Subgroups — C₂²×#16810893 #28251473

Order 13568.

2886 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133242	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂³×D₄₂₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16810893	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×#13133153	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂²×#13133133	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#131×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×#13133242	—	2	12	no	—
9	C₂×#13133242	C₂²	1	24	yes	complemented
10	C₂²×#11719924	—	2	2	no	—
11	C₂²×D₄₂₄	—	2	1	no	—
12	C₂²×D₄₂₄	—	2	1	no	—
13	C₂²×D₄₂₄	—	2	6	no	—
14	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	12	yes	complemented
15	C₂²×#11719922	—	2	2	no	—
16	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810893	C₂²	1	64	yes	direct product factor
18	C₂×#13133153	C₂²	1	12	yes	complemented
19	C₂×#13133133	C₂²	1	24	yes	complemented
20	C₂²×#41×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#131×C₅₃	—	2	6	no	—
22	C₂×#131×C₅₃	C₂²	1	12	yes	complemented
23	C₂²×M₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
24	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂³×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
26	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂⁴×D₅₃	—	2	2	no	—
28	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
29	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
30	C₂²×D₂₁₂	—	2	6	no	—
31	C₂²×D₂₁₂	—	2	6	no	—
32	C₂²×D₂₁₂	—	2	6	no	—
33	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	12	yes	—
34	#13133242	—	2	48	no	—
35	#13133242	C₂³	1	32	yes	complemented
36	C₂×#11719924	—	2	24	no	—
37	C₂×D₄₂₄	—	2	12	no	—
38	C₂×D₄₂₄	—	2	12	no	—
39	C₂×D₄₂₄	—	2	24	no	—
40	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	16	yes	complemented
41	C₂×#11719922	—	2	24	no	—
42	C₂×#11719917	—	2	6	no	—
43	C₂×#11719917	C₂³	1	12	yes	—
44	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
45	#13133153	C₂³	1	16	yes	complemented
46	#13133133	C₂³	1	32	yes	complemented
47	C₂×#41×C₅₃	—	2	3	no	—
48	C₂×#41×C₅₃	—	2	3	no	—
49	C₂×#41×C₅₃	D₄	1	6	yes	—
50	C₂×#41×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
51	C₂²×Q₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
53	C₂²×D₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
55	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#131×C₅₃	—	2	24	no	—
57	#131×C₅₃	C₂³	1	16	yes	complemented
58	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	12	no	—
59	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	3	no	—
60	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
61	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	12	no	—
62	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	6	yes	—
66	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
67	C₂⁴×C₅₃	—	2	1	no	—
68	C₂⁴×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
69	C₂³×D₅₃	—	2	12	no	—
70	C₂³×D₅₃	—	4	6	no	—
71	C₂³×D₅₃	—	4	2	no	—
72	C₂³×D₅₃	—	8	8	no	—
73	#41×C₅₃	—	2	12	no	—
74	#41×C₅₃	—	2	6	no	—
75	#41×C₅₃	—	2	6	no	—
76	#41×C₅₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
77	#41×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
78	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	3	no	—
79	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
80	C₂×D₄×C₅₃	—	2	6	no	—
81	C₂×D₄×C₅₃	—	2	6	no	—
82	C₂×D₄×C₅₃	—	2	3	no	—
83	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	3	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	3	yes	—
91	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	3	yes	—
92	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	3	yes	—
93	C₂×D₂₁₂	—	2	12	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	2	12	no	—
95	C₂×D₂₁₂	—	2	12	no	—
96	C₂×D₂₁₂	—	2	12	no	—
97	C₂×D₂₁₂	—	2	12	no	—
98	C₂×D₂₁₂	—	4	6	no	—
99	C₂×D₂₁₂	—	4	6	no	—
100	C₂×D₂₁₂	—	4	12	no	—
101	C₂×D₂₁₂	C₂⁴	1	8	yes	—
102	M₁₆×C₅₃	—	2	6	no	—
103	M₁₆×C₅₃	—	2	16	no	—
104	M₁₆×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
105	C₂×C₈×C₅₃	—	2	6	no	—
106	C₂×C₈×C₅₃	—	2	16	no	—
107	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
108	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
109	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
110	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
111	#11719924	—	2	32	no	—
112	#11719922	—	2	32	no	—
113	#11719917	—	2	12	no	—
114	#11719917	C₂⁴	1	8	yes	—
115	C₂×#88322	—	2	12	no	—
116	D₄₂₄	—	2	16	no	—
117	D₄₂₄	—	2	16	no	—
118	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
119	C₂³×C₅₃	—	2	6	no	—
120	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
121	C₂³×C₅₃	#121	1	3	yes	—
122	C₂³×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	3	yes	—
124	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
125	C₂²×D₅₃	—	4	12	no	—
126	C₂²×D₅₃	—	4	12	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	8	24	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	8	8	no	—
129	C₂²×D₅₃	—	8	24	no	—
130	Q₈×C₅₃	—	2	6	no	—
131	Q₈×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
132	D₄×C₅₃	—	2	12	no	—
133	D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
134	D₄×C₅₃	—	2	6	no	—
135	D₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	3	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	3	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	6	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	3	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
148	D₂₁₂	—	2	8	no	—
149	D₂₁₂	—	2	8	no	—
150	D₂₁₂	—	4	12	no	—
151	D₂₁₂	—	4	12	no	—
152	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
153	C₈×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
154	C₈×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
155	#88322	—	2	8	no	—
156	C₂²×#472	—	53	1	no	maximal, Sylow
157	C₂²×C₅₃	—	2	6	no	—
158	C₂²×C₅₃	—	2	6	no	—
159	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	4	12	no	—
161	C₂²×C₅₃	#472	1	4	yes	complemented
162	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	3	yes	—
163	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	3	yes	—
164	C₂²×C₅₃	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
165	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
166	C₂×D₅₃	—	8	24	no	—
167	C₂×D₅₃	—	8	24	no	—
168	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
169	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
170	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	3	yes	—
171	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	3	yes	—
172	C₄×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₄×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	—	53	2	no	—
