Subgroups — C₂²×#16810890 #28251470

Order 13568.

2886 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133243	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂²×#13133223	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16810890	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×#13133153	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂²×#13133134	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂³×D₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#11719945	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×#13133243	—	2	12	no	—
9	C₂×#13133243	C₂²	1	24	yes	complemented
10	C₂²×#11719923	—	2	2	no	—
11	C₂²×#11719922	—	2	2	no	—
12	C₂×#13133223	—	2	6	no	—
13	C₂×#13133223	C₂²	1	12	yes	complemented
14	C₂²×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#11719912	—	2	1	no	—
17	C₂²×C₈×D₅₃	—	2	1	no	—
18	#16810890	C₂²	1	64	yes	direct product factor
19	C₂×#13133153	C₂²	1	12	yes	complemented
20	C₂×#13133134	C₂²	1	24	yes	complemented
21	C₂³×D₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×D₈×C₅₃	—	2	1	no	—
23	C₂²×D₈×C₅₃	—	2	1	no	—
24	C₂²×D₈×C₅₃	—	2	6	no	—
25	C₂²×D₈×C₅₃	C₂²	1	12	yes	complemented
26	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#11719945	—	2	3	no	—
28	C₂×#11719945	—	2	3	no	—
29	C₂×#11719945	D₄	1	6	yes	—
30	C₂×#11719945	C₂³	1	6	yes	—
31	C₂²×Dic₁₀₆	D₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×D₂₁₂	D₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	1	no	—
34	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
35	#13133243	—	2	48	no	—
36	#13133243	C₂³	1	32	yes	complemented
37	C₂×#11719923	—	2	24	no	—
38	C₂×#11719922	—	2	24	no	—
39	#13133223	—	2	24	no	—
40	#13133223	C₂³	1	16	yes	complemented
41	C₂×#11719917	—	2	3	no	—
42	C₂×#11719917	—	2	6	no	—
43	C₂×#11719917	C₂³	1	6	yes	—
44	C₂×#11719917	C₂³	1	12	yes	—
45	C₂×#11719912	—	2	12	no	—
46	C₂²×#88322	—	2	1	no	—
47	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
48	C₂×C₈×D₅₃	—	2	12	no	—
49	#13133153	C₂³	1	16	yes	complemented
50	#13133134	C₂³	1	32	yes	complemented
51	C₂⁵×C₅₃	—	2	2	no	—
52	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
53	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	6	no	—
54	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
55	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	6	no	—
56	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	6	no	—
57	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	12	yes	—
58	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×D₈×C₅₃	—	2	12	no	—
60	C₂×D₈×C₅₃	—	2	12	no	—
61	C₂×D₈×C₅₃	—	2	24	no	—
62	C₂×D₈×C₅₃	C₂³	1	16	yes	complemented
63	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	6	yes	—
66	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
67	C₂⁴×C₅₃	—	2	12	no	—
68	C₂⁴×C₅₃	—	4	6	no	—
69	C₂⁴×C₅₃	—	4	2	no	—
70	C₂⁴×C₅₃	—	8	8	no	—
71	C₂⁴×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
72	C₂³×D₅₃	—	2	1	no	—
73	C₂×D₄×C₅₃	—	2	12	no	—
74	C₂×D₄×C₅₃	—	2	12	no	—
75	C₂×D₄×C₅₃	—	2	12	no	—
76	C₂×D₄×C₅₃	—	2	12	no	—
77	C₂×D₄×C₅₃	—	2	12	no	—
78	C₂×D₄×C₅₃	—	4	6	no	—
79	C₂×D₄×C₅₃	—	4	6	no	—
80	C₂×D₄×C₅₃	—	4	12	no	—
81	C₂×D₄×C₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	3	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	3	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	3	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	3	yes	—
88	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	6	no	—
89	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	6	no	—
