Subgroups — C₂²×#16810781 #28250406

Order 13568.

4982 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 312 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×Dic₁₀₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂³×Dic₂₁₂	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂²×#13133196	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#16810781	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
5	C₂²×#13133142	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂³×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
8	C₂³×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
9	C₂³×Dic₁₀₆	—	2	6	no	—
10	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	12	yes	—
11	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂⁴×Dic₅₃	—	2	1	no	—
14	C₂²×Dic₂₁₂	—	2	16	no	—
15	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	24	yes	complemented
16	C₂×#13133196	—	2	6	no	—
17	C₂×#13133196	C₂²	1	12	yes	—
18	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#11719919	—	2	1	no	—
20	C₂²×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
21	#16810781	C₂²	1	64	yes	direct product factor
22	C₂×#13133142	C₂²	1	24	yes	complemented
23	C₂⁴×C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	12	yes	—
26	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
27	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	96	no	—
28	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	12	no	—
29	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	24	no	—
30	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	6	no	—
31	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
32	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	96	no	—
33	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
34	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	3	no	—
35	C₂²×Dic₁₀₆	D₄	1	16	yes	—
36	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	16	yes	—
37	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	6	yes	—
38	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	12	yes	—
39	C₂³×Dic₅₃	—	2	16	no	—
40	C₂³×Dic₅₃	—	2	12	no	—
41	C₂³×Dic₅₃	—	2	2	no	—
42	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
43	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
44	C₂×Dic₂₁₂	—	2	96	no	—
45	C₂×Dic₂₁₂	C₂³	1	32	yes	complemented
46	#13133196	—	2	24	no	—
47	#13133196	C₂³	1	16	yes	—
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	3	no	—
49	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	—
50	C₂×#11719919	—	2	12	no	—
51	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	12	no	—
52	#13133142	C₂³	1	32	yes	complemented
53	C₂⁵×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
55	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	6	yes	—
57	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
58	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
60	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	12	yes	—
61	C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	16	yes	—
62	C₂⁴×C₅₃	—	2	4	no	—
63	C₂⁴×C₅₃	—	2	4	no	—
64	C₂⁴×C₅₃	Q₁₆	1	8	yes	complemented
65	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
66	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	3	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	3	yes	—
76	C₂²×Dic₅₃	—	2	96	no	—
77	C₂²×Dic₅₃	—	2	16	no	—
78	C₂²×Dic₅₃	—	2	16	no	—
79	C₂²×Dic₅₃	—	2	12	no	—
80	C₂²×Dic₅₃	—	2	6	no	—
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	6	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
84	C₂×Dic₁₀₆	—	2	96	no	—
85	C₂×Dic₁₀₆	—	2	192	no	—
86	C₂×Dic₁₀₆	—	2	48	no	—
87	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
88	C₂×Dic₁₀₆	—	2	12	no	—
89	C₂×Dic₁₀₆	—	2	24	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	—	2	64	no	—
91	C₂×Dic₁₀₆	—	2	24	no	—
92	C₂×Dic₁₀₆	—	2	6	no	—
93	C₂×Dic₁₀₆	—	4	12	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	48	yes	—
95	C₂×Dic₁₀₆	C₂⁴	1	4	yes	—
96	C₂×Dic₁₀₆	C₂⁴	1	8	yes	—
97	C₂×C₈×C₅₃	—	2	24	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
99	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	16	no	—
100	C₄⋊Dic₅₃	—	2	6	no	—
101	C₄⋊Dic₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
102	#11719919	—	2	16	no	—
103	Dic₂₁₂	—	2	64	no	—
104	C₂³×C₅₃	—	2	12	no	—
105	C₂³×C₅₃	—	2	12	no	—
106	C₂³×C₅₃	—	2	32	no	—
107	C₂³×C₅₃	#120	1	4	yes	—
