Subgroups — C₂²×#16810945 #28251827

Order 13568.

2702 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133188	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#13133175	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16810945	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×#13133151	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂²×#13133148	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×#13133138	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#13133129	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#102×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×C₂²⋊D₅₃	—	2	1	no	—
10	C₂³×C₄×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133188	—	2	6	no	—
13	C₂×#13133188	C₂²	1	12	yes	—
14	C₂×#13133175	—	2	6	no	—
15	C₂×#13133175	C₂²	1	12	yes	complemented
16	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
19	C₂²×#11719921	—	2	1	no	—
20	C₂²×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
21	#16810945	C₂²	1	64	yes	direct product factor
22	C₂×#13133151	C₂²	1	12	yes	complemented
23	C₂×#13133148	C₂²	1	12	yes	complemented
24	C₂×#13133138	C₂²	1	12	yes	complemented
25	C₂×#13133129	C₂²	1	12	yes	complemented
26	C₂³×D₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#102×C₅₃	C₂²	1	12	yes	complemented
30	C₂⁴×D₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	12	no	—
32	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
33	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
34	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
35	C₂³×Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
37	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
38	C₂²×C₄×D₅₃	D₄	1	6	yes	—
39	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	6	yes	—
40	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
41	C₂²×#88322	C₂³	1	6	yes	—
42	#13133188	—	2	24	no	—
43	#13133188	C₂³	1	16	yes	—
44	#13133175	—	2	24	no	—
45	#13133175	C₂³	1	16	yes	complemented
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	3	no	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	3	no	—
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	—
49	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	—
50	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	12	no	—
51	C₂×#11719921	—	2	12	no	—
52	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	12	no	—
53	#13133151	C₂³	1	16	yes	complemented
54	#13133148	C₂³	1	16	yes	complemented
55	#13133138	C₂³	1	16	yes	complemented
56	#13133129	C₂³	1	16	yes	complemented
57	C₂⁵×C₅₃	—	2	1	no	—
58	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	3	no	—
59	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
62	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
63	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	3	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
68	#102×C₅₃	C₂³	1	16	yes	complemented
69	C₂⁴×C₅₃	—	2	6	no	—
70	C₂⁴×C₅₃	—	4	4	no	—
71	C₂⁴×C₅₃	—	4	4	no	—
72	C₂⁴×C₅₃	—	4	4	no	—
73	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
75	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂³×D₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
78	C₂×D₄×C₅₃	—	2	6	no	—
79	C₂×D₄×C₅₃	—	2	12	no	—
80	C₂×D₄×C₅₃	—	2	12	no	—
81	C₂×D₄×C₅₃	—	4	12	no	—
82	C₂×D₄×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	3	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	3	yes	—
89	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	16	no	—
90	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	48	no	—
91	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
92	C₂²×Dic₅₃	—	2	6	no	—
93	C₂²×Dic₅₃	—	2	6	no	—
94	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
95	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
96	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
97	C₂×C₄×D₅₃	—	2	24	no	—
98	C₂×C₄×D₅₃	—	2	12	no	—
99	C₂×C₄×D₅₃	—	2	12	no	—
100	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
101	C₂×C₄×D₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
102	C₂×C₈×C₅₃	—	2	12	no	—
103	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
104	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
105	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
106	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	16	no	—
107	#11719921	—	2	16	no	—
108	C₄⋊Dic₅₃	—	2	6	no	—
109	C₄⋊Dic₅₃	—	2	6	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
111	C₄⋊Dic₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
112	C₄×Dic₅₃	—	2	16	no	—
113	C₂×#88322	—	2	12	no	—
114	C₂×#88322	C₂⁴	1	4	yes	—
115	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
116	C₂³×C₅₃	—	4	12	no	—
117	C₂³×C₅₃	—	4	12	no	—
118	C₂³×C₅₃	—	4	12	no	—
119	C₂³×C₅₃	—	8	16	no	—
120	C₂³×C₅₃	#123	1	4	yes	—
121	C₂³×C₅₃	#135	1	4	yes	—
122	C₂³×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
123	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
124	C₂²×D₅₃	—	2	12	no	—
125	C₂²×D₅₃	—	2	12	no	—
126	C₂²×D₅₃	—	2	12	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
128	C₂²×D₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
129	D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
130	D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
131	D₄×C₅₃	—	4	12	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	4	12	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	12	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	6	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	6	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
139	C₂²⋊D₅₃	—	4	32	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	2	12	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	4	12	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	4	12	no	—
145	C₂×Dic₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
146	C₄×D₅₃	—	2	24	no	—
147	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
148	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
149	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
150	#88322	—	2	4	no	—
151	C₂²×#482	—	53	1	no	maximal, Sylow
152	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
153	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
154	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
155	C₂²×C₅₃	—	8	24	no	—
156	C₂²×C₅₃	#482	1	16	yes	complemented
157	C₂²×C₅₃	C₂×#123	1	6	yes	—
158	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	6	yes	—
159	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	6	yes	—
160	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
162	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
163	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
164	C₂×D₅₃	—	4	24	no	—
