Subgroups — C₂²×#16810761 #28250397

Order 13568.

5326 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 336 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×Dic₁₀₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂³×#11719923	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#16810761	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×#13133140	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂²×C₂²⋊#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×#121×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂³×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
8	C₂³×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
9	C₂³×Dic₁₀₆	—	2	6	no	—
10	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	12	yes	complemented
12	C₂⁴×Dic₅₃	—	2	1	no	—
13	C₂²×#11719923	—	2	16	no	—
14	C₂²×#11719923	C₂²	1	24	yes	complemented
15	C₂³×#88322	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810761	C₂²	1	64	yes	direct product factor
17	C₂×#13133140	C₂²	1	24	yes	complemented
18	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	12	yes	complemented
19	C₂³×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
20	C₂³×D₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂⁴×C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#121×C₅₃	—	2	6	no	—
23	C₂×#121×C₅₃	C₂²	1	12	yes	—
24	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
26	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
27	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	96	no	—
28	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	6	no	—
29	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
30	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	24	no	—
31	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	12	no	—
32	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	96	no	—
33	C₂²×Dic₁₀₆	D₄	1	16	yes	complemented
34	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	12	yes	—
35	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	16	yes	complemented
36	C₂³×Dic₅₃	—	2	16	no	—
37	C₂³×Dic₅₃	—	2	2	no	—
38	C₂³×Dic₅₃	—	2	12	no	—
39	C₂×#11719923	—	2	96	no	—
40	C₂×#11719923	C₂³	1	32	yes	complemented
41	C₂²×#88322	—	2	8	no	—
42	C₂²×#88322	C₂³	1	12	yes	—
43	#13133140	C₂³	1	32	yes	complemented
44	C₂²⋊#88322	C₂³	1	16	yes	complemented
45	C₂⁵×C₅₃	—	2	1	no	—
46	C₂⁵×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	12	no	—
48	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
49	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	3	no	—
50	C₂²×D₄×C₅₃	—	4	8	no	—
51	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
52	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
53	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
54	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	6	yes	—
56	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
57	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#121×C₅₃	—	2	24	no	—
59	#121×C₅₃	C₂³	1	16	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	3	no	—
61	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
62	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
63	C₂⁴×C₅₃	—	2	4	no	—
64	C₂⁴×C₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂⁴×C₅₃	—	2	6	no	—
66	C₂⁴×C₅₃	—	4	4	no	—
67	C₂⁴×C₅₃	—	4	4	no	—
68	C₂⁴×C₅₃	—	4	4	no	—
69	C₂⁴×C₅₃	SD₁₆	1	8	yes	complemented
70	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
71	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×D₄×C₅₃	—	2	16	no	—
73	C₂×D₄×C₅₃	—	2	24	no	—
74	C₂×D₄×C₅₃	—	2	6	no	—
75	C₂×D₄×C₅₃	—	4	48	no	—
76	C₂×D₄×C₅₃	—	4	12	no	—
77	C₂×D₄×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	3	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	3	yes	—
89	C₂²×Dic₅₃	—	2	96	no	—
90	C₂²×Dic₅₃	—	2	16	no	—
91	C₂²×Dic₅₃	—	2	12	no	—
92	C₂²×Dic₅₃	—	2	16	no	—
93	C₂×Dic₁₀₆	—	2	96	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	—	2	192	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	2	48	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	—	2	12	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	2	24	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	—	2	64	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	48	yes	complemented
101	C₂×Dic₁₀₆	C₂⁴	1	8	yes	—
102	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
103	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
104	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
105	#11719923	—	2	64	no	—
106	C₂×#88322	—	2	24	no	—
107	C₂×#88322	C₂⁴	1	8	yes	—
108	C₂³×C₅₃	—	2	12	no	—
109	C₂³×C₅₃	—	2	12	no	—
110	C₂³×C₅₃	—	2	32	no	—
111	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
112	C₂³×C₅₃	—	4	12	no	—
113	C₂³×C₅₃	—	4	12	no	—
114	C₂³×C₅₃	—	4	12	no	—
115	C₂³×C₅₃	—	8	16	no	—
116	C₂³×C₅₃	#120	1	4	yes	—
117	C₂³×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
118	C₂³×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	24	yes	complemented
119	C₂³×C₅₃	#137	1	4	yes	—
120	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
121	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
122	D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
123	D₄×C₅₃	—	4	32	no	—
124	D₄×C₅₃	—	4	12	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	4	12	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	12	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	12	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
135	C₂×Dic₅₃	—	2	64	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	2	48	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
138	Dic₁₀₆	—	2	64	no	—
139	Dic₁₀₆	—	2	48	no	—
140	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
141	Dic₁₀₆	C₂²×D₄	1	16	yes	complemented
142	#88322	—	2	8	no	—
143	C₂²×#448	—	53	1	no	maximal, Sylow
144	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₅₃	—	2	48	no	—
146	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
148	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
149	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
150	C₂²×C₅₃	—	8	24	no	—
151	C₂²×C₅₃	#448	1	16	yes	complemented
152	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	6	yes	—
153	C₂²×C₅₃	C₂²×SD₁₆	1	6	yes	—
154	C₂²×C₅₃	C₂²×SD₁₆	1	8	yes	complemented