90	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
91	#11719945	—	2	12	no	—
92	#11719945	—	2	6	no	—
93	#11719945	—	2	6	no	—
94	#11719945	C₂×D₄	1	12	yes	—
95	#11719945	C₂⁴	1	4	yes	—
96	C₂×D₂₁₂	—	2	3	no	—
97	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	6	yes	—
98	C₂×C₄×D₅₃	—	2	6	no	—
99	C₂×C₄×D₅₃	—	2	6	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	—	2	3	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	6	yes	—
102	D₈×C₅₃	—	2	16	no	—
103	D₈×C₅₃	—	2	16	no	—
104	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
105	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
106	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
107	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
108	#11719923	—	2	32	no	—
109	#11719922	—	2	32	no	—
110	#11719917	—	2	6	no	—
111	#11719917	—	2	12	no	—
112	#11719917	C₂⁴	1	4	yes	—
113	#11719917	C₂⁴	1	8	yes	—
114	C₂×#88322	—	2	6	no	—
115	C₂×#88322	—	2	12	no	—
116	#11719912	—	2	16	no	—
117	C₈×D₅₃	—	2	16	no	—
118	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
119	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
120	C₂³×C₅₃	—	4	12	no	—
121	C₂³×C₅₃	—	4	12	no	—
122	C₂³×C₅₃	—	8	24	no	—
123	C₂³×C₅₃	—	8	24	no	—
124	C₂³×C₅₃	—	8	8	no	—
125	C₂³×C₅₃	#121	1	3	yes	—
126	C₂³×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	3	yes	—
128	C₂²×D₅₃	—	2	6	no	—
129	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
130	D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
131	D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
132	D₄×C₅₃	—	4	12	no	—
133	D₄×C₅₃	—	4	12	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	3	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	3	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	6	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	3	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
143	C₂²⋊D₅₃	—	2	12	no	—
144	C₂²⋊D₅₃	—	2	4	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	6	no	—
146	D₂₁₂	—	2	6	no	—
147	D₂₁₂	C₂²×D₄	1	4	yes	—
148	C₄×D₅₃	—	2	12	no	—
149	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
150	Dic₁₀₆	—	2	6	no	—
151	Dic₁₀₆	C₂²×D₄	1	4	yes	—
152	C₈×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
153	C₈×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
154	#88322	—	2	4	no	—
155	#88322	—	2	8	no	—
156	C₂²×#472	—	53	1	no	maximal, Sylow
157	C₂²×C₅₃	—	2	6	no	—
158	C₂²×C₅₃	—	2	6	no	—
159	C₂²×C₅₃	—	4	8	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	8	8	no	—
161	C₂²×C₅₃	—	8	24	no	—
162	C₂²×C₅₃	—	8	24	no	—
163	C₂²×C₅₃	#472	1	4	yes	complemented
164	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	3	yes	—
165	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	3	yes	—
166	C₂²×C₅₃	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
167	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
168	C₂×D₅₃	—	4	12	no	—
169	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	3	yes	—
170	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	3	yes	—
171	C₄×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₄×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
173	Dic₅₃	—	2	4	no	—
174	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	—	53	2	no	—
175	C₂³×D₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
176	C₂²×#131	—	53	1	no	—
177	C₂×#472	—	53	24	no	—
178	C₂²×#108	—	53	1	no	—
179	C₂²×#100	—	53	2	no	—
180	C₂×C₅₃	—	2	3	no	—
181	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
182	C₂×C₅₃	—	8	8	no	—
183	C₂×C₅₃	C₂×#472	1	6	yes	complemented
