Subgroups — C₂²×#16810774 #28250392

Order 13568.

7126 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#11719923	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂²×#13133196	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16810774	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×#13133138	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂²×C₂²⋊#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂⁴×D₄×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
8	C₂²×#11719923	—	2	16	no	—
9	C₂²×#11719923	C₂²	1	24	yes	complemented
10	C₂³×#88322	C₂²	1	2	yes	complemented
11	C₂×#13133196	—	2	6	no	—
12	C₂×#13133196	C₂²	1	12	yes	complemented
13	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
14	C₂²×#11719919	—	2	1	no	—
15	C₂²×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
16	#16810774	C₂²	1	64	yes	direct product factor
17	C₂×#13133138	C₂²	1	24	yes	complemented
18	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	12	yes	complemented
19	C₂⁶×C₅₃	—	2	1	no	—
20	C₂³×D₄×C₅₃	—	2	16	no	—
21	C₂³×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
22	C₂³×D₄×C₅₃	—	2	6	no	—
23	C₂³×D₄×C₅₃	C₂²	1	12	yes	—
24	C₂³×D₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂⁴×C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
27	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	3	no	—
28	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	6	yes	complemented
29	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
30	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
31	C₂×#11719923	—	2	96	no	—
32	C₂×#11719923	C₂³	1	32	yes	complemented
33	C₂²×#88322	—	2	8	no	—
34	C₂²×#88322	C₂³	1	12	yes	complemented
35	#13133196	—	2	24	no	—
36	#13133196	C₂³	1	16	yes	complemented
37	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	3	no	—
38	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	complemented
39	C₂×#11719919	—	2	12	no	—
40	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	12	no	—
41	#13133138	C₂³	1	32	yes	complemented
42	C₂²⋊#88322	C₂³	1	16	yes	complemented
43	C₂⁵×C₅₃	—	2	16	no	—
44	C₂⁵×C₅₃	—	2	12	no	—
45	C₂⁵×C₅₃	—	2	2	no	—
46	C₂⁵×C₅₃	—	4	8	no	—
47	C₂⁵×C₅₃	—	4	8	no	—
48	C₂⁵×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	16	no	—
50	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	96	no	—
51	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	96	no	—
52	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	12	no	—
53	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	24	no	—
54	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	6	no	—
55	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
56	C₂²×D₄×C₅₃	D₄	1	16	yes	—
57	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	16	yes	—
58	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	12	yes	—
59	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
60	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	6	yes	—
62	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
63	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂⁴×C₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂⁴×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂⁴×C₅₃	—	2	96	no	—
67	C₂⁴×C₅₃	—	2	16	no	—
68	C₂⁴×C₅₃	—	2	16	no	—
69	C₂⁴×C₅₃	—	2	12	no	—
70	C₂⁴×C₅₃	—	4	48	no	—
71	C₂⁴×C₅₃	—	4	128	no	—
72	C₂⁴×C₅₃	—	4	8	no	—
73	C₂⁴×C₅₃	—	4	48	no	—
74	C₂⁴×C₅₃	—	4	8	no	—
75	C₂⁴×C₅₃	SD₁₆	1	8	yes	complemented
76	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
77	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×D₄×C₅₃	—	2	96	no	—
79	C₂×D₄×C₅₃	—	2	192	no	—
80	C₂×D₄×C₅₃	—	2	64	no	—
81	C₂×D₄×C₅₃	—	2	48	no	—
82	C₂×D₄×C₅₃	—	2	16	no	—