175	C₂³×D₈	—	53	1	no	—
176	C₂²×#131	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
177	C₂×#472	—	53	24	no	—
178	C₂²×#108	—	53	1	no	—
179	C₂²×#100	—	53	2	no	—
180	C₂×C₅₃	—	2	3	no	—
181	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
182	C₂×C₅₃	—	4	4	no	—
183	C₂×C₅₃	C₂×#472	1	6	yes	complemented
184	C₂×C₅₃	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
185	D₅₃	—	8	8	no	—
186	C₂²×#41	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
187	C₂³×D₄	—	53	2	no	—
188	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	53	24	no	—
189	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	106	12	no	—
190	C₂²×SD₁₆	—	106	2	no	—
191	C₂²×D₈	—	53	12	no	—
192	C₂²×D₈	—	106	2	no	—
193	C₂²×D₈	—	106	1	no	—
194	C₂²×D₈	—	106	1	no	—
195	C₂²×D₈	—	106	6	no	—
196	C₂×#131	—	2	6	no	—
197	C₂×#131	C₂×D₅₃	1	12	yes	complemented
198	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
199	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
200	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
201	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
202	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	#472	—	53	64	no	—
204	C₂×#108	—	53	12	no	—
205	C₂×#100	—	53	24	no	—
206	C₅₃	C₂²×#472	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
207	C₂⁵	—	106	2	no	—
208	C₂×#41	—	2	3	no	—
209	C₂×#41	—	2	3	no	—
210	C₂×#41	D₂₁₂	1	6	yes	—
211	C₂×#41	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
212	C₂²×Q₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
214	C₂²×D₄	—	53	12	no	—
215	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
216	C₂²×D₄	—	106	6	no	—
217	C₂²×D₄	—	106	6	no	—
218	C₂²×D₄	—	106	6	no	—
219	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
220	C₂²×D₄	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
221	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
223	AGL(1,ℤ/8)	—	53	32	no	—
224	AGL(1,ℤ/8)	—	106	48	no	—
225	C₂×SD₁₆	—	106	24	no	—
226	C₂×D₈	—	53	16	no	—
227	C₂×D₈	—	106	24	no	—
228	C₂×D₈	—	106	12	no	—
229	C₂×D₈	—	106	12	no	—
230	C₂×D₈	—	106	24	no	—
231	#131	—	2	24	no	—
232	#131	C₂²×D₅₃	1	16	yes	complemented
233	C₂×M₁₆	—	2	3	no	—
234	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
235	C₂×M₁₆	—	53	12	no	—
236	C₂×M₁₆	—	106	6	no	—
237	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
238	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
239	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
240	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
241	C₂²×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
244	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
245	#108	—	53	16	no	—
246	#100	—	53	32	no	—
247	C₂⁴	—	2	1	no	—
248	C₂⁴	—	106	12	no	—
249	C₂⁴	—	424	8	no	—
250	C₂⁴	—	212	6	no	—
251	C₂⁴	—	212	2	no	—
252	C₂⁴	#11719945	1	1	yes	characteristic
253	#41	—	2	12	no	—
254	#41	—	2	6	no	—
255	#41	—	2	6	no	—
256	#41	C₂×D₂₁₂	1	12	yes	—
257	#41	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
258	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
259	C₂×Q₈	C₂×D₂₁₂	1	6	yes	—
260	C₂×D₄	—	2	6	no	—
261	C₂×D₄	—	2	6	no	—
262	C₂×D₄	—	2	3	no	—
263	C₂×D₄	—	53	8	no	—
264	C₂×D₄	—	106	12	no	—
265	C₂×D₄	—	106	12	no	—
266	C₂×D₄	—	106	12	no	—
267	C₂×D₄	—	106	12	no	—
268	C₂×D₄	—	106	12	no	—
269	C₂×D₄	—	212	6	no	—
270	C₂×D₄	—	212	6	no	—
271	C₂×D₄	—	212	12	no	—
272	C₂×D₄	C₂×D₂₁₂	1	6	yes	—
273	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
276	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	3	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	#11719945	1	3	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	3	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	3	yes	—
282	SD₁₆	—	106	32	no	—
283	D₈	—	106	32	no	—
284	D₈	—	106	16	no	—
285	D₈	—	106	16	no	—
286	M₁₆	—	2	6	no	—
287	M₁₆	—	2	16	no	—
288	M₁₆	—	53	8	no	—
289	M₁₆	—	106	12	no	—
290	M₁₆	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
291	C₂×C₈	—	2	6	no	—
292	C₂×C₈	—	2	16	no	—
293	C₂×C₈	—	106	12	no	—
294	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
295	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
296	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	12	yes	—
297	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
298	C₂³	—	2	4	no	—
299	C₂³	—	2	6	no	—
300	C₂³	—	4	4	no	—
301	C₂³	—	106	8	no	—
302	C₂³	—	424	24	no	—
303	C₂³	—	424	24	no	—
304	C₂³	—	424	8	no	—
305	C₂³	—	212	12	no	—
306	C₂³	—	212	12	no	—
307	C₂³	#13133191	1	3	yes	—
308	C₂³	#13133191	1	1	yes	characteristic
309	C₂³	C₂×#11719945	1	3	yes	—
310	Q₈	—	2	6	no	—
311	Q₈	C₂²×D₂₁₂	1	4	yes	—
312	D₄	—	2	12	no	—
313	D₄	—	2	4	no	—
314	D₄	—	2	6	no	—
315	D₄	—	106	8	no	—
316	D₄	—	106	8	no	—
317	D₄	—	212	12	no	—
318	D₄	—	212	12	no	—
319	D₄	C₂²×D₂₁₂	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	—	2	6	no	—
321	C₂×C₄	—	2	12	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	#13133191	1	3	yes	—
324	C₂×C₄	#13133191	1	3	yes	—
325	C₂×C₄	#13133191	1	6	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	3	yes	—
327	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	3	yes	—
328	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	3	yes	—
329	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	3	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	3	yes	—
331	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
332	C₈	—	2	4	no	—
333	C₈	—	106	8	no	—
334	C₈	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
335	C₈	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
336	C₂²	—	2	6	no	—
337	C₂²	—	2	6	no	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	4	12	no	—
340	C₂²	—	424	8	no	—
341	C₂²	—	424	24	no	—
342	C₂²	—	424	24	no	—
343	C₂²	—	212	8	no	—
344	C₂²	#16810893	1	4	yes	direct product factor
345	C₂²	C₂×#13133191	1	3	yes	—
346	C₂²	C₂×#13133191	1	3	yes	—
347	C₂²	C₂²×#11719945	1	1	yes	characteristic
348	C₄	—	2	4	no	—
349	C₄	C₂×#13133191	1	3	yes	—
350	C₄	C₂×#13133191	1	3	yes	—
351	C₄	C₂³×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
352	C₄	C₂³×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
353	C₂	—	2	3	no	—
354	C₂	—	2	1	no	—
355	C₂	—	4	4	no	—
356	C₂	—	424	8	no	—
357	C₂	C₂×#16810893	1	6	yes	direct product factor
358	C₂	C₂²×#13133191	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	#13133191
commutator, cosocle	C₂×C₄×C₅₃	C₂⁵
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₃
Fitting	C₂²×#131×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	#121
hypercenter	C₂²×#131	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₂²×#472
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂²×#131

