Subgroups — C₂²×#16811227 #28290864

Order 13568.

8838 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 294 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811227	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
2	C₂²×#13133209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#13133198	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂²×#13133189	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂²×#13133188	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×D₄×Dic₅₃	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#13133174	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#127×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×C₂²⋊D₅₃	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂⁴×Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂³×C₄×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#16811227	C₂²	1	256	yes	direct product factor
13	C₂×#13133209	C₂²	1	24	yes	complemented
14	C₂×#13133198	C₂²	1	96	yes	complemented
15	C₂×#13133189	C₂²	1	96	yes	complemented
16	C₂×#13133188	C₂²	1	48	yes	complemented
17	C₂×D₄×Dic₅₃	C₂²	1	48	yes	complemented
18	C₂×#13133174	C₂²	1	24	yes	complemented
19	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×#11719919	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×#11719919	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂²×C₂²⋊Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂²×C₂²⋊Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂²×#11719921	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂³×D₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂³×D₄×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#127×C₅₃	C₂²	1	24	yes	complemented
29	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂⁴×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	4	16	no	—
32	C₂²×C₂²⋊D₅₃	C₂³	1	48	yes	—
33	C₂³×Dic₅₃	—	4	16	no	—
34	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	48	yes	—
38	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
39	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	12	yes	—
40	#13133209	C₂³	1	64	yes	complemented
41	#13133198	C₂³	1	256	yes	complemented
42	#13133189	C₂³	1	256	yes	complemented
43	#13133188	C₂³	1	128	yes	complemented
44	D₄×Dic₅₃	C₂³	1	128	yes	complemented
45	#13133174	C₂³	1	64	yes	complemented
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	24	yes	—
47	C₂×#11719919	C₂³	1	24	yes	—
48	C₂×#11719919	C₂³	1	48	yes	—
49	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂³	1	48	yes	—
50	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂³	1	48	yes	—
51	C₂×#11719921	C₂³	1	24	yes	—
52	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	12	yes	—
53	C₂⁵×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	16	no	—
55	C₂²×D₄×C₅₃	—	4	16	no	—
56	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	24	yes	—
57	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	48	yes	—
58	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#127×C₅₃	C₂³	1	64	yes	complemented
61	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	12	yes	—
62	C₂⁴×C₅₃	—	2	16	no	—
63	C₂⁴×C₅₃	—	2	16	no	—
64	C₂⁴×C₅₃	—	2	16	no	—
65	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	24	yes	—
66	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
67	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
69	C₂³×D₅₃	C₂⁴	1	6	yes	—
70	C₂×D₄×C₅₃	—	2	96	no	—
71	C₂×D₄×C₅₃	—	4	96	no	—
72	C₂×D₄×C₅₃	C₂⁴	1	32	yes	—
73	C₂×D₄×C₅₃	C₂⁴	1	64	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	8	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	12	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	6	yes	—
78	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	96	no	—
79	C₂×C₂²⋊D₅₃	C₂⁴	1	64	yes	—
80	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	—	2	16	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	—	4	96	no	—
84	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	12	yes	—
85	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	6	yes	—
86	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	24	yes	—
87	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	64	yes	—
88	C₂×C₄×D₅₃	—	2	48	no	—
89	C₂×C₄×D₅₃	C₂⁴	1	16	yes	—
90	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	16	yes	—
91	C₂²⋊Dic₅₃	C₂⁴	1	64	yes	—
92	C₂²⋊Dic₅₃	C₂⁴	1	64	yes	—
93	#11719921	C₂⁴	1	32	yes	—
94	C₄⋊Dic₅₃	C₂⁴	1	32	yes	—
95	#11719919	C₂⁴	1	32	yes	—
96	#11719919	C₂⁴	1	64	yes	—
97	C₄×Dic₅₃	C₂⁴	1	16	yes	—
98	C₂³×C₅₃	—	2	48	no	—
99	C₂³×C₅₃	—	2	48	no	—
100	C₂³×C₅₃	—	2	48	no	—
101	C₂³×C₅₃	—	4	64	no	—
102	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	4	yes	—
103	C₂³×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
104	C₂³×C₅₃	C₂⁵	1	16	yes	—
105	C₂³×C₅₃	C₂⁵	1	3	yes	—
106	C₂²×D₅₃	—	2	12	no	—
107	C₂²×D₅₃	—	2	24	no	—
108	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
109	C₂²×D₅₃	C₂⁵	1	4	yes	—
110	D₄×C₅₃	—	2	64	no	—
111	D₄×C₅₃	—	4	64	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	24	yes	—
114	C₂×C₄×C₅₃	C₂⁵	1	8	yes	—
115	C₂×C₄×C₅₃	C₂⁵	1	4	yes	—
116	C₂²⋊D₅₃	—	4	64	no	—
117	C₂×Dic₅₃	—	2	12	no	—
118	C₂×Dic₅₃	—	2	24	no	—
119	C₂×Dic₅₃	—	2	48	no	—
120	C₂×Dic₅₃	—	4	64	no	—
121	C₂×Dic₅₃	C₂⁵	1	4	yes	—
122	C₂×Dic₅₃	C₂⁵	1	8	yes	—
123	C₂×Dic₅₃	C₂⁵	1	16	yes	—
124	C₄×D₅₃	—	2	32	no	—
125	C₂²×#540	—	53	1	no	maximal, Sylow
126	C₂²×C₅₃	—	2	16	no	—
127	C₂²×C₅₃	—	2	16	no	—
128	C₂²×C₅₃	—	2	16	no	—
129	C₂²×C₅₃	—	4	96	no	—
130	C₂²×C₅₃	#540	1	16	yes	complemented
131	C₂²×C₅₃	C₂²×#41	1	6	yes	—
132	C₂²×C₅₃	C₂×H(5,𝔽₂)	1	12	yes	—
133	C₂²×C₅₃	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
134	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
135	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
136	C₂×D₅₃	—	4	24	no	—
137	C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