155	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	6	yes	—
156	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
158	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
159	C₄×C₅₃	C₂×#120	1	6	yes	—
160	C₄×C₅₃	C₂³×D₄	1	2	yes	—
161	Dic₅₃	—	2	16	no	—
162	C₂⁴×Q₈	—	53	1	no	—
163	C₂³×SD₁₆	—	53	2	no	—
164	C₂²×#121	D₅₃	1	1	yes	characteristic
165	C₂×#448	—	53	24	no	—
166	C₂²×#103	—	53	2	no	—
167	C₂²×C₂²⋊C₈	—	53	1	no	—
168	C₂×C₅₃	—	2	8	no	—
169	C₂×C₅₃	—	8	4	no	—
170	C₂×C₅₃	C₂×#448	1	12	yes	complemented
171	C₂×C₅₃	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₅₃	C₂³×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₅₃	C₂²×#137	1	1	yes	characteristic
174	C₂³×Q₈	—	53	2	no	—
175	C₂³×Q₈	—	53	12	no	—
176	C₂³×Q₈	—	106	16	no	—
177	C₂³×Q₈	—	106	6	no	—
178	C₂³×Q₈	—	106	1	no	—
179	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
180	C₂³×D₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
181	C₂⁴×C₄	—	106	1	no	—
182	C₂⁴×C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×SD₁₆	—	53	24	no	—
184	C₂²×SD₁₆	—	106	16	no	—
185	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
186	C₂×#121	—	2	6	no	—
187	C₂×#121	C₂×D₅₃	1	12	yes	—
188	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
190	#448	—	53	64	no	—
191	C₂×#103	—	53	24	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	12	no	—
193	C₅₃	C₂²×#448	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
194	C₂⁵	—	2	1	no	—
195	C₂⁵	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×Q₈	—	53	16	no	—
197	C₂²×Q₈	—	53	12	no	—
198	C₂²×Q₈	—	53	16	no	—
199	C₂²×Q₈	—	106	96	no	—
200	C₂²×Q₈	—	106	16	no	—
201	C₂²×Q₈	—	106	96	no	—
202	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
203	C₂²×Q₈	—	106	12	no	—
204	C₂²×Q₈	—	106	24	no	—
205	C₂²×Q₈	—	106	6	no	—
206	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
207	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
208	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
209	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
210	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
211	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
212	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
213	C₂³×C₄	—	106	16	no	—
214	C₂³×C₄	—	106	12	no	—
215	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
216	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
217	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
218	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
219	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
220	C₂×SD₁₆	—	53	32	no	—
221	C₂×SD₁₆	—	106	96	no	—
222	C₂²×C₈	—	53	12	no	—
223	C₂²×C₈	—	106	8	no	—
224	#121	—	2	24	no	—
225	#121	C₂²×D₅₃	1	16	yes	—
226	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
227	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
228	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
229	#103	—	53	32	no	—
230	C₂²⋊C₈	—	53	16	no	—
231	C₂⁴	—	2	4	no	—
232	C₂⁴	—	2	4	no	—
233	C₂⁴	—	2	6	no	—
234	C₂⁴	—	4	4	no	—
235	C₂⁴	—	4	4	no	—
236	C₂⁴	—	4	4	no	—
237	C₂⁴	#11719923	1	8	yes	complemented
238	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
239	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
240	C₂×Q₈	—	53	48	no	—
241	C₂×Q₈	—	53	8	no	—
242	C₂×Q₈	—	106	64	no	—
243	C₂×Q₈	—	106	96	no	—
244	C₂×Q₈	—	106	192	no	—
245	C₂×Q₈	—	106	48	no	—
246	C₂×Q₈	—	106	24	no	—
247	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
248	C₂×Q₈	—	106	12	no	—
249	C₂×D₄	—	2	16	no	—
250	C₂×D₄	—	2	24	no	—
251	C₂×D₄	—	2	6	no	—
252	C₂×D₄	—	4	48	no	—
253	C₂×D₄	—	4	12	no	—
254	C₂×D₄	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	106	96	no	—
261	C₂²×C₄	—	106	16	no	—
262	C₂²×C₄	—	106	16	no	—
263	C₂²×C₄	—	106	12	no	—
264	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	8	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	12	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	3	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	3	yes	—
270	SD₁₆	—	106	64	no	—
271	C₂×C₈	—	53	8	no	—
272	C₂×C₈	—	106	24	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
274	C₄⋊C₄	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
276	C₂³	—	2	32	no	—
277	C₂³	—	2	12	no	—
278	C₂³	—	2	12	no	—
279	C₂³	—	2	4	no	—
280	C₂³	—	4	12	no	—
281	C₂³	—	4	12	no	—
282	C₂³	—	4	12	no	—
283	C₂³	—	8	16	no	—
284	C₂³	#13133185	1	4	yes	—
285	C₂³	C₂×#11719923	1	4	yes	—
286	C₂³	C₂×#11719923	1	24	yes	complemented
287	C₂³	#13133247	1	4	yes	—
288	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
289	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	3	yes	—
290	Q₈	—	53	16	no	—
291	Q₈	—	106	64	no	—
292	Q₈	—	106	48	no	—
293	Q₈	—	106	8	no	—
294	D₄	—	2	8	no	—
295	D₄	—	4	32	no	—
296	D₄	—	4	12	no	—
297	C₂×C₄	—	2	12	no	—
298	C₂×C₄	—	2	24	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	12	no	—
302	C₂×C₄	—	106	64	no	—
303	C₂×C₄	—	106	48	no	—
304	C₂×C₄	—	106	8	no	—
305	C₂×C₄	#13133185	1	12	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	12	yes	—
307	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	3	yes	—
309	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
310	C₈	—	106	8	no	—
311	C₂²	—	2	4	no	—
312	C₂²	—	2	4	no	—
313	C₂²	—	2	48	no	—
314	C₂²	—	4	4	no	—
315	C₂²	—	4	4	no	—
316	C₂²	—	4	4	no	—
317	C₂²	—	8	24	no	—
318	C₂²	#16810761	1	16	yes	direct product factor
319	C₂²	C₂×#13133185	1	6	yes	—
320	C₂²	C₂²×#11719923	1	6	yes	—
321	C₂²	C₂²×#11719923	1	8	yes	complemented
322	C₂²	C₂×#13133247	1	6	yes	—
323	C₂²	C₂³×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
324	C₄	—	2	4	no	—
325	C₄	—	4	4	no	—
326	C₄	—	106	16	no	—
327	C₄	C₂×#13133185	1	6	yes	—
328	C₄	C₂²×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
329	C₂	—	2	8	no	—
330	C₂	—	8	4	no	—
331	C₂	C₂×#16810761	1	12	yes	direct product factor
332	C₂	C₂²×#13133185	1	1	yes	characteristic
333	C₂	C₂³×#11719923	1	1	yes	characteristic
334	C₂	C₂²×#13133247	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂×C₄×C₅₃	C₂⁵
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₃
Fitting, prime radical	C₂²×#121×C₅₃	C₂
socle	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
hypercenter	C₂²×#121	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₂²×#448
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ C₂²×#121