184	C₂×C₅₃	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
185	D₅₃	—	4	4	no	—
186	C₂²×#41	—	53	1	no	—
187	C₂³×D₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
188	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	53	24	no	—
189	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	106	12	no	—
190	C₂²×SD₁₆	—	106	2	no	—
191	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
192	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
193	C₂²×D₈	—	2	6	no	—
194	C₂²×D₈	—	106	2	no	—
195	C₂²×D₈	C₂×D₅₃	1	12	yes	complemented
196	C₂×#131	—	53	12	no	—
197	C₂×#131	—	106	6	no	—
198	C₂²×M₁₆	—	53	1	no	—
199	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
200	C₂²×M₁₆	—	106	1	no	—
201	C₂³×C₈	—	106	1	no	—
202	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	#472	—	53	64	no	—
204	C₂×#108	—	53	12	no	—
205	C₂×#100	—	53	24	no	—
206	C₅₃	C₂²×#472	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
207	C₂⁵	—	2	2	no	—
208	C₂×#41	—	53	6	no	—
209	C₂×#41	—	53	6	no	—
210	C₂×#41	—	106	3	no	—
211	C₂×#41	—	106	3	no	—
212	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
213	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
215	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
216	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
217	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
219	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
220	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	12	yes	—
221	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
222	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
223	AGL(1,ℤ/8)	—	53	32	no	—
224	AGL(1,ℤ/8)	—	106	48	no	—
225	C₂×SD₁₆	—	106	24	no	—
226	C₂×D₈	—	2	12	no	—
227	C₂×D₈	—	2	12	no	—
228	C₂×D₈	—	2	24	no	—
229	C₂×D₈	—	106	24	no	—
230	C₂×D₈	C₂²×D₅₃	1	16	yes	complemented
231	#131	—	53	16	no	—
232	#131	—	106	24	no	—
233	C₂×M₁₆	—	53	6	no	—
234	C₂×M₁₆	—	53	12	no	—
235	C₂×M₁₆	—	106	6	no	—
236	C₂×M₁₆	—	106	3	no	—
237	C₂×M₁₆	—	106	12	no	—
238	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
239	C₂²×C₈	—	106	1	no	—
240	C₂²×C₈	—	106	12	no	—
241	C₂²×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
244	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
245	#108	—	53	16	no	—
246	#100	—	53	32	no	—
247	C₂⁴	—	2	12	no	—
248	C₂⁴	—	4	6	no	—
249	C₂⁴	—	4	2	no	—
250	C₂⁴	—	8	8	no	—
251	C₂⁴	—	106	1	no	—
252	C₂⁴	#11719947	1	1	yes	characteristic
253	#41	—	53	12	no	—
254	#41	—	53	4	no	—
255	#41	—	106	12	no	—
256	#41	—	106	6	no	—
257	#41	—	106	6	no	—
258	C₂×Q₈	—	53	6	no	—
259	C₂×Q₈	—	106	3	no	—
260	C₂×D₄	—	2	12	no	—
261	C₂×D₄	—	2	12	no	—
262	C₂×D₄	—	2	12	no	—
263	C₂×D₄	—	2	12	no	—
264	C₂×D₄	—	2	12	no	—
265	C₂×D₄	—	4	6	no	—
266	C₂×D₄	—	4	6	no	—
267	C₂×D₄	—	4	12	no	—
268	C₂×D₄	—	53	6	no	—
269	C₂×D₄	—	106	6	no	—
270	C₂×D₄	—	106	6	no	—
271	C₂×D₄	—	106	3	no	—
272	C₂×D₄	C₂³×D₅₃	1	8	yes	—
273	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
274	C₂²×C₄	—	106	6	no	—
275	C₂²×C₄	—	106	6	no	—
276	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	3	yes	—
277	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	#11719947	1	3	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	3	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	3	yes	—
282	SD₁₆	—	106	32	no	—
283	D₈	—	2	16	no	—
284	D₈	—	2	16	no	—
285	D₈	—	106	32	no	—
286	M₁₆	—	53	4	no	—
287	M₁₆	—	53	8	no	—
288	M₁₆	—	106	12	no	—
289	M₁₆	—	106	6	no	—
290	M₁₆	—	106	16	no	—
291	C₂×C₈	—	106	12	no	—
292	C₂×C₈	—	106	6	no	—
293	C₂×C₈	—	106	16	no	—
294	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