83	C₂×D₄×C₅₃	—	2	12	no	—
84	C₂×D₄×C₅₃	—	2	24	no	—
85	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	48	yes	—
86	C₂×D₄×C₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
91	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
92	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	3	yes	—
93	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
94	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
95	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	3	yes	—
96	C₂²×Dic₅₃	—	2	6	no	—
97	C₂²×Dic₅₃	—	2	6	no	—
98	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
99	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	—	2	24	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	—	2	6	no	—
102	C₂×Dic₁₀₆	—	4	12	no	—
103	C₂×Dic₁₀₆	C₂⁴	1	4	yes	complemented
104	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	16	no	—
105	#11719923	—	2	64	no	—
106	C₄⋊Dic₅₃	—	2	6	no	—
107	C₄⋊Dic₅₃	C₂⁴	1	4	yes	complemented
108	#11719919	—	2	16	no	—
109	C₂×#88322	—	2	24	no	—
110	C₂×#88322	C₂⁴	1	8	yes	complemented
111	C₂³×C₅₃	—	2	12	no	—
112	C₂³×C₅₃	—	2	12	no	—
113	C₂³×C₅₃	—	2	32	no	—
114	C₂³×C₅₃	—	2	64	no	—
115	C₂³×C₅₃	—	2	48	no	—
116	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
117	C₂³×C₅₃	—	4	384	no	—
118	C₂³×C₅₃	—	4	32	no	—
119	C₂³×C₅₃	—	4	24	no	—
120	C₂³×C₅₃	—	4	32	no	—
121	C₂³×C₅₃	—	4	24	no	—
122	C₂³×C₅₃	—	4	64	no	—
123	C₂³×C₅₃	#120	1	4	yes	—
124	C₂³×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
125	C₂³×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	24	yes	complemented
126	C₂³×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
127	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
128	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
129	D₄×C₅₃	—	2	64	no	—
130	D₄×C₅₃	—	2	48	no	—
131	D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
132	D₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	16	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	12	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	12	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
141	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	4	12	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	4	12	no	—
145	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
146	Dic₁₀₆	—	4	12	no	—
147	#88322	—	2	8	no	—
148	C₂²×#450	—	53	1	no	maximal, Sylow
149	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₅₃	—	2	48	no	—
151	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₅₃	—	2	16	no	—
153	C₂²×C₅₃	—	4	128	no	—
154	C₂²×C₅₃	—	4	96	no	—
155	C₂²×C₅₃	—	4	8	no	—
156	C₂²×C₅₃	—	4	8	no	—
157	C₂²×C₅₃	#450	1	16	yes	complemented
158	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	6	yes	—
159	C₂²×C₅₃	C₂²×SD₁₆	1	6	yes	—
160	C₂²×C₅₃	C₂²×SD₁₆	1	8	yes	complemented
161	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	6	yes	—
162	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
164	C₄×C₅₃	C₂×#120	1	6	yes	—
165	C₄×C₅₃	C₂³×D₄	1	2	yes	—
166	Dic₅₃	—	4	4	no	—
167	Dic₅₃	—	4	4	no	—
168	C₂⁴×D₄	D₅₃	1	1	yes	characteristic
169	C₂³×SD₁₆	—	53	2	no	—
170	C₂²×C₂²⋊Q₈	—	53	1	no	—
171	C₂×#450	—	53	24	no	—
172	C₂²×#102	—	53	2	no	—
173	C₂²×C₂²⋊C₈	—	53	1	no	—
174	C₂×C₅₃	—	2	8	no	—
175	C₂×C₅₃	—	4	16	no	—
176	C₂×C₅₃	C₂×#450	1	12	yes	complemented
177	C₂×C₅₃	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₅₃	C₂³×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₅₃	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
180	C₂⁶	—	2	1	no	—
181	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
182	C₂³×D₄	—	2	16	no	—
183	C₂³×D₄	—	2	6	no	—
184	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
185	C₂³×D₄	C₂×D₅₃	1	12	yes	—
