Subgroups — #28253626

Order 13568.

3250 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811434	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#20288500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20285187	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
4	#20285175	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	#20285165	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	#20285141	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	C₂×#16810995	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	C₄×#13133224	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#3498	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#13133264	C₂²	1	2	yes	—
11	#16811434	—	2	32	no	—
12	C₂×#13133247	C₂²	1	12	yes	complemented
13	C₂×#13133243	C₂²	1	12	yes	complemented
14	C₂×#13133237	C₂²	1	12	yes	complemented
15	C₂²×#11719923	C₂²	1	12	yes	complemented
16	C₂×#13133224	C₂²	1	2	yes	—
17	Q₈×D₂₁₂	—	2	2	no	—
18	#16811277	—	2	6	no	—
19	#16811199	C₂²	1	6	yes	complemented
20	#16811173	C₂²	1	3	yes	complemented
21	C₂×#13133217	C₂²	1	3	yes	complemented
22	#16811018	C₂²	1	12	yes	complemented
23	#16811010	C₂²	1	12	yes	complemented
24	#16811005	C₂²	1	12	yes	complemented
25	#16811002	C₂²	1	3	yes	complemented
26	#16810999	C₂²	1	3	yes	complemented
27	#16810997	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
28	#16810995	C₂²	1	12	yes	complemented
29	#16810995	C₂²	1	3	yes	complemented
30	#16810995	C₂²	1	6	yes	complemented
31	#16810579	C₂²	1	6	yes	complemented
32	C₄×#11719917	C₂²	1	3	yes	complemented
33	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	3	yes	complemented
34	C₂×H(5,𝔽₂)×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
35	C₅₃×#550	—	2	2	no	—
36	D₄²×C₅₃	—	2	6	no	—
37	C₅₃×#535	C₂²	1	6	yes	—
38	C₅₃×#532	C₂²	1	3	yes	—
39	C₂×#127×C₅₃	C₂²	1	3	yes	—
40	C₄×#41×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#13133264	—	2	16	no	—
42	C₂×#11719945	C₂³	1	6	yes	—
43	C₂×#11719947	—	2	6	no	—
44	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	6	yes	—
45	C₂×Q₈×D₅₃	—	2	2	no	—
46	#13133247	—	2	48	no	—
47	#13133243	—	2	48	no	—
48	#13133237	—	2	48	no	—
49	C₂×#11719925	C₂³	1	12	yes	—
50	C₂×#11719923	—	2	48	no	—
51	C₂×#11719923	C₂³	1	24	yes	—
52	C₂×#11719923	C₂³	1	12	yes	—
53	C₂×#11719924	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂×#11719922	C₂³	1	12	yes	—
55	#13133224	D₄	1	16	yes	complemented
56	C₂×#11719917	C₂³	1	6	yes	—
57	C₂²×#88322	C₂³	1	6	yes	—
58	#13133217	—	2	6	no	—
59	#13133217	C₂³	1	6	yes	—
60	#13133217	C₂³	1	3	yes	—
61	#13133214	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#13133205	C₂³	1	6	yes	—
63	#13133201	—	2	12	no	—
64	#13133197	—	2	12	no	—
65	#13133191	—	2	6	no	—
66	C₄×D₂₁₂	—	2	6	no	—
67	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	6	no	—
68	#13133128	C₂³	1	6	yes	—
69	C₄×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₄×#88322	C₂³	1	3	yes	—
71	C₄×#88322	C₂³	1	6	yes	—
72	H(5,𝔽₂)×C₅₃	—	2	16	no	—
73	C₂×#41×C₅₃	—	2	2	no	—
74	C₂×#41×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
75	C₂×#41×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	6	no	—
77	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	6	no	—
78	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
79	C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#127×C₅₃	—	2	6	no	—
81	#127×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
82	#127×C₅₃	C₂³	1	3	yes	—
83	#124×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
84	#121×C₅₃	—	2	12	no	—
85	#121×C₅₃	—	2	6	no	—
86	#120×C₅₃	—	2	12	no	—
87	C₄×Q₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
88	C₄×D₄×C₅₃	—	2	6	no	—
89	C₄×D₄×C₅₃	D₄	1	6	yes	—
90	#117×C₅₃	C₂³	1	3	yes	—