165	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
166	C₄×C₅₃	C₂×#123	1	6	yes	—
167	C₄×C₅₃	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
168	C₄×C₅₃	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
169	Dic₅₃	—	2	4	no	—
170	Dic₅₃	—	4	4	no	—
171	Dic₅₃	—	4	4	no	—
172	C₂²×#121	—	53	1	no	—
173	C₂²×#117	—	53	1	no	—
174	C₂×#482	—	53	24	no	—
175	C₂²×#107	—	53	1	no	—
176	C₂²×#106	—	53	1	no	—
177	C₂²×#102	—	53	1	no	—
178	C₂²×#102	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
179	C₂²×C₂²⋊C₈	—	53	1	no	—
180	C₂×C₅₃	—	8	4	no	—
181	C₂×C₅₃	C₂×#482	1	12	yes	complemented
182	C₂×C₅₃	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₅₃	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₅₃	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
185	D₅₃	—	4	4	no	—
186	C₂³×D₄	—	106	1	no	—
187	C₂³×D₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
188	C₂⁴×C₄	—	53	1	no	—
189	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
190	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
191	C₂×#121	—	53	12	no	—
192	C₂×#121	—	106	6	no	—
193	C₂×#117	—	53	12	no	—
194	C₂×#117	—	106	6	no	—
195	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
196	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
197	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
199	C₂²×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
200	C₂²×C₄²	—	106	1	no	—
201	#482	—	53	64	no	—
202	C₂×#107	—	53	12	no	—
203	C₂×#106	—	53	12	no	—
204	C₂×#102	—	53	12	no	—
205	C₂×#102	C₂×D₅₃	1	12	yes	complemented
206	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	12	no	—
207	C₅₃	C₂²×#482	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
208	C₂⁵	—	2	1	no	—
209	C₂⁵	—	53	1	no	—
210	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
212	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×D₄	—	106	12	no	—
214	C₂²×D₄	—	212	8	no	—
215	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
216	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
218	C₂³×C₄	—	53	6	no	—
219	C₂³×C₄	—	53	6	no	—
220	C₂³×C₄	—	106	4	no	—
221	C₂³×C₄	—	106	4	no	—
222	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
223	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
224	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₈	—	53	6	no	—
227	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
228	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
229	#121	—	53	16	no	—
230	#121	—	106	24	no	—
231	#117	—	53	16	no	—
232	#117	—	106	24	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
234	C₂×C₄⋊C₄	—	53	6	no	—
235	C₂×C₄⋊C₄	—	53	6	no	—
236	C₂×C₄⋊C₄	—	106	3	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	106	3	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
239	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	12	no	—
240	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	12	no	—
241	C₂×C₄²	—	106	12	no	—
242	#107	—	53	16	no	—
243	#106	—	53	16	no	—
244	#102	—	53	16	no	—
245	#102	C₂²×D₅₃	1	16	yes	complemented
246	C₂²⋊C₈	—	53	16	no	—
247	C₂⁴	—	2	6	no	—
248	C₂⁴	—	4	4	no	—
249	C₂⁴	—	4	4	no	—
250	C₂⁴	—	4	4	no	—
251	C₂⁴	—	53	6	no	—
252	C₂⁴	—	106	4	no	—
253	C₂⁴	—	106	4	no	—
254	C₂⁴	—	106	4	no	—
255	C₂⁴	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
256	C₂×D₄	—	2	6	no	—
257	C₂×D₄	—	2	12	no	—
258	C₂×D₄	—	2	12	no	—
259	C₂×D₄	—	4	12	no	—
260	C₂×D₄	—	106	16	no	—
261	C₂×D₄	—	212	48	no	—
262	C₂×D₄	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
263	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	53	6	no	—
266	C₂²×C₄	—	53	12	no	—
267	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	106	24	no	—
270	C₂²×C₄	—	106	12	no	—
271	C₂²×C₄	—	106	12	no	—
272	C₂²×C₄	—	106	6	no	—
273	C₂²×C₄	—	106	6	no	—
274	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
276	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
277	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	3	yes	—
278	C₂²×C₄	#11719947	1	4	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	3	yes	—
280	C₂×C₈	—	2	12	no	—
281	C₂×C₈	—	53	4	no	—
282	C₂×C₈	—	106	12	no	—
283	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
284	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
285	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	106	6	no	—
288	C₄⋊C₄	—	106	6	no	—
289	C₄⋊C₄	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
290	C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
292	C₄²	—	106	16	no	—
293	C₂³	—	2	4	no	—
294	C₂³	—	4	12	no	—
295	C₂³	—	4	12	no	—
296	C₂³	—	4	12	no	—
297	C₂³	—	8	16	no	—
298	C₂³	—	53	4	no	—
299	C₂³	—	106	12	no	—
300	C₂³	—	106	12	no	—
301	C₂³	—	106	12	no	—
302	C₂³	—	212	16	no	—
303	C₂³	#13133199	1	4	yes	—
304	C₂³	#13133236	1	4	yes	—
305	C₂³	#13133244	1	4	yes	—
306	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	3	yes	—
307	D₄	—	2	4	no	—
308	D₄	—	2	4	no	—
309	D₄	—	4	12	no	—
310	D₄	—	212	32	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	12	no	—
313	C₂×C₄	—	53	4	no	—
314	C₂×C₄	—	106	12	no	—
315	C₂×C₄	—	106	24	no	—
316	C₂×C₄	—	106	4	no	—
317	C₂×C₄	—	106	4	no	—
318	C₂×C₄	—	106	4	no	—
319	C₂×C₄	—	106	4	no	—
320	C₂×C₄	—	212	12	no	—
321	C₂×C₄	—	212	12	no	—
322	C₂×C₄	#13133199	1	12	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	3	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	6	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	6	yes	—
326	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
327	C₈	—	2	4	no	—
328	C₈	—	106	4	no	—
329	C₂²	—	4	4	no	—
330	C₂²	—	4	4	no	—
331	C₂²	—	4	4	no	—
332	C₂²	—	8	24	no	—
333	C₂²	—	106	4	no	—
334	C₂²	—	106	4	no	—
335	C₂²	—	106	4	no	—
336	C₂²	—	212	24	no	—
337	C₂²	#16810945	1	16	yes	direct product factor
338	C₂²	C₂×#13133199	1	6	yes	—
339	C₂²	C₂×#13133236	1	6	yes	—
340	C₂²	C₂×#13133244	1	6	yes	—
341	C₂²	C₂²×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
342	C₄	—	4	4	no	—
343	C₄	—	106	4	no	—
344	C₄	—	212	4	no	—
345	C₄	—	212	4	no	—
346	C₄	C₂×#13133199	1	6	yes	—
347	C₄	C₂²×#11719947	1	1	yes	characteristic
348	C₄	C₂²×#11719945	1	1	yes	characteristic
349	C₂	—	8	4	no	—
350	C₂	—	212	4	no	—
351	C₂	C₂×#16810945	1	12	yes	direct product factor
352	C₂	C₂²×#13133199	1	1	yes	characteristic
353	C₂	C₂²×#13133236	1	1	yes	characteristic
354	C₂	C₂²×#13133244	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	D₄×D₅₃
commutator, cosocle	C₂×C₄×C₅₃	C₂⁵
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₃
Fitting	C₂²×#102×C₅₃	C₂
socle	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
prime radical	C₂²×#13133188	C₂
hypercenter	C₂²×#102	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₂²×#482
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂²×#102

