Subgroups — #28301498

Order 13568.

678 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 312 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×#88324	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×C₂²⋊#88324	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#88324⋊C₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20289537	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂²⋊C₈×Dic₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂³×#88324	C₄	1	2	yes	—
7	C₂×C₂²⋊#88324	C₄	1	2	yes	—
8	C₂×C₄×#88324	—	2	4	no	—
9	C₂×C₄×#88324	C₄	1	2	yes	—
10	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#16811489	C₄	1	2	yes	—
14	#88324⋊C₈	—	2	4	no	—
15	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₂²⋊#88322	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810377	C₄	1	2	yes	—
19	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#88324	—	2	4	no	—
21	C₂²×#88324	—	2	4	no	—
22	C₂²×#88324	—	2	4	no	—
23	C₂²×#88324	C₂×C₄	1	2	yes	—
24	C₂²×#88324	C₂×C₄	1	4	yes	—
25	C₂²×#88324	C₂×C₄	1	2	yes	—
26	C₂²⋊#88324	C₈	1	8	yes	complemented
27	C₄×#88324	—	2	2	no	—
28	C₄×#88324	—	2	2	no	—
29	C₄×#88324	—	2	2	no	—
30	C₄×#88324	—	2	4	no	—
31	C₄×#88324	D₄	1	4	yes	—
32	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×#88322	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
37	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂²⋊#88322	—	2	2	no	—
42	C₈×Dic₅₃	—	2	2	no	—
43	C₈×Dic₅₃	—	2	2	no	—
44	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
47	C₂⁴×C₅₃	C₄²	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
49	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₄×C₅₃	C₄²	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₄×C₅₃	M₁₆	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄×C₅₃	M₁₆	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
55	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
56	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
57	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
58	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
59	C₂²×Dic₅₃	C₄²	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×Dic₅₃	C₄²	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×Dic₅₃	C₂×C₈	1	4	yes	—
62	C₂²×Dic₅₃	M₁₆	1	4	yes	—
63	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#88324	—	2	16	no	—
66	C₂×#88324	—	2	2	no	—
67	C₂×#88324	—	2	4	no	—
68	C₂×#88324	—	2	2	no	—
69	C₂×#88324	—	2	2	no	—
70	C₂×#88324	—	2	2	no	—
71	C₂×#88324	—	2	4	no	—
72	C₂×#88324	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
73	C₂×#88324	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
74	C₂×#88324	M₁₆	1	4	yes	—
75	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
79	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
80	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
81	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
82	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
83	C₄×Dic₅₃	#41	1	2	yes	—
84	C₂×#88322	—	2	2	no	—
85	C₂×#88322	—	2	2	no	—
86	C₂×#88322	—	2	2	no	—
87	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
88	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
89	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
90	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
91	C₂³×C₅₃	C₄×C₈	1	2	yes	—
92	C₂³×C₅₃	#97	1	2	yes	—
93	C₂³×C₅₃	#97	1	2	yes	—
94	C₂³×C₅₃	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
96	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
97	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
98	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₂×C₄×C₅₃	#97	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	2	yes	—
104	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
105	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
106	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
107	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
108	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
109	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
110	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
111	C₂×Dic₅₃	C₄×C₈	1	2	yes	—
112	C₂×Dic₅₃	#97	1	2	yes	—
113	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×Dic₅₃	#117	1	1	yes	characteristic
115	C₂×Dic₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
116	C₂×Dic₅₃	C₂²×C₈	1	2	yes	—
117	C₂×Dic₅₃	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
118	C₂×Dic₅₃	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
119	C₂×Dic₅₃	#131	1	2	yes	—
120	#88324	—	2	4	no	—
121	#88324	—	2	4	no	—
122	#88324	—	2	8	no	—
123	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
124	#88322	—	4	2	no	—
125	#8145	—	53	1	no	maximal, Sylow
126	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₅₃	#322	1	4	yes	complemented
133	C₂²×C₅₃	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₅₃	C₂×#97	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₅₃	C₂×#97	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₅₃	C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₅₃	#405	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₅₃	#405	1	1	yes	characteristic
140	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
141	C₄×C₅₃	#435	1	2	yes	—
142	C₄×C₅₃	#435	1	2	yes	—
143	Dic₅₃	—	2	2	no	—
144	Dic₅₃	—	2	2	no	—
145	Dic₅₃	#407	1	2	yes	—
146	Dic₅₃	#432	1	2	yes	—
147	Dic₅₃	C₈×D₄	1	4	yes	—
148	C₂²×C₄×C₈	—	53	1	no	—
149	C₄×C₂²⋊C₈	—	53	1	no	—
150	C₄×C₂²⋊C₈	—	53	1	no	—
151	C₂×#322	—	53	2	no	—
152	#1273	—	53	2	no	—
153	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
