Subgroups — C₂²×#16810825 #28250871

Order 13568.

3222 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 298 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#11719924	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂²×C₄×D₂₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#16810825	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×C₄⋊#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂²×#13133141	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂³×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
9	C₂²×#11719924	—	2	16	no	—
10	C₂²×#11719924	C₂²	1	24	yes	—
11	C₂³×#88322	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×D₂₁₂	—	2	6	no	—
13	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	12	yes	—
14	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#11719921	—	2	1	no	—
16	#16810825	C₂²	1	64	yes	direct product factor
17	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	12	yes	complemented
18	C₂×#13133141	C₂²	1	24	yes	complemented
19	C₂³×Q₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	6	no	—
21	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	12	yes	complemented
22	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
23	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
24	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂⁴×D₅₃	—	2	1	no	—
26	C₂²×D₂₁₂	—	2	3	no	—
27	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
28	C₂²×D₂₁₂	D₄	1	8	yes	—
29	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	6	yes	—
30	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
31	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	12	no	—
32	C₂²×C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
33	C₂×#11719924	—	2	96	no	—
34	C₂×#11719924	C₂³	1	32	yes	—
35	C₂²×#88322	—	2	8	no	—
36	C₂²×#88322	C₂³	1	12	yes	—
37	C₄×D₂₁₂	—	2	24	no	—
38	C₄×D₂₁₂	C₂³	1	16	yes	—
39	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	3	no	—
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	—
41	C₂×#11719921	—	2	12	no	—
42	C₄⋊#88322	C₂³	1	16	yes	complemented
43	#13133141	C₂³	1	32	yes	complemented
44	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	6	no	—
45	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
46	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
47	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	12	yes	—
48	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
49	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	24	no	—
53	C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂³	1	16	yes	complemented
54	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
55	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
56	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	6	yes	—
57	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
58	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
60	C₂³×D₅₃	—	2	6	no	—
61	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
62	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
63	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	12	no	—
64	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	24	no	—
65	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	24	no	—
66	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	24	no	—
67	C₂×Q₈×C₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	SD₁₆	1	8	yes	complemented
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	3	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	3	yes	—
78	C₂²×Dic₅₃	—	2	6	no	—
79	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
80	C₂×D₂₁₂	—	2	24	no	—
81	C₂×D₂₁₂	—	2	6	no	—
82	C₂×D₂₁₂	—	2	12	no	—
83	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	24	yes	—
84	C₂×D₂₁₂	C₂⁴	1	4	yes	—
85	C₂×C₄×D₅₃	—	2	16	no	—
86	C₂×C₄×D₅₃	—	4	48	no	—
87	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
88	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
89	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
90	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
91	#11719924	—	2	64	no	—
92	#11719921	—	2	16	no	—
93	C₄⋊Dic₅₃	—	2	6	no	—
94	C₄⋊Dic₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
95	C₂×#88322	—	2	24	no	—
96	C₂×#88322	C₂⁴	1	8	yes	—
97	C₂³×C₅₃	#121	1	4	yes	—
98	C₂³×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
99	C₂³×C₅₃	#137	1	4	yes	—
100	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
101	C₂²×D₅₃	—	2	24	no	—
102	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