295	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
296	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	12	yes	—
297	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
298	C₂³	—	2	4	no	—
299	C₂³	—	2	8	no	—
300	C₂³	—	4	12	no	—
301	C₂³	—	4	12	no	—
302	C₂³	—	8	24	no	—
303	C₂³	—	8	24	no	—
304	C₂³	—	8	8	no	—
305	C₂³	—	106	6	no	—
306	C₂³	—	212	4	no	—
307	C₂³	#13133188	1	3	yes	—
308	C₂³	#13133188	1	1	yes	characteristic
309	C₂³	C₂×#11719947	1	3	yes	—
310	Q₈	—	53	4	no	—
311	Q₈	—	106	6	no	—
312	D₄	—	2	8	no	—
313	D₄	—	2	8	no	—
314	D₄	—	4	12	no	—
315	D₄	—	4	12	no	—
316	D₄	—	53	4	no	—
317	D₄	—	106	12	no	—
318	D₄	—	106	4	no	—
319	D₄	—	106	6	no	—
320	C₂×C₄	—	106	6	no	—
321	C₂×C₄	—	106	12	no	—
322	C₂×C₄	—	106	4	no	—
323	C₂×C₄	#13133188	1	3	yes	—
324	C₂×C₄	#13133188	1	3	yes	—
325	C₂×C₄	#13133188	1	6	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	3	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	3	yes	—
328	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	3	yes	—
329	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	3	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	3	yes	—
331	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
332	C₈	—	106	8	no	—
333	C₈	—	106	4	no	—
334	C₈	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
335	C₈	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
336	C₂²	—	2	6	no	—
337	C₂²	—	2	6	no	—
338	C₂²	—	4	8	no	—
339	C₂²	—	8	8	no	—
340	C₂²	—	8	24	no	—
341	C₂²	—	8	24	no	—
342	C₂²	—	106	4	no	—
343	C₂²	—	212	12	no	—
344	C₂²	#16810890	1	4	yes	direct product factor
345	C₂²	C₂×#13133188	1	3	yes	—
346	C₂²	C₂×#13133188	1	3	yes	—
347	C₂²	C₂²×#11719947	1	1	yes	characteristic
348	C₄	—	106	4	no	—
349	C₄	C₂×#13133188	1	3	yes	—
350	C₄	C₂×#13133188	1	3	yes	—
351	C₄	C₂²×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
352	C₄	C₂³×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
353	C₂	—	2	3	no	—
354	C₂	—	2	1	no	—
355	C₂	—	8	8	no	—
356	C₂	—	212	4	no	—
357	C₂	C₂×#16810890	1	6	yes	direct product factor
358	C₂	C₂²×#13133188	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	#13133188
commutator, cosocle	C₂×C₄×C₅₃	C₂⁵
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₃
Fitting	C₂³×D₈×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	#121
hypercenter	C₂³×D₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₂²×#472
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂³×D₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#13133243	C₂	semidirect
2. C₂²×#13133223	C₂	semidirect
3. C₂×#16810890	C₂	direct (N × H)
4. C₂²×#13133153	C₂	semidirect
5. C₂²×#13133134	C₂	semidirect
6. C₂³×D₈×C₅₃	C₂	semidirect
9. C₂×#13133243	C₂²	semidirect
13. C₂×#13133223	C₂²	semidirect
18. #16810890	C₂²	direct (N × H)
19. C₂×#13133153	C₂²	semidirect
20. C₂×#13133134	C₂²	semidirect
25. C₂²×D₈×C₅₃	C₂²	semidirect
36. #13133243	C₂³	semidirect
40. #13133223	C₂³	semidirect
49. #13133153	C₂³	semidirect
50. #13133134	C₂³	semidirect
62. C₂×D₈×C₅₃	C₂³	semidirect
163. C₂²×C₅₃	#472	semidirect
175. C₂³×D₈	D₅₃	semidirect
183. C₂×C₅₃	C₂×#472	semidirect
195. C₂²×D₈	C₂×D₅₃	semidirect
206. C₅₃	C₂²×#472	semidirect
230. C₂×D₈	C₂²×D₅₃	semidirect
344. C₂²	#16810890	direct (N × H)
357. C₂	C₂×#16810890	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133243	2
C₂²×#13133223	2
C₂×#16810890	2
C₂²×#13133153	2
C₂²×#13133134	2
C₂³×D₈×C₅₃	2
C₂²×#472	53

Subgroups — C22×#16810890 #28251470

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#16810890 #28251470