108	C₂³×C₅₃	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
109	C₂³×C₅₃	C₂×Q₁₆	1	24	yes	complemented
110	C₂³×C₅₃	#137	1	4	yes	—
111	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
112	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	12	yes	—
117	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	12	yes	—
118	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
121	C₂×Dic₅₃	—	2	64	no	—
122	C₂×Dic₅₃	—	2	48	no	—
123	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
124	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
125	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
126	C₂×Dic₅₃	—	4	12	no	—
127	C₂×Dic₅₃	—	4	12	no	—
128	Dic₁₀₆	—	2	64	no	—
129	Dic₁₀₆	—	2	48	no	—
130	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
131	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
132	Dic₁₀₆	—	4	12	no	—
133	Dic₁₀₆	C₂²×D₄	1	16	yes	—
134	C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
135	C₂²×#451	—	53	1	no	maximal, Sylow
136	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
137	C₂²×C₅₃	—	2	48	no	—
138	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₅₃	#451	1	16	yes	complemented
140	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	6	yes	—
141	C₂²×C₅₃	C₂²×Q₁₆	1	6	yes	—
142	C₂²×C₅₃	C₂²×Q₁₆	1	8	yes	complemented
143	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	6	yes	—
144	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
146	C₄×C₅₃	C₂×#120	1	6	yes	—
147	C₄×C₅₃	C₂³×D₄	1	2	yes	—
148	Dic₅₃	—	2	16	no	—
149	Dic₅₃	—	4	4	no	—
150	Dic₅₃	—	4	4	no	—
151	C₂⁴×Q₈	—	53	1	no	—
152	C₂³×Q₁₆	—	53	2	no	—
153	C₂²×C₂²⋊Q₈	—	53	1	no	—
154	C₂×#451	—	53	24	no	—
155	C₂²×#103	—	53	2	no	—
156	C₂²×C₂²⋊C₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₅₃	—	2	8	no	—
158	C₂×C₅₃	C₂×#451	1	12	yes	complemented
159	C₂×C₅₃	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₅₃	C₂³×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₅₃	C₂²×#137	1	1	yes	characteristic
162	C₂³×Q₈	—	53	2	no	—
163	C₂³×Q₈	—	53	12	no	—
164	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
165	C₂³×Q₈	—	106	16	no	—
166	C₂³×Q₈	—	106	6	no	—
167	C₂³×Q₈	—	106	1	no	—
168	C₂⁴×C₄	—	106	1	no	—
169	C₂⁴×C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×Q₁₆	—	53	24	no	—
171	C₂²×Q₁₆	—	106	16	no	—
172	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
173	C₂×C₂²⋊Q₈	—	53	12	no	—
174	C₂×C₂²⋊Q₈	—	106	6	no	—
175	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
176	C₂²×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
177	C₂²×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
178	#451	—	53	64	no	—
179	C₂×#103	—	53	24	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	12	yes	—
181	C₅₃	C₂²×#451	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
182	C₂⁵	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×Q₈	—	53	16	no	—
184	C₂²×Q₈	—	53	12	no	—
185	C₂²×Q₈	—	53	6	no	—
186	C₂²×Q₈	—	53	16	no	—
187	C₂²×Q₈	—	106	96	no	—
188	C₂²×Q₈	—	106	16	no	—
189	C₂²×Q₈	—	106	96	no	—
190	C₂²×Q₈	—	106	12	no	—
191	C₂²×Q₈	—	106	24	no	—
192	C₂²×Q₈	—	106	6	no	—
193	C₂²×Q₈	—	106	3	no	—
194	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
195	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
196	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
197	C₂³×C₄	—	106	16	no	—
198	C₂³×C₄	—	106	12	no	—
199	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
200	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
201	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
202	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	6	yes	—
203	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
204	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
205	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
206	C₂×Q₁₆	—	53	32	no	—
207	C₂×Q₁₆	—	106	96	no	—
208	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
209	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	12	yes	—
210	C₂²⋊Q₈	—	53	16	no	—
211	C₂²⋊Q₈	—	106	24	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	53	6	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	106	3	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	106	12	no	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	12	no	—
216	#103	—	53	32	no	—
217	C₂²⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	16	yes	—
218	C₂⁴	—	2	4	no	—