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#13133242	C₂	semidirect
2. C₂³×D₄₂₄	C₂	semidirect
3. C₂×#16810893	C₂	direct (N × H)
4. C₂²×#13133153	C₂	semidirect
5. C₂²×#13133133	C₂	semidirect
6. C₂²×#131×C₅₃	C₂	semidirect
9. C₂×#13133242	C₂²	semidirect
14. C₂²×D₄₂₄	C₂²	semidirect
17. #16810893	C₂²	direct (N × H)
18. C₂×#13133153	C₂²	semidirect
19. C₂×#13133133	C₂²	semidirect
22. C₂×#131×C₅₃	C₂²	semidirect
35. #13133242	C₂³	semidirect
40. C₂×D₄₂₄	C₂³	semidirect
45. #13133153	C₂³	semidirect
46. #13133133	C₂³	semidirect
57. #131×C₅₃	C₂³	semidirect
161. C₂²×C₅₃	#472	semidirect
176. C₂²×#131	D₅₃	semidirect
183. C₂×C₅₃	C₂×#472	semidirect
197. C₂×#131	C₂×D₅₃	semidirect
206. C₅₃	C₂²×#472	semidirect
232. #131	C₂²×D₅₃	semidirect
344. C₂²	#16810893	direct (N × H)
357. C₂	C₂×#16810893	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133242	2
C₂³×D₄₂₄	2
C₂×#16810893	2
C₂²×#13133153	2
C₂²×#13133133	2
C₂²×#131×C₅₃	2
C₂²×#472	53

Subgroups — C22×#16810893 #28251473

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#16810893 #28251473