Subgroups — C₂²×#16810842 #28250897

Order 13568.

2918 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#11719925	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂³×#11719923	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×C₄×Dic₁₀₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#16810842	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
5	C₂²×C₄⋊#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×#13133141	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#13133138	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂²×#124×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#11719925	—	2	8	no	—
11	C₂²×#11719925	C₂²	1	12	yes	complemented
12	C₂²×#11719923	—	2	8	no	—
13	C₂²×#11719923	C₂²	1	12	yes	—
14	C₂³×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×Dic₁₀₆	—	2	6	no	—
17	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	12	yes	complemented
18	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#11719919	—	2	1	no	—
20	C₂²×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
21	#16810842	C₂²	1	64	yes	direct product factor
22	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	12	yes	complemented
23	C₂×#13133141	C₂²	1	12	yes	complemented
24	C₂×#13133138	C₂²	1	12	yes	—
25	C₂³×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂³×D₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#124×C₅₃	—	2	6	no	—
28	C₂×#124×C₅₃	C₂²	1	12	yes	—
29	C₂²×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
30	C₂²×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
31	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	3	no	—
33	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
34	C₂²×Dic₁₀₆	D₄	1	8	yes	—
35	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	6	yes	—
36	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
37	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
38	C₂×#11719925	—	2	48	no	—
39	C₂×#11719925	C₂³	1	16	yes	complemented
40	C₂×#11719923	—	2	48	no	—
41	C₂×#11719923	C₂³	1	16	yes	—
42	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
43	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
44	C₂²×#88322	C₂³	1	6	yes	—
45	C₂²×#88322	C₂³	1	6	yes	—
46	C₄×Dic₁₀₆	—	2	24	no	—
47	C₄×Dic₁₀₆	C₂³	1	16	yes	complemented
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	3	no	—
49	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	—
50	C₂×#11719919	—	2	12	no	—
51	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	12	no	—
52	C₄⋊#88322	C₂³	1	16	yes	complemented
53	#13133141	C₂³	1	16	yes	complemented
54	#13133138	C₂³	1	16	yes	—
55	C₂⁵×C₅₃	—	2	1	no	—
56	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	3	no	—
57	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
58	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
59	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
60	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	3	no	—
62	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
63	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
64	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
65	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#124×C₅₃	—	2	24	no	—
69	#124×C₅₃	C₂³	1	16	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
72	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	6	yes	—
73	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
74	C₂⁴×C₅₃	—	2	6	no	—
75	C₂⁴×C₅₃	—	4	4	no	—
76	C₂⁴×C₅₃	—	4	4	no	—
77	C₂⁴×C₅₃	—	4	4	no	—
78	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	6	no	—
80	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	12	no	—
81	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	12	no	—
82	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	12	no	—
83	C₂×Q₈×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
84	C₂×D₄×C₅₃	—	2	12	no	—
85	C₂×D₄×C₅₃	—	2	6	no	—
86	C₂×D₄×C₅₃	—	2	12	no	—
87	C₂×D₄×C₅₃	—	4	12	no	—
88	C₂×D₄×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
91	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
92	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
93	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
94	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
95	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	3	yes	—
96	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
97	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
98	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	3	yes	—
99	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
100	C₂²×Dic₅₃	—	2	6	no	—
101	C₂²×Dic₅₃	—	2	6	no	—
102	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
103	C₂×Dic₁₀₆	—	2	24	no	—
104	C₂×Dic₁₀₆	—	2	6	no	—
105	C₂×Dic₁₀₆	—	2	12	no	—
106	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	24	yes	—
107	C₂×Dic₁₀₆	C₂⁴	1	4	yes	—
108	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
109	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
110	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
111	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
112	#11719925	—	2	32	no	—
113	#11719923	—	2	32	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	2	6	no	—
115	C₄⋊Dic₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
116	#11719919	—	2	16	no	—
117	C₄×Dic₅₃	—	2	16	no	—
118	C₂×#88322	—	2	12	no	—
119	C₂×#88322	—	2	12	no	—
120	C₂×#88322	C₂⁴	1	4	yes	—
121	C₂×#88322	C₂⁴	1	4	yes	—
122	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
123	C₂³×C₅₃	—	4	12	no	—
124	C₂³×C₅₃	—	4	12	no	—
125	C₂³×C₅₃	—	4	12	no	—
126	C₂³×C₅₃	—	8	16	no	—
127	C₂³×C₅₃	#121	1	4	yes	—
128	C₂³×C₅₃	#135	1	4	yes	—
129	C₂³×C₅₃	#137	1	4	yes	—
130	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
131	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
132	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
133	Q₈×C₅₃	—	4	12	no	—
134	D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
135	D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
136	D₄×C₅₃	—	4	12	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	4	12	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	12	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	6	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	6	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
148	C₂×Dic₅₃	—	2	24	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	4	12	no	—
152	Dic₁₀₆	—	2	24	no	—
153	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
154	Dic₁₀₆	C₂²×D₄	1	8	yes	—
155	#88322	—	2	4	no	—
156	#88322	—	2	4	no	—
157	C₂²×#464	—	53	1	no	maximal, Sylow
158	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
159	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
161	C₂²×C₅₃	—	8	24	no	—
162	C₂²×C₅₃	#464	1	16	yes	complemented
163	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	6	yes	—
164	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	6	yes	—
165	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	6	yes	—
166	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