138	C₄×C₅₃	C₂²×#41	1	8	yes	—
139	Dic₅₃	—	2	4	no	—
140	Dic₅₃	—	2	8	no	—
141	Dic₅₃	—	2	16	no	—
142	C₂×#540	—	53	48	no	—
143	C₂²×#127	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
144	C₂²×#125	—	53	1	no	—
145	C₂²×#123	—	53	4	no	—
146	C₂²×#121	—	53	2	no	—
147	C₂²×#121	—	53	4	no	—
148	C₂²×C₄×D₄	—	53	2	no	—
149	C₂²×#117	—	53	1	no	—
150	C₂×C₅₃	—	4	16	no	—
151	C₂×C₅₃	C₂×#540	1	12	yes	complemented
152	C₂×C₅₃	C₂³×#41	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₅₃	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
154	D₅₃	—	4	4	no	—
155	C₂³×D₄	—	53	4	no	—
156	C₂³×D₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
157	C₂³×D₄	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
158	C₂⁴×C₄	—	53	4	no	—
159	C₂⁴×C₄	—	53	1	no	—
160	#540	—	53	256	no	—
161	C₂×#127	C₂×D₅₃	1	24	yes	complemented
162	C₂×#125	—	53	24	no	—
163	C₂×#123	—	53	96	no	—
164	C₂×#121	—	53	48	no	—
165	C₂×#121	—	53	96	no	—
166	C₂×C₄×D₄	—	53	48	no	—
167	C₂×#117	—	53	24	no	—
168	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
169	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
170	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
171	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
172	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
173	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
174	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
175	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
176	C₅₃	C₂²×#540	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
177	C₂⁵	—	53	1	no	—
178	C₂⁵	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
179	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
180	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
181	C₂²×D₄	—	53	48	no	—
182	C₂²×D₄	—	212	16	no	—
183	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	24	yes	—
184	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	48	yes	—
185	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
186	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
187	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
188	C₂³×C₄	—	53	48	no	—
189	C₂³×C₄	—	53	12	no	—
190	C₂³×C₄	—	106	8	no	—
191	C₂³×C₄	—	212	16	no	—
192	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
193	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
194	#127	C₂²×D₅₃	1	64	yes	complemented
195	#125	—	53	64	no	—
196	#123	—	53	256	no	—
197	#121	—	53	128	no	—
198	#121	—	53	256	no	—
199	C₄×D₄	—	53	128	no	—
200	#117	—	53	64	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	53	24	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	53	24	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	53	48	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	48	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	48	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	24	no	—
207	C₂×C₄²	—	53	12	no	—
208	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	12	yes	—
209	C₂⁴	—	2	16	no	—
210	C₂⁴	—	2	16	no	—
211	C₂⁴	—	2	16	no	—
212	C₂⁴	—	53	6	no	—
213	C₂⁴	—	106	4	no	—
214	C₂⁴	—	106	8	no	—
215	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	24	yes	—
216	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
217	C₂×D₄	—	2	96	no	—
218	C₂×D₄	—	4	96	no	—
219	C₂×D₄	—	53	64	no	—
220	C₂×D₄	—	212	96	no	—
221	C₂×D₄	C₂³×D₅₃	1	32	yes	—
222	C₂×D₄	C₂³×D₅₃	1	64	yes	—
223	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	53	12	no	—
225	C₂²×C₄	—	53	6	no	—
226	C₂²×C₄	—	53	24	no	—
227	C₂²×C₄	—	53	64	no	—
228	C₂²×C₄	—	53	16	no	—
229	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	106	16	no	—
232	C₂²×C₄	—	106	48	no	—
233	C₂²×C₄	—	212	96	no	—
234	C₂²×C₄	#11719947	1	8	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	12	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	6	yes	—
237	C₄⋊C₄	—	53	32	no	—
238	C₄⋊C₄	—	53	32	no	—
239	C₄⋊C₄	—	53	64	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	53	64	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	53	64	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	53	32	no	—
243	C₄²	—	53	16	no	—
244	C₄²	C₂³×D₅₃	1	16	yes	—
245	C₂³	—	2	48	no	—
246	C₂³	—	2	48	no	—
247	C₂³	—	2	48	no	—
248	C₂³	—	4	64	no	—
249	C₂³	—	53	4	no	—
250	C₂³	—	106	12	no	—
251	C₂³	—	106	24	no	—
252	C₂³	—	212	16	no	—
253	C₂³	C₂×#11719947	1	4	yes	—
254	C₂³	#13133262	1	8	yes	—
255	C₂³	C₂⁴×D₅₃	1	16	yes	—
256	C₂³	C₂⁴×D₅₃	1	3	yes	—
257	D₄	—	2	64	no	—
258	D₄	—	4	64	no	—
259	D₄	—	212	64	no	—
260	C₂×C₄	—	2	24	no	—
261	C₂×C₄	—	53	8	no	—
262	C₂×C₄	—	53	4	no	—
263	C₂×C₄	—	53	16	no	—
264	C₂×C₄	—	106	12	no	—
265	C₂×C₄	—	106	24	no	—
266	C₂×C₄	—	106	48	no	—
267	C₂×C₄	—	106	32	no	—
268	C₂×C₄	—	212	64	no	—
269	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	24	yes	—
270	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₃	1	8	yes	—
271	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₃	1	4	yes	—
272	C₂²	—	2	16	no	—
273	C₂²	—	2	16	no	—
274	C₂²	—	2	16	no	—
275	C₂²	—	4	96	no	—
276	C₂²	—	106	4	no	—
277	C₂²	—	106	8	no	—
278	C₂²	—	212	24	no	—
279	C₂²	#16811227	1	16	yes	direct product factor
280	C₂²	C₂²×#11719947	1	6	yes	—
281	C₂²	C₂×#13133262	1	12	yes	—
282	C₂²	C₂⁵×D₅₃	1	1	yes	characteristic
283	C₄	—	2	8	no	—
284	C₄	—	106	4	no	—
285	C₄	—	106	8	no	—
286	C₄	—	106	16	no	—
287	C₄	C₂²×#11719947	1	8	yes	—
288	C₂	—	4	16	no	—
289	C₂	—	212	4	no	—
290	C₂	C₂×#16811227	1	12	yes	direct product factor
291	C₂	C₂³×#11719947	1	1	yes	characteristic
292	C₂	C₂²×#13133262	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂³×D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₅₃	C₂⁶
Frattini	C₂²	C₂⁵×D₅₃
Fitting	C₂²×#127×C₅₃	C₂
socle	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂²×#127	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₂²×#540
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×#127

