Subgroups — C₂²×#16810819 #28250869

Order 13568.

3910 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×D₄₂₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂²×#13133214	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×C₄×D₂₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#16810819	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
5	C₂²×#13133139	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×D₂₁₂	—	2	1	no	—
8	C₂³×D₂₁₂	—	2	1	no	—
9	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
12	C₂²×D₄₂₄	—	2	16	no	—
13	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	24	yes	complemented
14	C₂×#13133214	—	2	6	no	—
15	C₂×#13133214	C₂²	1	12	yes	complemented
16	C₂×C₄×D₂₁₂	—	2	6	no	—
17	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	12	yes	complemented
18	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#11719921	—	2	1	no	—
20	#16810819	C₂²	1	64	yes	direct product factor
21	C₂×#13133139	C₂²	1	24	yes	complemented
22	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	12	yes	complemented
25	C₂⁴×D₅₃	—	2	1	no	—
26	C₂⁴×D₅₃	—	2	2	no	—
27	C₂²×D₂₁₂	—	2	3	no	—
28	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
29	C₂²×D₂₁₂	—	2	8	no	—
30	C₂²×D₂₁₂	—	2	8	no	—
31	C₂²×D₂₁₂	—	2	6	no	—
32	C₂²×D₂₁₂	—	2	12	no	—
33	C₂²×D₂₁₂	—	2	12	no	—
34	C₂²×D₂₁₂	—	4	8	no	—
35	C₂²×D₂₁₂	—	4	8	no	—
36	C₂²×D₂₁₂	D₄	1	8	yes	complemented
37	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	12	yes	—
38	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	6	yes	—
39	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
40	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	12	no	—
41	C₂²×C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
42	C₂×D₄₂₄	—	2	96	no	—
43	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	32	yes	complemented
44	#13133214	—	2	24	no	—
45	#13133214	C₂³	1	16	yes	complemented
46	C₄×D₂₁₂	—	2	24	no	—
47	C₄×D₂₁₂	C₂³	1	16	yes	complemented
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	3	no	—
49	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	—
50	C₂×#11719921	—	2	12	no	—
51	#13133139	C₂³	1	32	yes	complemented
52	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
56	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	12	yes	—
57	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	6	yes	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
59	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	16	yes	complemented
60	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
62	C₂³×D₅₃	—	2	6	no	—
63	C₂³×D₅₃	—	2	12	no	—
64	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
65	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
66	C₂³×D₅₃	—	4	8	no	—
67	C₂³×D₅₃	—	4	8	no	—
68	C₂³×D₅₃	—	4	8	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	D₈	1	8	yes	complemented
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	3	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	3	yes	—
77	C₂²×Dic₅₃	—	2	6	no	—
78	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
79	C₂×D₂₁₂	—	2	24	no	—
80	C₂×D₂₁₂	—	2	6	no	—
81	C₂×D₂₁₂	—	2	12	no	—
82	C₂×D₂₁₂	—	2	24	no	—
83	C₂×D₂₁₂	—	2	24	no	—
84	C₂×D₂₁₂	—	2	12	no	—
85	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
86	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	4	48	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	4	24	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	4	48	no	—
90	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	24	yes	complemented
91	C₂×D₂₁₂	C₂⁴	1	8	yes	—
92	C₂×D₂₁₂	C₂⁴	1	4	yes	—
93	C₂×C₄×D₅₃	—	2	16	no	—
94	C₂×C₄×D₅₃	—	4	48	no	—
95	C₂×C₈×C₅₃	—	2	24	no	—
96	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
97	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
98	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
99	#11719921	—	2	16	no	—
100	C₄⋊Dic₅₃	—	2	6	no	—
101	C₄⋊Dic₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
102	D₄₂₄	—	2	64	no	—
103	C₂³×C₅₃	#121	1	4	yes	—
104	C₂³×C₅₃	C₂×D₈	1	4	yes	—
105	C₂³×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
106	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
107	C₂²×D₅₃	—	2	24	no	—
108	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
109	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
110	C₂²×D₅₃	—	4	12	no	—
111	C₂²×D₅₃	—	4	12	no	—
112	C₂²×D₅₃	—	4	32	no	—
113	C₂²×D₅₃	—	4	24	no	—
114	C₂²×D₅₃	—	4	24	no	—
115	C₂²×D₅₃	—	4	24	no	—
116	C₂²×D₅₃	—	8	32	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	12	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	24	yes	complemented
120	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	6	yes	—
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	6	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