186	C₂³×D₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
187	C₂⁴×C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×SD₁₆	—	53	24	no	—
189	C₂²×SD₁₆	—	106	16	no	—
190	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
191	C₂×C₂²⋊Q₈	—	53	12	no	—
192	C₂×C₂²⋊Q₈	—	106	6	no	—
193	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
194	C₂²×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
195	C₂²×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
196	#450	—	53	64	no	—
197	C₂×#102	—	53	24	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	12	no	—
199	C₅₃	C₂²×#450	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
200	C₂⁵	—	2	16	no	—
201	C₂⁵	—	2	12	no	—
202	C₂⁵	—	2	2	no	—
203	C₂⁵	—	4	8	no	—
204	C₂⁵	—	4	8	no	—
205	C₂⁵	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×Q₈	—	53	6	no	—
207	C₂²×Q₈	—	106	3	no	—
208	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
209	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
210	C₂²×D₄	—	2	96	no	—
211	C₂²×D₄	—	2	96	no	—
212	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
213	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
214	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
215	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
216	C₂²×D₄	C₂²⋊D₅₃	1	16	yes	—
217	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	16	yes	—
218	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	12	yes	—
219	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
220	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
221	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
222	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
223	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
224	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
225	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
226	C₂×SD₁₆	—	53	32	no	—
227	C₂×SD₁₆	—	106	96	no	—
228	C₂²×C₈	—	53	12	no	—
229	C₂²×C₈	—	106	8	no	—
230	C₂²⋊Q₈	—	53	16	no	—
231	C₂²⋊Q₈	—	106	24	no	—
232	C₂×C₄⋊C₄	—	53	6	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	—	106	3	no	—
234	C₂×C₄⋊C₄	—	106	12	no	—
235	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	12	no	—
236	#102	—	53	32	no	—
237	C₂²⋊C₈	—	53	16	no	—
238	C₂⁴	—	2	4	no	—
239	C₂⁴	—	2	4	no	—
240	C₂⁴	—	2	96	no	—
241	C₂⁴	—	2	16	no	—
242	C₂⁴	—	2	16	no	—
243	C₂⁴	—	2	12	no	—
244	C₂⁴	—	4	128	no	—
245	C₂⁴	—	4	48	no	—
246	C₂⁴	—	4	8	no	—
247	C₂⁴	—	4	48	no	—
248	C₂⁴	—	4	8	no	—
249	C₂⁴	#11719923	1	8	yes	complemented
250	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
251	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
253	C₂×Q₈	—	106	6	no	—
254	C₂×Q₈	—	106	24	no	—
255	C₂×Q₈	—	212	12	no	—
256	C₂×D₄	—	2	96	no	—
257	C₂×D₄	—	2	192	no	—
258	C₂×D₄	—	2	64	no	—
259	C₂×D₄	—	2	48	no	—
260	C₂×D₄	—	2	16	no	—
261	C₂×D₄	—	2	12	no	—
262	C₂×D₄	—	2	24	no	—
263	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	48	yes	—
264	C₂×D₄	C₂³×D₅₃	1	8	yes	—
265	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
268	C₂²×C₄	—	106	6	no	—
269	C₂²×C₄	—	106	6	no	—
270	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
272	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	12	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	3	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	3	yes	—
278	SD₁₆	—	106	64	no	—
279	C₂×C₈	—	53	8	no	—
280	C₂×C₈	—	106	24	no	—
281	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	106	6	no	—
283	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
285	C₂³	—	2	32	no	—
286	C₂³	—	2	12	no	—
287	C₂³	—	2	12	no	—
288	C₂³	—	2	64	no	—
289	C₂³	—	2	48	no	—
290	C₂³	—	2	8	no	—
291	C₂³	—	4	32	no	—
292	C₂³	—	4	384	no	—