154	C₂×C₅₃	C₂×#322	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₅₃	C₈×M₁₆	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₅₃	#1451	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₅₃	#1452	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₅₃	#1749	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₅₃	C₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₅₃	#1752	1	1	yes	characteristic
161	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
162	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	1	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₈	#6157	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
167	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
168	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
169	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
170	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
171	C₂×C₄×C₈	—	106	4	no	—
172	#336	—	53	2	no	—
173	#336	—	53	2	no	—
174	#322	—	106	4	no	—
175	C₅₃	#8145	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
176	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
177	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
178	C₂³×C₄	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
180	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
181	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
182	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
183	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
184	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
185	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
186	C₂²×C₈	C₂×#6157	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
188	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
189	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
190	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
191	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
192	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
193	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
194	C₂²⋊C₈	—	53	8	no	—
195	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
196	C₄×C₈	—	53	4	no	—
197	C₄×C₈	—	106	2	no	—
198	C₄×C₈	—	106	2	no	—
199	C₄×C₈	—	106	2	no	—
200	C₄×C₈	—	106	2	no	—
201	C₄×C₈	—	106	2	no	—
202	C₄×C₈	—	106	4	no	—
203	C₂⁴	C₄×#6157	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
217	C₂²×C₄	#11719936	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₄×#6157	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	#11719940	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	2	2	no	—
224	C₂×C₈	—	53	4	no	—
225	C₂×C₈	—	53	8	no	—
226	C₂×C₈	—	53	4	no	—
227	C₂×C₈	—	106	2	no	—
228	C₂×C₈	—	106	4	no	—
229	C₂×C₈	—	106	4	no	—
230	C₂×C₈	—	106	2	no	—
231	C₂×C₈	—	106	2	no	—
232	C₂×C₈	—	106	2	no	—
233	C₂×C₈	—	106	16	no	—
234	C₂×C₈	—	106	2	no	—
235	C₂×C₈	—	106	2	no	—
236	C₂×C₈	—	106	2	no	—
237	C₄²	—	53	2	no	—
238	C₄²	—	53	2	no	—
239	C₄²	—	106	1	no	—
240	C₄²	—	106	1	no	—
241	C₄²	—	106	2	no	—
242	C₄²	—	106	2	no	—
243	C₂³	—	2	1	no	—
244	C₂³	—	2	1	no	—
245	C₂³	—	2	1	no	—
246	C₂³	—	2	1	no	—
247	C₂³	C₈×#6157	1	2	yes	—
248	C₂³	#13133271	1	2	yes	—
249	C₂³	#13133272	1	2	yes	—
250	C₂³	C₂×C₄×#6157	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₄	—	2	1	no	—
252	C₂×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	53	1	no	—
256	C₂×C₄	—	53	1	no	—
257	C₂×C₄	—	53	2	no	—
258	C₂×C₄	—	53	2	no	—
259	C₂×C₄	—	53	2	no	—
260	C₂×C₄	—	53	2	no	—
261	C₂×C₄	—	53	2	no	—
262	C₂×C₄	—	53	2	no	—
263	C₂×C₄	—	53	2	no	—
264	C₂×C₄	—	106	4	no	—
265	C₂×C₄	—	106	4	no	—
266	C₂×C₄	—	106	8	no	—
267	C₂×C₄	—	106	1	no	—
268	C₂×C₄	—	106	1	no	—
269	C₂×C₄	—	106	1	no	—
270	C₂×C₄	—	106	1	no	—
271	C₂×C₄	#13133272	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	D₄×#6157	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	C₂×#11719940	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	C₂×#11719936	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	#13133304	1	2	yes	—
276	C₈	—	4	2	no	—
277	C₈	—	106	8	no	—
278	C₈	—	106	4	no	—
279	C₈	—	106	4	no	—
280	C₈	—	212	2	no	—
281	C₂²	—	2	2	no	—
282	C₂²	—	2	2	no	—
283	C₂²	—	2	2	no	—
284	C₂²	—	2	2	no	—
285	C₂²	—	2	2	no	—
286	C₂²	—	2	2	no	—
287	C₂²	#88324⋊C₈	1	4	yes	complemented
288	C₂²	C₂²⋊C₄×#6157	1	1	yes	characteristic
289	C₂²	C₂×C₈×#6157	1	1	yes	characteristic
290	C₂²	C₂×#13133271	1	1	yes	characteristic
291	C₂²	C₂×#13133272	1	1	yes	characteristic
292	C₂²	M₁₆×#6157	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	#16811587	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	#16811589	1	1	yes	characteristic
295	C₄	—	2	2	no	—
296	C₄	—	53	2	no	—
297	C₄	—	53	2	no	—
298	C₄	—	53	4	no	—
299	C₄	—	106	2	no	—
300	C₄	—	106	2	no	—
301	C₄	#16811652	1	2	yes	—
302	C₄	#16811654	1	2	yes	—
303	C₂	—	2	4	no	—
304	C₂	C₂×#88324⋊C₈	1	1	yes	characteristic
305	C₂	#20289916	1	1	yes	characteristic
306	C₂	#20289922	1	1	yes	characteristic
307	C₂	#20289930	1	1	yes	characteristic
308	C₂	#20290443	1	1	yes	characteristic
309	C₂	#20290450	1	1	yes	characteristic
310	C₂	#20290452	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂²×#6157
commutator	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×C₈
Fitting	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₄
socle	C₂³×C₅₃	C₂×C₄²
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₄²
cosocle	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³
hypercenter	C₂×C₂²⋊C₈	#6157
hypocenter	C₅₃	#8145
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₂²⋊C₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#88324⋊C₈	C₂	semidirect
4. #20289537	C₂	semidirect
26. C₂²⋊#88324	C₈	semidirect
73. C₂×#88324	C₂×C₈	semidirect
132. C₂²×C₅₃	#322	semidirect
175. C₅₃	#8145	semidirect
287. C₂²	#88324⋊C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×#88324	2
C₄×C₂²⋊#88324	2
C₂×#88324⋊C₈	2
#20289537	2
C₂²⋊C₈×Dic₅₃	2
#8145	53