126	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
127	C₂×Dic₅₃	—	4	12	no	—
128	D₂₁₂	—	2	24	no	—
129	D₂₁₂	—	2	8	no	—
130	D₂₁₂	—	2	4	no	—
131	D₂₁₂	—	2	8	no	—
132	D₂₁₂	—	4	32	no	—
133	D₂₁₂	—	4	24	no	—
134	D₂₁₂	—	4	32	no	—
135	D₂₁₂	C₂²×D₄	1	8	yes	complemented
136	C₄×D₅₃	—	4	32	no	—
137	C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
138	C₂²×#459	—	53	1	no	maximal, Sylow
139	C₂²×C₅₃	#459	1	16	yes	complemented
140	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	6	yes	—
141	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	6	yes	—
142	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	6	yes	—
143	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
145	C₂×D₅₃	—	4	48	no	—
146	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
147	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
148	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
149	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
150	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
151	C₂×D₅₃	—	8	48	no	—
152	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
153	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	6	yes	—
154	C₄×C₅₃	C₂²×D₈	1	8	yes	complemented
155	C₄×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₄×C₅₃	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
157	Dic₅₃	—	4	4	no	—
158	C₂³×D₈	—	53	2	no	—
159	C₂²×#127	—	53	1	no	—
160	C₂²×C₄×D₄	—	53	1	no	—
161	C₂×#459	—	53	24	no	—
162	C₂²×C₄⋊C₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
163	C₂²×#102	—	53	2	no	—
164	C₂×C₅₃	C₂×#459	1	12	yes	complemented
165	C₂×C₅₃	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₅₃	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₅₃	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
168	D₅₃	—	4	8	no	—
169	D₅₃	—	8	8	no	—
170	C₂³×D₄	—	53	1	no	—
171	C₂³×D₄	—	53	2	no	—
172	C₂³×D₄	—	106	1	no	—
173	C₂³×D₄	—	106	1	no	—
174	C₂⁴×C₄	—	106	1	no	—
175	C₂²×D₈	—	53	24	no	—
176	C₂²×D₈	—	106	16	no	—
177	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
178	C₂×#127	—	53	12	no	—
179	C₂×#127	—	106	6	no	—
180	C₂×C₄×D₄	—	53	12	no	—
181	C₂×C₄×D₄	—	106	6	no	—
182	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
183	C₂²×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
184	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
185	#459	—	53	64	no	—
186	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	12	yes	complemented
187	C₂×#102	—	53	24	no	—
188	C₅₃	C₂²×#459	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
189	C₂⁵	—	106	1	no	—
190	C₂⁵	—	106	2	no	—
191	C₂²×D₄	—	53	8	no	—
192	C₂²×D₄	—	53	6	no	—
193	C₂²×D₄	—	53	12	no	—
194	C₂²×D₄	—	106	3	no	—
195	C₂²×D₄	—	106	12	no	—
196	C₂²×D₄	—	106	12	no	—
197	C₂²×D₄	—	106	6	no	—
198	C₂²×D₄	—	106	8	no	—
199	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
200	C₂²×D₄	—	106	8	no	—
201	C₂²×D₄	—	212	8	no	—
202	C₂²×D₄	—	212	8	no	—
203	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
204	C₂³×C₄	—	106	12	no	—
205	C₂³×C₄	—	212	8	no	—
206	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
207	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
208	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂×D₈	—	53	32	no	—
210	C₂×D₈	—	106	96	no	—
211	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
212	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	12	yes	—
213	#127	—	53	16	no	—
214	#127	—	106	24	no	—
215	C₄×D₄	—	53	16	no	—
216	C₄×D₄	—	106	24	no	—
217	C₂×C₄⋊C₄	—	53	6	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	—	106	3	no	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	12	no	—
220	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	6	yes	—
221	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
222	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	16	yes	complemented
223	#102	—	53	32	no	—
224	C₂⁴	—	106	8	no	—
225	C₂⁴	—	106	6	no	—
226	C₂⁴	—	106	12	no	—
227	C₂⁴	—	212	8	no	—
228	C₂⁴	—	212	8	no	—
229	C₂⁴	—	212	8	no	—
230	C₂⁴	—	212	4	no	—
231	C₂⁴	—	212	4	no	—
232	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
233	C₂×D₄	—	53	24	no	—
234	C₂×D₄	—	53	4	no	—
235	C₂×D₄	—	53	8	no	—
236	C₂×D₄	—	106	24	no	—
237	C₂×D₄	—	106	24	no	—
238	C₂×D₄	—	106	6	no	—
239	C₂×D₄	—	106	16	no	—
240	C₂×D₄	—	106	16	no	—
241	C₂×D₄	—	106	12	no	—
242	C₂×D₄	—	106	12	no	—
243	C₂×D₄	—	106	24	no	—
244	C₂×D₄	—	212	48	no	—
245	C₂×D₄	—	212	24	no	—
246	C₂×D₄	—	212	48	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	106	6	no	—
249	C₂²×C₄	—	106	16	no	—
250	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	212	48	no	—
252	C₂²×C₄	D₄₂₄	1	8	yes	complemented