293	C₂³	—	4	64	no	—
294	C₂³	—	4	24	no	—
295	C₂³	—	4	32	no	—
296	C₂³	—	4	24	no	—
297	C₂³	#13133186	1	4	yes	—
298	C₂³	C₂×#11719923	1	4	yes	—
299	C₂³	C₂×#11719923	1	24	yes	complemented
300	C₂³	#13133243	1	4	yes	—
301	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
302	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	3	yes	—
303	Q₈	—	106	8	no	—
304	Q₈	—	212	12	no	—
305	D₄	—	2	64	no	—
306	D₄	—	2	48	no	—
307	D₄	—	2	8	no	—
308	D₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	16	yes	—
309	C₂×C₄	—	2	12	no	—
310	C₂×C₄	—	2	24	no	—
311	C₂×C₄	—	2	8	no	—
312	C₂×C₄	—	106	4	no	—
313	C₂×C₄	—	106	4	no	—
314	C₂×C₄	—	212	12	no	—
315	C₂×C₄	—	212	12	no	—
316	C₂×C₄	#13133186	1	12	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	3	yes	—
319	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	12	yes	—
320	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
321	C₈	—	106	8	no	—
322	C₂²	—	2	4	no	—
323	C₂²	—	2	4	no	—
324	C₂²	—	2	48	no	—
325	C₂²	—	2	16	no	—
326	C₂²	—	4	128	no	—
327	C₂²	—	4	8	no	—
328	C₂²	—	4	8	no	—
329	C₂²	—	4	96	no	—
330	C₂²	#16810774	1	16	yes	direct product factor
331	C₂²	C₂×#13133186	1	6	yes	—
332	C₂²	C₂²×#11719923	1	6	yes	—
333	C₂²	C₂²×#11719923	1	8	yes	complemented
334	C₂²	C₂×#13133243	1	6	yes	—
335	C₂²	C₂³×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
336	C₄	—	2	4	no	—
337	C₄	—	212	4	no	—
338	C₄	—	212	4	no	—
339	C₄	C₂×#13133186	1	6	yes	—
340	C₄	C₂³×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
341	C₂	—	2	8	no	—
342	C₂	—	4	16	no	—
343	C₂	C₂×#16810774	1	12	yes	direct product factor
344	C₂	C₂²×#13133186	1	1	yes	characteristic
345	C₂	C₂³×#11719923	1	1	yes	characteristic
346	C₂	C₂²×#13133243	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂×C₄×C₅₃	C₂⁵
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₃
Fitting, prime radical	C₂⁴×D₄×C₅₃	C₂
socle	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
hypercenter	C₂⁴×D₄	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₂²×#450
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ C₂⁴×D₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×#11719923	C₂	semidirect
2. C₂²×#13133196	C₂	semidirect
3. C₂×#16810774	C₂	direct (N × H)
4. C₂²×#13133138	C₂	semidirect
5. C₂²×C₂²⋊#88322	C₂	semidirect
7. C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	semidirect
9. C₂²×#11719923	C₂²	semidirect
10. C₂³×#88322	C₂²	semidirect
12. C₂×#13133196	C₂²	semidirect
13. C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	semidirect
16. #16810774	C₂²	direct (N × H)
17. C₂×#13133138	C₂²	semidirect
18. C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	semidirect
28. C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	semidirect
32. C₂×#11719923	C₂³	semidirect
34. C₂²×#88322	C₂³	semidirect
36. #13133196	C₂³	semidirect
38. C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	semidirect
41. #13133138	C₂³	semidirect
42. C₂²⋊#88322	C₂³	semidirect
75. C₂⁴×C₅₃	SD₁₆	semidirect
103. C₂×Dic₁₀₆	C₂⁴	semidirect
107. C₄⋊Dic₅₃	C₂⁴	semidirect
110. C₂×#88322	C₂⁴	semidirect
125. C₂³×C₅₃	C₂×SD₁₆	semidirect
157. C₂²×C₅₃	#450	semidirect
160. C₂²×C₅₃	C₂²×SD₁₆	semidirect
176. C₂×C₅₃	C₂×#450	semidirect
199. C₅₃	C₂²×#450	semidirect
249. C₂⁴	#11719923	semidirect
299. C₂³	C₂×#11719923	semidirect
330. C₂²	#16810774	direct (N × H)
333. C₂²	C₂²×#11719923	semidirect
343. C₂	C₂×#16810774	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#11719923	2
C₂²×#13133196	2
C₂×#16810774	2
C₂²×#13133138	2
C₂²×C₂²⋊#88322	2
C₂⁴×D₄×C₅₃	2
C₂²×#450	53

Subgroups — C22×#16810774 #28250392

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#16810774 #28250392