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16811227	C₂	direct (N × H)
2. C₂²×#13133209	C₂	semidirect
3. C₂²×#13133198	C₂	semidirect
4. C₂²×#13133189	C₂	semidirect
5. C₂²×#13133188	C₂	semidirect
6. C₂²×D₄×Dic₅₃	C₂	semidirect
7. C₂²×#13133174	C₂	semidirect
8. C₂²×#127×C₅₃	C₂	semidirect
12. #16811227	C₂²	direct (N × H)
13. C₂×#13133209	C₂²	semidirect
14. C₂×#13133198	C₂²	semidirect
15. C₂×#13133189	C₂²	semidirect
16. C₂×#13133188	C₂²	semidirect
17. C₂×D₄×Dic₅₃	C₂²	semidirect
18. C₂×#13133174	C₂²	semidirect
28. C₂×#127×C₅₃	C₂²	semidirect
40. #13133209	C₂³	semidirect
41. #13133198	C₂³	semidirect
42. #13133189	C₂³	semidirect
43. #13133188	C₂³	semidirect
44. D₄×Dic₅₃	C₂³	semidirect
45. #13133174	C₂³	semidirect
60. #127×C₅₃	C₂³	semidirect
130. C₂²×C₅₃	#540	semidirect
143. C₂²×#127	D₅₃	semidirect
151. C₂×C₅₃	C₂×#540	semidirect
161. C₂×#127	C₂×D₅₃	semidirect
176. C₅₃	C₂²×#540	semidirect
194. #127	C₂²×D₅₃	semidirect
279. C₂²	#16811227	direct (N × H)
290. C₂	C₂×#16811227	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811227	2
C₂²×#13133209	2
C₂²×#13133198	2
C₂²×#13133189	2
C₂²×#13133188	2
C₂²×D₄×Dic₅₃	2
C₂²×#13133174	2
C₂²×#127×C₅₃	2
C₂²×#540	53

Subgroups — C22×#16811227 #28290864

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#16811227 #28290864