253	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	6	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	3	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	6	yes	—
256	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	#11719949	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	3	yes	—
259	D₈	—	106	64	no	—
260	C₂×C₈	—	2	24	no	—
261	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	8	yes	—
262	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	106	6	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
265	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	12	yes	—
266	C₄²	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
267	C₂³	—	106	24	no	—
268	C₂³	—	106	4	no	—
269	C₂³	—	106	8	no	—
270	C₂³	—	424	32	no	—
271	C₂³	—	212	24	no	—
272	C₂³	—	212	24	no	—
273	C₂³	—	212	24	no	—
274	C₂³	—	212	32	no	—
275	C₂³	—	212	12	no	—
276	C₂³	—	212	12	no	—
277	C₂³	#13133192	1	4	yes	—
278	C₂³	C₂×D₄₂₄	1	4	yes	—
279	C₂³	#13133245	1	4	yes	—
280	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	3	yes	—
281	D₄	—	53	8	no	—
282	D₄	—	106	24	no	—
283	D₄	—	106	8	no	—
284	D₄	—	106	4	no	—
285	D₄	—	106	8	no	—
286	D₄	—	212	32	no	—
287	D₄	—	212	24	no	—
288	D₄	—	212	32	no	—
289	C₂×C₄	—	2	12	no	—
290	C₂×C₄	—	106	4	no	—
291	C₂×C₄	—	212	12	no	—
292	C₂×C₄	—	212	32	no	—
293	C₂×C₄	#13133192	1	12	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	24	yes	complemented
295	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	6	yes	—
296	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	4	yes	—
297	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	3	yes	—
298	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	4	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	6	yes	—
300	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
301	C₈	—	2	8	no	—
302	C₂²	—	106	8	no	—
303	C₂²	—	424	48	no	—
304	C₂²	—	212	8	no	—
305	C₂²	—	212	8	no	—
306	C₂²	—	212	8	no	—
307	C₂²	—	212	4	no	—
308	C₂²	—	212	4	no	—
309	C₂²	—	212	48	no	—
310	C₂²	#16810819	1	16	yes	direct product factor
311	C₂²	C₂×#13133192	1	6	yes	—
312	C₂²	C₂²×D₄₂₄	1	6	yes	—
313	C₂²	C₂×#13133245	1	6	yes	—
314	C₂²	C₂³×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
315	C₄	—	2	4	no	—
316	C₄	—	212	4	no	—
317	C₄	C₂×#13133192	1	6	yes	—
318	C₄	C₂²×D₄₂₄	1	8	yes	complemented
319	C₄	C₂²×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
320	C₄	C₂²×#11719949	1	1	yes	characteristic
321	C₂	—	424	8	no	—
322	C₂	—	212	8	no	—
323	C₂	C₂×#16810819	1	12	yes	direct product factor
324	C₂	C₂²×#13133192	1	1	yes	characteristic
325	C₂	C₂³×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂	C₂²×#13133245	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂×C₄×C₅₃	C₂⁵
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₃
Fitting	C₂²×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂
socle	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
hypercenter	C₂²×C₄⋊C₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₂²×#459
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄⋊C₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×D₄₂₄	C₂	semidirect
2. C₂²×#13133214	C₂	semidirect
3. C₂²×C₄×D₂₁₂	C₂	semidirect
4. C₂×#16810819	C₂	direct (N × H)
5. C₂²×#13133139	C₂	semidirect
6. C₂²×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂	semidirect
13. C₂²×D₄₂₄	C₂²	semidirect
15. C₂×#13133214	C₂²	semidirect
17. C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	semidirect
20. #16810819	C₂²	direct (N × H)
21. C₂×#13133139	C₂²	semidirect
24. C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	semidirect
36. C₂²×D₂₁₂	D₄	semidirect
43. C₂×D₄₂₄	C₂³	semidirect
45. #13133214	C₂³	semidirect
47. C₄×D₂₁₂	C₂³	semidirect
51. #13133139	C₂³	semidirect
59. C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	semidirect
70. C₂²×C₄×C₅₃	D₈	semidirect
90. C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	semidirect
119. C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	semidirect
135. D₂₁₂	C₂²×D₄	semidirect
139. C₂²×C₅₃	#459	semidirect
154. C₄×C₅₃	C₂²×D₈	semidirect
162. C₂²×C₄⋊C₈	D₅₃	semidirect
164. C₂×C₅₃	C₂×#459	semidirect
186. C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	semidirect
188. C₅₃	C₂²×#459	semidirect
222. C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	semidirect
252. C₂²×C₄	D₄₂₄	semidirect
294. C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	semidirect
310. C₂²	#16810819	direct (N × H)
318. C₄	C₂²×D₄₂₄	semidirect
323. C₂	C₂×#16810819	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×D₄₂₄	2
C₂²×#13133214	2
C₂²×C₄×D₂₁₂	2
C₂×#16810819	2
C₂²×#13133139	2
C₂²×C₄⋊C₈×C₅₃	2
C₂²×#459	53

Subgroups — C22×#16810819 #28250869

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#16810819 #28250869