91	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	3	yes	—
92	C₂⁴×C₅₃	—	2	6	no	—
93	#41×C₅₃	—	2	24	no	—
94	#41×C₅₃	—	4	8	no	—
95	#41×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
96	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×Q₈×C₅₃	C₂⁴	1	2	yes	—
98	C₂×D₄×C₅₃	—	2	6	no	—
99	C₂×D₄×C₅₃	—	2	24	no	—
100	C₂×D₄×C₅₃	—	2	6	no	—
101	C₂×D₄×C₅₃	—	2	6	no	—
102	C₂×D₄×C₅₃	—	2	12	no	—
103	C₂×D₄×C₅₃	—	4	24	no	—
104	C₂×D₄×C₅₃	—	8	12	no	—
105	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	3	yes	—
106	C₂×D₄×C₅₃	C₂⁴	1	6	yes	—
107	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
108	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
109	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	3	yes	—
110	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	6	no	—
111	C₂²×Dic₅₃	—	2	6	no	—
112	Q₈×D₅₃	—	4	8	no	—
113	#11719947	—	4	24	no	—
114	#11719945	—	2	24	no	—
115	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
116	C₂×D₂₁₂	C₂⁴	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×D₅₃	—	2	6	no	—
118	C₂×Dic₁₀₆	—	2	24	no	—
119	C₂×Dic₁₀₆	—	2	6	no	—
120	C₂×Dic₁₀₆	C₂⁴	1	6	yes	—
121	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
123	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
124	C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
125	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
126	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	3	yes	—
128	#11719925	—	2	24	no	—
129	#11719924	—	2	8	no	—
130	#11719923	—	2	24	no	—
131	#11719923	—	2	48	no	—
132	#11719922	—	2	24	no	—
133	#11719921	—	2	12	no	—
134	C₄⋊Dic₅₃	—	2	6	no	—
135	C₄⋊Dic₅₃	—	2	12	no	—
136	#11719917	C₂×D₄	1	24	yes	complemented
137	C₂×#88322	C₂×D₄	1	24	yes	complemented
138	C₂×#88322	C₂⁴	1	2	yes	—
139	C₂×#88322	C₂⁴	1	6	yes	—
140	C₂³×C₅₃	—	2	6	no	—
141	C₂³×C₅₃	—	4	12	no	—
142	C₂³×C₅₃	—	8	12	no	—
143	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
144	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
145	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
146	Q₈×C₅₃	#127	1	4	yes	—
147	D₄×C₅₃	—	2	12	no	—
148	D₄×C₅₃	—	4	12	no	—
149	D₄×C₅₃	—	4	12	no	—
150	D₄×C₅₃	—	4	12	no	—
151	D₄×C₅₃	—	8	12	no	—
152	D₄×C₅₃	#127	1	12	yes	—
153	C₂×C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
154	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄×C₅₃	—	4	12	no	—
156	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	12	yes	—
157	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	6	yes	—
158	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
159	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
161	C₂²⋊D₅₃	—	4	12	no	—
162	C₂×Dic₅₃	—	2	6	no	—
163	C₂×Dic₅₃	—	4	12	no	—
164	D₂₁₂	—	2	4	no	—
165	D₂₁₂	—	4	4	no	—
166	C₄×D₅₃	—	4	12	no	—
167	Dic₁₀₆	—	2	12	no	—
168	Dic₁₀₆	—	4	12	no	—
169	#88322	C₂²×D₄	1	4	yes	—
170	#88322	C₂²×D₄	1	12	yes	—
171	#60646	—	53	1	no	maximal, Sylow
172	C₂²×C₅₃	—	2	6	no	—
173	C₂²×C₅₃	—	4	6	no	—
174	C₂²×C₅₃	—	4	12	no	—
175	C₂²×C₅₃	—	16	12	no	—
176	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	6	yes	—
177	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
179	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
180	C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
181	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
182	C₄×C₅₃	C₂×#127	1	6	yes	—
183	C₄×C₅₃	#577	1	4	yes	complemented
184	C₄×C₅₃	C₂³×D₄	1	2	yes	—
185	Dic₅₃	—	4	6	no	—
186	C₂×#577	—	53	4	no	—
187	#3499	—	53	1	no	—
188	#3498	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
189	#3154	—	53	12	no	—
190	#3152	—	53	3	no	—
191	#3151	—	53	3	no	—
192	#3147	—	53	3	no	—
193	C₂×#492	—	53	3	no	—
194	C₄×#131	—	53	1	no	—
195	C₂×C₅₃	—	2	6	no	—
196	C₂×C₅₃	—	8	6	no	—
