complemented
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
208	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
209	#102	—	53	64	no	—
210	C₂⁴	—	2	8	no	—
211	C₂⁴	—	106	96	no	—
212	C₂⁴	—	106	16	no	—
213	C₂⁴	—	106	16	no	—
214	C₂⁴	—	106	12	no	—
215	C₂⁴	—	212	128	no	—
216	C₂⁴	—	212	96	no	—
217	C₂⁴	—	212	16	no	—
218	C₂⁴	#11719921	1	8	yes	—
219	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
220	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	C₂×D₄	—	53	48	no	—
222	C₂×D₄	—	53	64	no	—
223	C₂×D₄	—	53	8	no	—
224	C₂×D₄	—	106	48	no	—
225	C₂×D₄	—	106	192	no	—
226	C₂×D₄	—	106	96	no	—
227	C₂×D₄	—	106	16	no	—
228	C₂×D₄	—	106	12	no	—
229	C₂×D₄	—	106	24	no	—
230	C₂×D₄	—	106	32	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
233	C₂²×C₄	#11719921	1	48	yes	—
234	C₂²×C₄	#11719921	1	8	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	24	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	24	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	3	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	12	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	3	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
244	M₁₆	—	106	32	no	—
245	C₂×C₈	—	53	8	no	—
246	C₂×C₈	—	106	24	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
248	C₄⋊C₄	C₂³×D₅₃	1	8	yes	complemented
249	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
250	C₄²	—	2	16	no	—
251	C₂³	—	2	32	no	—
252	C₂³	—	2	24	no	—
253	C₂³	—	106	64	no	—
254	C₂³	—	106	48	no	—
255	C₂³	—	106	8	no	—
256	C₂³	—	212	384	no	—
257	C₂³	—	212	64	no	—
258	C₂³	—	212	64	no	—
259	C₂³	—	212	48	no	—
260	C₂³	C₂×#11719921	1	24	yes	—
261	C₂³	C₂×#11719921	1	4	yes	—
262	C₂³	#13133242	1	8	yes	—
263	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
264	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	3	yes	—
265	D₄	—	53	16	no	—
266	D₄	—	106	48	no	—
267	D₄	—	106	64	no	—
268	D₄	—	106	8	no	—
269	C₂×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂×C₄	—	4	24	no	—
271	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	48	yes	—
272	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	12	yes	—
273	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	24	yes	—
274	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	8	yes	—
275	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	6	yes	—
276	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
277	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	3	yes	—
278	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	6	yes	—
279	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	8	yes	—
280	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
281	C₈	—	106	8	no	—
282	C₂²	—	2	48	no	—
283	C₂²	—	2	8	no	—
284	C₂²	—	106	16	no	—
285	C₂²	—	212	128	no	—
286	C₂²	—	212	96	no	—
287	C₂²	—	212	16	no	—
288	C₂²	#16810627	1	16	yes	direct product factor
289	C₂²	C₂²×#11719921	1	8	yes	—
290	C₂²	C₂²×#11719921	1	6	yes	—
291	C₂²	C₂×#13133242	1	12	yes	—
292	C₂²	C₂³×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
293	C₄	—	4	8	no	—
294	C₄	C₂²×#11719921	1	8	yes	—
295	C₄	C₂²×#11719921	1	6	yes	—
296	C₄	C₂³×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
297	C₄	C₂³×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
298	C₂	—	2	8	no	—
299	C₂	—	212	16	no	—
300	C₂	C₂×#16810627	1	12	yes	direct product factor
301	C₂	C₂³×#11719921	1	1	yes	characteristic
302	C₂	C₂²×#13133242	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃
commutator	C₄×C₅₃	C₂⁴×C₄
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₃
Fitting	C₂²×#117×C₅₃	C₂
socle	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
prime radical	C₂⁴×D₂₁₂	C₂
cosocle	C₂×C₄×C₅₃	C₂⁵
hypercenter	C₂²×#117	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₂²×#418
LCS	G ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ C₂²×#117

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂³×#11719917	C₂	semidirect
3. C₂×#16810627	C₂	direct (N × H)
4. C₂²×#13133137	C₂	semidirect
5. C₂²×#117×C₅₃	C₂	semidirect
10. C₂³×D₂₁₂	C₄	semidirect
14. C₂²×#11719917	C₂²	semidirect
15. C₂³×#88322	C₂²	semidirect
16. #16810627	C₂²	direct (N × H)
17. C₂×#13133137	C₂²	semidirect
20. C₂×#117×C₅₃	C₂²	semidirect
21. C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	semidirect
36. C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	semidirect
40. C₂×#11719917	C₂³	semidirect
42. C₂²×#88322	C₂³	semidirect
43. #13133137	C₂³	semidirect
53. #117×C₅₃	C₂³	semidirect
55. C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	semidirect
90. C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	semidirect
93. C₄⋊C₄×C₅₃	C₂⁴	semidirect
98. C₂×#88322	C₂⁴	semidirect
133. C₂²×C₅₃	#418	semidirect
149. C₂²×#117	D₅₃	semidirect
153. C₂×C₅₃	C₂×#418	semidirect
169. C₂×#117	C₂×D₅₃	semidirect
170. C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	semidirect
175. C₅₃	C₂²×#418	semidirect
204. #117	C₂²×D₅₃	semidirect
206. C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	semidirect
248. C₄⋊C₄	C₂³×D₅₃	semidirect
288. C₂²	#16810627	direct (N × H)
300. C₂	C₂×#16810627	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×D₂₁₂	2
C₂³×#11719917	2
C₂×#16810627	2
C₂²×#13133137	2
C₂²×#117×C₅₃	2
C₂²×#418	53

Subgroups — C22×#16810627 #28247614

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#16810627 #28247614