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂⁴×Dic₁₀₆	C₂	semidirect
2. C₂³×#11719923	C₂	semidirect
3. C₂×#16810761	C₂	direct (N × H)
4. C₂²×#13133140	C₂	semidirect
5. C₂²×C₂²⋊#88322	C₂	semidirect
11. C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	semidirect
14. C₂²×#11719923	C₂²	semidirect
16. #16810761	C₂²	direct (N × H)
17. C₂×#13133140	C₂²	semidirect
18. C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	semidirect
33. C₂²×Dic₁₀₆	D₄	semidirect
35. C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	semidirect
40. C₂×#11719923	C₂³	semidirect
43. #13133140	C₂³	semidirect
44. C₂²⋊#88322	C₂³	semidirect
69. C₂⁴×C₅₃	SD₁₆	semidirect
100. C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	semidirect
118. C₂³×C₅₃	C₂×SD₁₆	semidirect
141. Dic₁₀₆	C₂²×D₄	semidirect
151. C₂²×C₅₃	#448	semidirect
154. C₂²×C₅₃	C₂²×SD₁₆	semidirect
170. C₂×C₅₃	C₂×#448	semidirect
193. C₅₃	C₂²×#448	semidirect
237. C₂⁴	#11719923	semidirect
286. C₂³	C₂×#11719923	semidirect
318. C₂²	#16810761	direct (N × H)
321. C₂²	C₂²×#11719923	semidirect
331. C₂	C₂×#16810761	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×Dic₁₀₆	2
C₂³×#11719923	2
C₂×#16810761	2
C₂²×#13133140	2
C₂²×C₂²⋊#88322	2
C₂²×#121×C₅₃	2
C₂²×#448	53

Subgroups — C22×#16810761 #28250397

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#16810761 #28250397