197	C₂×C₅₃	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₅₃	C₂×#577	1	2	yes	—
199	D₅₃	—	8	2	no	—
200	C₂×2₋¹⁺⁴	—	53	2	no	—
201	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
202	#577	—	106	32	no	—
203	C₂×#137	—	53	12	no	—
204	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	53	12	no	—
205	C₂×#135	—	53	12	no	—
206	C₂²×SD₁₆	—	53	12	no	—
207	C₂×#131	—	53	2	no	—
208	#550	—	2	2	no	—
209	D₄×Q₈	—	106	2	no	—
210	#547	—	106	6	no	—
211	D₄²	—	2	6	no	—
212	#536	—	53	6	no	—
213	#535	C₂×D₅₃	1	6	yes	—
214	#532	—	53	3	no	—
215	#532	C₂×D₅₃	1	3	yes	—
216	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	3	no	—
217	C₂×#127	C₂×D₅₃	1	3	yes	—
218	C₄×#41	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
219	#497	—	53	12	no	—
220	#496	—	53	12	no	—
221	#495	—	53	12	no	—
222	#494	—	53	3	no	—
223	#493	—	53	3	no	—
224	#492	—	53	1	no	—
225	#492	—	53	3	no	—
226	#492	—	53	6	no	—
227	#492	—	53	12	no	—
228	#405	—	53	6	no	—
229	C₄×M₁₆	—	53	3	no	—
230	C₂×C₄×C₈	—	53	3	no	—
231	C₅₃	#60646	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
232	2₋¹⁺⁴	—	106	16	no	—
233	H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
234	C₂×#41	—	2	2	no	—
235	C₂×#41	—	53	6	no	—
236	C₂×#41	—	106	6	no	—
237	C₂×#41	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
238	C₂×#41	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×Q₈	—	53	6	no	—
240	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
241	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
242	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
243	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
244	#137	—	106	48	no	—
245	AGL(1,ℤ/8)	—	106	48	no	—
246	#135	—	106	48	no	—
247	C₂×Q₁₆	—	53	12	no	—
248	C₂×SD₁₆	—	53	4	no	—
249	C₂×SD₁₆	—	53	12	no	—
250	C₂×SD₁₆	—	53	24	no	—
251	C₂×SD₁₆	—	106	48	no	—
252	C₂×D₈	—	53	12	no	—
253	#131	—	53	16	no	—
254	C₂×M₁₆	—	53	6	no	—
255	C₂²×C₈	—	53	6	no	—
256	C₄⋊Q₈	—	53	3	no	—
257	C₄⋊Q₈	—	53	6	no	—
258	C₄⋊Q₈	—	106	6	no	—
259	C₄⋊Q₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
260	#127	—	2	6	no	—
261	#127	—	53	1	no	—
262	#127	C₂²×D₅₃	1	3	yes	—
263	#127	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
264	#124	—	53	6	no	—
265	#124	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
266	#123	—	106	12	no	—
267	C₂²⋊Q₈	—	106	12	no	—
268	#121	—	2	6	no	—
269	#121	—	2	12	no	—
270	#121	—	106	6	no	—
271	#120	—	2	12	no	—
272	C₄×Q₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
273	C₄×D₄	—	2	6	no	—
274	C₄×D₄	—	106	6	no	—
275	C₄×D₄	C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
276	#117	C₂²×D₅₃	1	3	yes	—
277	C₂×C₄⋊C₄	—	106	6	no	—
278	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	3	yes	—
279	#97	—	53	6	no	—
280	C₄×C₈	—	53	1	no	—
281	C₄×C₈	—	53	3	no	—
282	C₄×C₈	—	53	6	no	—
283	C₂⁴	—	2	6	no	—
284	#41	—	2	24	no	—
285	#41	—	4	8	no	—
286	#41	—	106	24	no	—
287	#41	—	212	24	no	—
288	#41	D₄×D₅₃	1	8	yes	—
289	C₂×Q₈	—	53	6	no	—
290	C₂×Q₈	—	106	6	no	—
291	C₂×Q₈	—	106	24	no	—
292	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
293	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
294	C₂×Q₈	C₂³×D₅₃	1	2	yes	—
295	C₂×D₄	—	2	6	no	—
296	C₂×D₄	—	2	24	no	—
297	C₂×D₄	—	2	6	no	—
298	C₂×D₄	—	2	6	no	—
299	C₂×D₄	—	2	12	no	—
300	C₂×D₄	—	4	24	no	—
301	C₂×D₄	—	8	12	no	—
302	C₂×D₄	—	53	2	no	—
303	C₂×D₄	—	106	6	no	—
304	C₂×D₄	—	106	2	no	—
305	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	3	yes	—
306	C₂×D₄	C₂³×D₅₃	1	6	yes	—
307	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
308	C₂²×C₄	—	106	6	no	—
309	C₂²×C₄	—	106	6	no	—
310	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
311	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	3	yes	—
312	Q₁₆	—	106	24	no	—