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#13133175	C₂	semidirect
3. C₂×#16810945	C₂	direct (N × H)
4. C₂²×#13133151	C₂	semidirect
5. C₂²×#13133148	C₂	semidirect
6. C₂²×#13133138	C₂	semidirect
7. C₂²×#13133129	C₂	semidirect
8. C₂²×#102×C₅₃	C₂	semidirect
15. C₂×#13133175	C₂²	semidirect
21. #16810945	C₂²	direct (N × H)
22. C₂×#13133151	C₂²	semidirect
23. C₂×#13133148	C₂²	semidirect
24. C₂×#13133138	C₂²	semidirect
25. C₂×#13133129	C₂²	semidirect
29. C₂×#102×C₅₃	C₂²	semidirect
45. #13133175	C₂³	semidirect
53. #13133151	C₂³	semidirect
54. #13133148	C₂³	semidirect
55. #13133138	C₂³	semidirect
56. #13133129	C₂³	semidirect
68. #102×C₅₃	C₂³	semidirect
156. C₂²×C₅₃	#482	semidirect
178. C₂²×#102	D₅₃	semidirect
181. C₂×C₅₃	C₂×#482	semidirect
205. C₂×#102	C₂×D₅₃	semidirect
207. C₅₃	C₂²×#482	semidirect
245. #102	C₂²×D₅₃	semidirect
337. C₂²	#16810945	direct (N × H)
351. C₂	C₂×#16810945	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133188	2
C₂²×#13133175	2
C₂×#16810945	2
C₂²×#13133151	2
C₂²×#13133148	2
C₂²×#13133138	2
C₂²×#13133129	2
C₂²×#102×C₅₃	2
C₂²×#482	53

Subgroups — C22×#16810945 #28251827

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#16810945 #28251827