168	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
169	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
170	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	6	yes	—
171	C₄×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₄×C₅₃	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
173	Dic₅₃	—	2	8	no	—
174	Dic₅₃	—	4	4	no	—
175	C₂³×Q₁₆	—	53	1	no	—
176	C₂³×SD₁₆	—	53	1	no	—
177	C₂²×#124	D₅₃	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
179	C₂×#464	—	53	24	no	—
180	C₂²×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
181	C₂²×#103	—	53	1	no	—
182	C₂²×#102	—	53	1	no	—
183	C₂×C₅₃	—	8	4	no	—
184	C₂×C₅₃	C₂×#464	1	12	yes	complemented
185	C₂×C₅₃	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₅₃	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₅₃	C₂²×#137	1	1	yes	characteristic
188	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
189	C₂³×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
190	C₂³×D₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×Q₁₆	—	53	12	no	—
192	C₂²×Q₁₆	—	106	8	no	—
193	C₂²×SD₁₆	—	53	12	no	—
194	C₂²×SD₁₆	—	106	8	no	—
195	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
196	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
197	C₂×#124	—	2	6	no	—
198	C₂×#124	C₂×D₅₃	1	12	yes	—
199	C₂×C₄×Q₈	—	53	12	no	—
200	C₂×C₄×Q₈	—	106	6	no	—
201	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
202	C₂²×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
203	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
204	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
205	C₂²×C₄²	—	106	1	no	—
206	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
207	#464	—	53	64	no	—
208	C₂×C₄⋊C₈	—	53	12	no	—
209	C₂×#103	—	53	12	no	—
210	C₂×#102	—	53	12	no	—
211	C₅₃	C₂²×#464	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
212	C₂⁵	—	2	1	no	—
213	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
214	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
215	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
216	C₂²×Q₈	—	53	8	no	—
217	C₂²×Q₈	—	53	6	no	—
218	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
219	C₂²×Q₈	—	106	3	no	—
220	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
221	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
224	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
225	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
227	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
228	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
229	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
230	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
231	C₂×Q₁₆	—	53	16	no	—
232	C₂×Q₁₆	—	106	48	no	—
233	C₂×SD₁₆	—	53	16	no	—
234	C₂×SD₁₆	—	106	48	no	—
235	C₂²×C₈	—	53	6	no	—
236	C₂²×C₈	—	53	6	no	—
237	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
238	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
239	#124	—	2	24	no	—
240	#124	C₂²×D₅₃	1	16	yes	—
241	C₄×Q₈	—	53	16	no	—
242	C₄×Q₈	—	106	24	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	—	53	6	no	—
244	C₂×C₄⋊C₄	—	106	3	no	—
245	C₂×C₄⋊C₄	—	106	12	no	—
246	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
247	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
248	C₂×C₄²	—	106	12	no	—
249	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
250	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
251	C₄⋊C₈	—	53	16	no	—
252	#103	—	53	16	no	—
253	#102	—	53	16	no	—
254	C₂⁴	—	2	6	no	—
255	C₂⁴	—	4	4	no	—
256	C₂⁴	—	4	4	no	—
257	C₂⁴	—	4	4	no	—
258	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
259	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
260	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
261	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
262	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
263	C₂×Q₈	—	53	24	no	—
264	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
265	C₂×Q₈	—	106	24	no	—
266	C₂×Q₈	—	106	6	no	—
267	C₂×Q₈	—	106	12	no	—
268	C₂×Q₈	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
269	C₂×D₄	—	2	12	no	—
270	C₂×D₄	—	2	6	no	—
271	C₂×D₄	—	2	12	no	—
272	C₂×D₄	—	4	12	no	—
273	C₂×D₄	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
279	C₂²×C₄	—	106	6	no	—
280	C₂²×C₄	—	106	6	no	—
281	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
282	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
283	C₂²×C₄	#11719947	1	4	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	3	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	3	yes	—
288	Q₁₆	—	106	32	no	—
289	SD₁₆	—	106	32	no	—
290	C₂×C₈	—	53	4	no	—
291	C₂×C₈	—	53	4	no	—
292	C₂×C₈	—	106	12	no	—
293	C₂×C₈	—	106	12	no	—
294	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	106	6	no	—
296	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
299	C₄²	—	106	16	no	—
300	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	12	yes	—
301	C₄²	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
302	C₂³	—	2	4	no	—
303	C₂³	—	4	12	no	—
304	C₂³	—	4	12	no	—
305	C₂³	—	4	12	no	—
306	C₂³	—	8	16	no	—
307	C₂³	#13133188	1	4	yes	—
308	C₂³	#13133237	1	4	yes	—
309	C₂³	#13133247	1	4	yes	—
310	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	3	yes	—
311	Q₈	—	2	4	no	—
312	Q₈	—	2	4	no	—
313	Q₈	—	4	12	no	—
314	Q₈	—	53	8	no	—
315	Q₈	—	106	24	no	—
316	Q₈	—	106	4	no	—
317	D₄	—	2	4	no	—
318	D₄	—	2	4	no	—
319	D₄	—	4	12	no	—
320	C₂×C₄	—	2	12	no	—
321	C₂×C₄	—	2	12	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	12	no	—
324	C₂×C₄	—	106	24	no	—
325	C₂×C₄	—	106	4	no	—
326	C₂×C₄	—	106	4	no	—
327	C₂×C₄	—	212	12	no	—
328	C₂×C₄	#13133188	1	12	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	6	yes	—
330	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	3	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	6	yes	—
334	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
335	C₈	—	106	4	no	—
336	C₈	—	106	4	no	—
337	C₂²	—	4	4	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	4	4	no	—
340	C₂²	—	8	24	no	—
341	C₂²	#16810842	1	16	yes	direct product factor
342	C₂²	C₂×#13133188	1	6	yes	—
343	C₂²	C₂×#13133237	1	6	yes	—
344	C₂²	C₂×#13133247	1	6	yes	—
345	C₂²	C₂³×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
346	C₄	—	2	4	no	—
347	C₄	—	2	4	no	—
348	C₄	—	4	4	no	—
349	C₄	—	106	8	no	—
350	C₄	—	212	4	no	—
351	C₄	C₂×#13133188	1	6	yes	—
352	C₄	C₂²×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
353	C₄	C₂²×#11719947	1	1	yes	characteristic
354	C₂	—	8	4	no	—
355	C₂	C₂×#16810842	1	12	yes	direct product factor
356	C₂	C₂²×#13133188	1	1	yes	characteristic
357	C₂	C₂²×#13133237	1	1	yes	characteristic
358	C₂	C₂²×#13133247	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂×C₄×C₅₃	C₂⁵
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₃
Fitting	C₂²×#124×C₅₃	C₂
socle	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
prime radical	C₂³×D₄×C₅₃	C₂²
hypercenter	C₂²×#124	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₂²×#464
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×#124