219	C₂⁴	—	2	4	no	—
220	C₂⁴	Dic₂₁₂	1	8	yes	complemented
221	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	6	yes	—
222	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
223	C₂×Q₈	—	53	48	no	—
224	C₂×Q₈	—	53	8	no	—
225	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
226	C₂×Q₈	—	106	64	no	—
227	C₂×Q₈	—	106	96	no	—
228	C₂×Q₈	—	106	192	no	—
229	C₂×Q₈	—	106	48	no	—
230	C₂×Q₈	—	106	24	no	—
231	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
232	C₂×Q₈	—	106	12	no	—
233	C₂×Q₈	—	106	6	no	—
234	C₂×Q₈	—	106	24	no	—
235	C₂×Q₈	—	212	12	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
239	C₂²×C₄	—	106	96	no	—
240	C₂²×C₄	—	106	16	no	—
241	C₂²×C₄	—	106	16	no	—
242	C₂²×C₄	—	106	12	no	—
243	C₂²×C₄	—	106	6	no	—
244	C₂²×C₄	—	106	6	no	—
245	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
247	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	6	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	12	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	3	yes	—
250	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	8	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	3	yes	—
253	Q₁₆	—	106	64	no	—
254	C₂×C₈	—	2	24	no	—
255	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	8	yes	—
256	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	106	6	no	—
258	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
260	C₂³	—	2	32	no	—
261	C₂³	—	2	12	no	—
262	C₂³	—	2	12	no	—
263	C₂³	#13133187	1	4	yes	—
264	C₂³	C₂×Dic₂₁₂	1	4	yes	—
265	C₂³	C₂×Dic₂₁₂	1	24	yes	complemented
266	C₂³	#13133250	1	4	yes	—
267	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	4	yes	—
268	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	3	yes	—
269	Q₈	—	53	16	no	—
270	Q₈	—	106	64	no	—
271	Q₈	—	106	48	no	—
272	Q₈	—	106	8	no	—
273	Q₈	—	106	8	no	—
274	Q₈	—	212	12	no	—
275	C₂×C₄	—	2	12	no	—
276	C₂×C₄	—	2	24	no	—
277	C₂×C₄	—	2	8	no	—
278	C₂×C₄	—	106	64	no	—
279	C₂×C₄	—	106	48	no	—
280	C₂×C₄	—	106	8	no	—
281	C₂×C₄	—	106	4	no	—
282	C₂×C₄	—	106	4	no	—
283	C₂×C₄	—	212	12	no	—
284	C₂×C₄	—	212	12	no	—
285	C₂×C₄	#13133187	1	12	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	12	yes	—
287	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	3	yes	—
289	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
290	C₈	—	2	8	no	—
291	C₂²	—	2	48	no	—
292	C₂²	—	2	4	no	—
293	C₂²	—	2	4	no	—
294	C₂²	#16810781	1	16	yes	direct product factor
295	C₂²	C₂×#13133187	1	6	yes	—
296	C₂²	C₂²×Dic₂₁₂	1	6	yes	—
297	C₂²	C₂²×Dic₂₁₂	1	8	yes	complemented
298	C₂²	C₂×#13133250	1	6	yes	—
299	C₂²	C₂³×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
300	C₄	—	2	4	no	—
301	C₄	—	106	16	no	—
302	C₄	—	212	4	no	—
303	C₄	—	212	4	no	—
304	C₄	C₂×#13133187	1	6	yes	—
305	C₄	C₂²×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
306	C₂	—	2	8	no	—
307	C₂	C₂×#16810781	1	12	yes	direct product factor
308	C₂	C₂²×#13133187	1	1	yes	characteristic
309	C₂	C₂³×Dic₂₁₂	1	1	yes	characteristic
310	C₂	C₂²×#13133250	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂×C₄×C₅₃	C₂⁵
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₃
Fitting	C₂²×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂
socle	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
prime radical	C₂⁵×C₅₃	D₄
hypercenter	C₂²×C₂²⋊C₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₂²×#451
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ C₂²×C₂²⋊C₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂³×Dic₂₁₂	C₂	semidirect
4. C₂×#16810781	C₂	direct (N × H)
5. C₂²×#13133142	C₂	semidirect
15. C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	semidirect
21. #16810781	C₂²	direct (N × H)
22. C₂×#13133142	C₂²	semidirect
45. C₂×Dic₂₁₂	C₂³	semidirect
52. #13133142	C₂³	semidirect
64. C₂⁴×C₅₃	Q₁₆	semidirect
109. C₂³×C₅₃	C₂×Q₁₆	semidirect
139. C₂²×C₅₃	#451	semidirect
142. C₂²×C₅₃	C₂²×Q₁₆	semidirect
158. C₂×C₅₃	C₂×#451	semidirect
181. C₅₃	C₂²×#451	semidirect
220. C₂⁴	Dic₂₁₂	semidirect
265. C₂³	C₂×Dic₂₁₂	semidirect
294. C₂²	#16810781	direct (N × H)
297. C₂²	C₂²×Dic₂₁₂	semidirect
307. C₂	C₂×#16810781	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×Dic₁₀₆	2
C₂³×Dic₂₁₂	2
C₂²×#13133196	2
C₂×#16810781	2
C₂²×#13133142	2
C₂²×C₂²⋊C₈×C₅₃	2
C₂²×#451	53

Subgroups — C22×#16810781 #28250406

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#16810781 #28250406