103	C₂²×D₅₃	—	4	12	no	—
104	C₂²×D₅₃	—	4	12	no	—
105	C₂²×D₅₃	—	4	32	no	—
106	Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
107	Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
108	Q₈×C₅₃	—	4	24	no	—
109	C₂×C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	4	24	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	12	yes	—
113	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	24	yes	complemented
114	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	6	yes	—
115	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
116	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
117	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
118	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	6	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
120	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
121	C₂×Dic₅₃	—	4	12	no	—
122	D₂₁₂	—	2	24	no	—
123	D₂₁₂	—	2	4	no	—
124	D₂₁₂	C₂²×D₄	1	8	yes	—
125	C₄×D₅₃	—	4	32	no	—
126	#88322	—	2	8	no	—
127	C₂²×#461	—	53	1	no	maximal, Sylow
128	C₂²×C₅₃	#461	1	16	yes	complemented
129	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	6	yes	—
130	C₂²×C₅₃	C₂²×SD₁₆	1	6	yes	—
131	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	6	yes	—
132	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
134	C₂×D₅₃	—	4	48	no	—
135	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
136	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
137	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
138	C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
139	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	6	yes	—
140	C₄×C₅₃	C₂²×SD₁₆	1	8	yes	complemented
141	C₄×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₄×C₅₃	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
143	Dic₅₃	—	4	4	no	—
144	C₂³×SD₁₆	—	53	2	no	—
145	C₂²×C₄⋊Q₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
146	C₂²×C₄×D₄	—	53	1	no	—
147	C₂×#461	—	53	24	no	—
148	C₂²×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
149	C₂²×#103	—	53	2	no	—
150	C₂×C₅₃	C₂×#461	1	12	yes	complemented
151	C₂×C₅₃	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₅₃	C₂³×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₅₃	C₂²×#137	1	1	yes	characteristic
154	D₅₃	—	4	8	no	—
155	C₂³×Q₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
156	C₂³×D₄	—	53	1	no	—
157	C₂⁴×C₄	—	106	1	no	—
158	C₂²×SD₁₆	—	53	24	no	—
159	C₂²×SD₁₆	—	106	16	no	—
160	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
161	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
162	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	12	yes	complemented
163	C₂×C₄×D₄	—	53	12	no	—
164	C₂×C₄×D₄	—	106	6	no	—
165	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
168	C₂²×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
169	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
170	#461	—	53	64	no	—
171	C₂×C₄⋊C₈	—	53	12	no	—
172	C₂×#103	—	53	24	no	—
173	C₅₃	C₂²×#461	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
174	C₂⁵	—	106	1	no	—
175	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
176	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
177	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
178	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	12	yes	—
179	C₂²×D₄	—	53	8	no	—
180	C₂²×D₄	—	53	6	no	—
181	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
182	C₂²×D₄	—	106	3	no	—
183	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
185	C₂³×C₄	—	106	12	no	—
186	C₂³×C₄	—	212	8	no	—
187	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
188	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
189	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
190	C₂×SD₁₆	—	53	32	no	—
191	C₂×SD₁₆	—	106	96	no	—
192	C₂²×C₈	—	53	12	no	—
193	C₂²×C₈	—	106	8	no	—
194	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
195	C₄⋊Q₈	C₂²×D₅₃	1	16	yes	complemented
196	C₄×D₄	—	53	16	no	—
197	C₄×D₄	—	106	24	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	53	6	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	106	3	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	12	no	—
203	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
204	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
205	C₄⋊C₈	—	53	16	no	—
206	#103	—	53	32	no	—
207	C₂⁴	—	106	8	no	—
208	C₂⁴	—	106	6	no	—
209	C₂⁴	—	212	4	no	—
210	C₂⁴	—	212	4	no	—
211	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