313	SD₁₆	—	106	24	no	—
314	SD₁₆	—	106	48	no	—
315	SD₁₆	—	106	8	no	—
316	D₈	—	106	24	no	—
317	M₁₆	—	53	24	no	—
318	C₂×C₈	—	53	24	no	—
319	C₂×C₈	—	53	2	no	—
320	C₂×C₈	—	53	6	no	—
321	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
322	C₄⋊C₄	—	106	6	no	—
323	C₄⋊C₄	—	106	12	no	—
324	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
325	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	106	12	no	—
327	C₂²⋊C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
328	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
329	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
330	C₄²	C₂³×D₅₃	1	3	yes	—
331	C₂³	—	2	6	no	—
332	C₂³	—	4	12	no	—
333	C₂³	—	8	12	no	—
334	C₂³	—	106	2	no	—
335	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	3	yes	—
336	Q₈	—	2	4	no	—
337	Q₈	—	106	12	no	—
338	Q₈	—	212	12	no	—
339	Q₈	#13133213	1	4	yes	—
340	D₄	—	2	12	no	—
341	D₄	—	4	12	no	—
342	D₄	—	4	12	no	—
343	D₄	—	4	12	no	—
344	D₄	—	8	12	no	—
345	D₄	—	106	4	no	—
346	D₄	—	212	12	no	—
347	D₄	—	212	4	no	—
348	D₄	#13133213	1	12	yes	—
349	C₂×C₄	—	2	12	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	12	no	—
352	C₂×C₄	—	106	6	no	—
353	C₂×C₄	—	212	12	no	—
354	C₂×C₄	—	212	12	no	—
355	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	12	yes	—
356	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
357	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	3	yes	—
358	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
360	C₈	—	53	4	no	—
361	C₈	—	53	12	no	—
362	C₂²	—	2	6	no	—
363	C₂²	—	4	12	no	—
364	C₂²	—	4	6	no	—
365	C₂²	—	16	12	no	—
366	C₂²	—	212	4	no	—
367	C₂²	—	212	2	no	—
368	C₂²	C₂×#13133213	1	6	yes	—
369	C₂²	C₂³×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
370	C₄	—	2	6	no	—
371	C₄	—	4	2	no	—
372	C₄	—	212	6	no	—
373	C₄	C₂×#13133213	1	6	yes	—
374	C₄	#16811434	1	4	yes	complemented
375	C₄	C₂²×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
376	C₂	—	2	6	no	—
377	C₂	—	8	6	no	—
378	C₂	—	424	2	no	—
379	C₂	C₂²×#13133213	1	1	yes	characteristic
380	C₂	C₂×#16811434	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂³×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂×C₄×C₅₃	C₂⁵
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₃
Fitting	C₅₃×#3498	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄
hypercenter	#3498	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#60646
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ #3498

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16811434	C₂	semidirect
2. #20288500	C₂	semidirect
3. #20285187	C₂	semidirect
4. #20285175	C₂	semidirect
5. #20285165	C₂	semidirect
6. #20285141	C₂	semidirect
7. C₂×#16810995	C₂	semidirect
8. C₄×#13133224	C₂	semidirect
9. C₅₃×#3498	C₂	semidirect
12. C₂×#13133247	C₂²	semidirect
13. C₂×#13133243	C₂²	semidirect
14. C₂×#13133237	C₂²	semidirect
15. C₂²×#11719923	C₂²	semidirect
19. #16811199	C₂²	semidirect
20. #16811173	C₂²	semidirect
21. C₂×#13133217	C₂²	semidirect
22. #16811018	C₂²	semidirect
23. #16811010	C₂²	semidirect
24. #16811005	C₂²	semidirect
25. #16811002	C₂²	semidirect
26. #16810999	C₂²	semidirect
27. #16810997	C₂²	semidirect
28. #16810995	C₂²	semidirect
29. #16810995	C₂²	semidirect
30. #16810995	C₂²	semidirect
31. #16810579	C₂²	semidirect
32. C₄×#11719917	C₂²	semidirect
33. C₂×C₄×#88322	C₂²	semidirect
55. #13133224	D₄	semidirect
136. #11719917	C₂×D₄	semidirect
137. C₂×#88322	C₂×D₄	semidirect
183. C₄×C₅₃	#577	semidirect
188. #3498	D₅₃	semidirect
231. C₅₃	#60646	semidirect
374. C₄	#16811434	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811434	2
#20288500	2
#20285187	2
#20285175	2
#20285165	2
#20285141	2
C₂×#16810995	2
C₄×#13133224	2
C₅₃×#3498	2
#60646	53