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×#11719925	C₂	semidirect
3. C₂²×C₄×Dic₁₀₆	C₂	semidirect
4. C₂×#16810842	C₂	direct (N × H)
5. C₂²×C₄⋊#88322	C₂	semidirect
6. C₂²×#13133141	C₂	semidirect
11. C₂²×#11719925	C₂²	semidirect
17. C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	semidirect
21. #16810842	C₂²	direct (N × H)
22. C₂×C₄⋊#88322	C₂²	semidirect
23. C₂×#13133141	C₂²	semidirect
39. C₂×#11719925	C₂³	semidirect
47. C₄×Dic₁₀₆	C₂³	semidirect
52. C₄⋊#88322	C₂³	semidirect
53. #13133141	C₂³	semidirect
162. C₂²×C₅₃	#464	semidirect
184. C₂×C₅₃	C₂×#464	semidirect
211. C₅₃	C₂²×#464	semidirect
341. C₂²	#16810842	direct (N × H)
355. C₂	C₂×#16810842	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#11719925	2
C₂³×#11719923	2
C₂²×C₄×Dic₁₀₆	2
C₂×#16810842	2
C₂²×C₄⋊#88322	2
C₂²×#13133141	2
C₂²×#13133138	2
C₂²×#124×C₅₃	2
C₂²×#464	53

Subgroups — C22×#16810842 #28250897

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#16810842 #28250897