212	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
216	C₂×Q₈	C₂³×D₅₃	1	8	yes	—
217	C₂×D₄	—	53	24	no	—
218	C₂×D₄	—	53	4	no	—
219	C₂×D₄	—	106	24	no	—
220	C₂×D₄	—	106	6	no	—
221	C₂×D₄	—	106	12	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	106	6	no	—
226	C₂²×C₄	—	106	16	no	—
227	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	212	48	no	—
229	C₂²×C₄	#11719924	1	8	yes	complemented
230	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	#11719947	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	3	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	3	yes	—
236	SD₁₆	—	106	64	no	—
237	C₂×C₈	—	53	8	no	—
238	C₂×C₈	—	106	24	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
241	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	106	6	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
244	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	12	yes	—
245	C₄²	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
246	C₂³	—	106	24	no	—
247	C₂³	—	106	4	no	—
248	C₂³	—	212	32	no	—
249	C₂³	—	212	12	no	—
250	C₂³	—	212	12	no	—
251	C₂³	#13133188	1	4	yes	—
252	C₂³	C₂×#11719924	1	4	yes	—
253	C₂³	#13133248	1	4	yes	—
254	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	3	yes	—
255	Q₈	—	2	8	no	—
256	Q₈	—	2	8	no	—
257	Q₈	—	4	24	no	—
258	D₄	—	53	8	no	—
259	D₄	—	106	24	no	—
260	D₄	—	106	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	12	no	—
262	C₂×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂×C₄	—	4	24	no	—
264	C₂×C₄	—	106	4	no	—
265	C₂×C₄	—	212	12	no	—
266	C₂×C₄	—	212	32	no	—
267	C₂×C₄	#13133188	1	12	yes	—
268	C₂×C₄	C₂×#11719924	1	24	yes	complemented
269	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	6	yes	—
270	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
271	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	3	yes	—
272	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
273	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	6	yes	—
274	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
275	C₈	—	106	8	no	—
276	C₂²	—	106	8	no	—
277	C₂²	—	212	4	no	—
278	C₂²	—	212	4	no	—
279	C₂²	—	212	48	no	—
280	C₂²	#16810825	1	16	yes	direct product factor
281	C₂²	C₂×#13133188	1	6	yes	—
282	C₂²	C₂²×#11719924	1	6	yes	—
283	C₂²	C₂×#13133248	1	6	yes	—
284	C₂²	C₂³×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
285	C₄	—	2	4	no	—
286	C₄	—	4	8	no	—
287	C₄	—	212	4	no	—
288	C₄	C₂×#13133188	1	6	yes	—
289	C₄	C₂²×#11719924	1	8	yes	complemented
290	C₄	C₂²×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
291	C₄	C₂²×#11719947	1	1	yes	characteristic
292	C₂	—	212	8	no	—
293	C₂	C₂×#16810825	1	12	yes	direct product factor
294	C₂	C₂²×#13133188	1	1	yes	characteristic
295	C₂	C₂³×#11719924	1	1	yes	characteristic
296	C₂	C₂²×#13133248	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂×C₄×C₅₃	C₂⁵
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₃
Fitting	C₂²×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂
socle	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
prime radical	C₂³×D₂₁₂	C₂²
hypercenter	C₂²×C₄⋊Q₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₂²×#461
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#16810825	C₂	direct (N × H)
4. C₂²×C₄⋊#88322	C₂	semidirect
5. C₂²×#13133141	C₂	semidirect
6. C₂²×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂	semidirect
16. #16810825	C₂²	direct (N × H)
17. C₂×C₄⋊#88322	C₂²	semidirect
18. C₂×#13133141	C₂²	semidirect
21. C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	semidirect
42. C₄⋊#88322	C₂³	semidirect
43. #13133141	C₂³	semidirect
53. C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂³	semidirect
71. C₂²×C₄×C₅₃	SD₁₆	semidirect
113. C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	semidirect
128. C₂²×C₅₃	#461	semidirect
140. C₄×C₅₃	C₂²×SD₁₆	semidirect
145. C₂²×C₄⋊Q₈	D₅₃	semidirect
150. C₂×C₅₃	C₂×#461	semidirect
162. C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	semidirect
173. C₅₃	C₂²×#461	semidirect
195. C₄⋊Q₈	C₂²×D₅₃	semidirect
229. C₂²×C₄	#11719924	semidirect
268. C₂×C₄	C₂×#11719924	semidirect
280. C₂²	#16810825	direct (N × H)
289. C₄	C₂²×#11719924	semidirect
293. C₂	C₂×#16810825	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#11719924	2
C₂²×C₄×D₂₁₂	2
C₂×#16810825	2
C₂²×C₄⋊#88322	2
C₂²×#13133141	2
C₂²×C₄⋊Q₈×C₅₃	2
C₂²×#461	53

Subgroups — C22×#16810825 #28250871

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#16810825 #28250871