Subgroups — #28301631

Order 13568.

598 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 368 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×C₄⋊#88324	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20290429	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×Q₈⋊#88324	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20289551	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₄×Q₈×Dic₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×C₄⋊#88324	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂×C₄×#88324	—	2	1	no	—
8	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	2	yes	—
9	#16811489	—	2	1	no	—
10	#16811489	—	2	1	no	—
11	#16811489	—	2	1	no	—
12	Q₈⋊#88324	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂×Q₈×Dic₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂×Q₈×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₄⋊C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
16	C₄⋊C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
17	C₄⋊C₄×Dic₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₄⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₄×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
20	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₄²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
22	C₄²×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×#88324	—	2	2	no	—
25	C₂²×#88324	—	2	2	no	—
26	C₄⋊#88324	—	2	2	no	—
27	C₄⋊#88324	C₂×C₄	1	4	yes	—
28	C₄×#88324	—	2	2	no	—
29	C₄×#88324	—	4	2	no	—
30	C₄×#88324	C₂×C₄	1	4	yes	—
31	Q₈×Dic₅₃	—	2	2	no	—
32	Q₈×Dic₅₃	—	2	2	no	—
33	Q₈×Dic₅₃	C₈	1	4	yes	complemented
34	Q₈×Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
36	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
37	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
40	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
41	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
42	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
43	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
44	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#13133124	—	2	1	no	—
51	#13133124	—	2	1	no	—
52	#13133124	—	2	1	no	—
53	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
55	C₄×Q₈×C₅₃	C₈	1	4	yes	complemented
56	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
57	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
61	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
62	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
63	C₂×Q₈×C₅₃	C₄²	1	2	yes	—
64	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×C₈	1	2	yes	—
65	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×C₈	1	2	yes	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
72	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
73	C₂²×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#88324	—	2	4	no	—
78	C₂×#88324	—	2	4	no	—
79	C₂×#88324	—	4	2	no	—
80	C₂×#88324	—	4	2	no	—
81	C₂×#88324	—	4	2	no	—
82	C₂×#88324	—	4	2	no	—
83	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
84	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
85	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₈	1	2	yes	—
86	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
87	C₄²×C₅₃	C₂×C₈	1	2	yes	—
88	C₄²×C₅₃	M₁₆	1	2	yes	—
89	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
90	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
91	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
92	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
93	C₄⋊Dic₅₃	C₄²	1	2	yes	—
94	C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₈	1	2	yes	—
95	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
96	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
97	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
98	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
99	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
100	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
101	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
102	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
103	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
104	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
105	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
106	C₄×Dic₅₃	C₂×C₈	1	2	yes	—
107	C₄×Dic₅₃	M₁₆	1	2	yes	—
108	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₄×Dic₅₃	#41	1	2	yes	—
110	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
111	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
112	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
113	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
114	Q₈×C₅₃	C₄×C₈	1	4	yes	complemented
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
133	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
134	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
145	C₂×Dic₅₃	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
146	C₂×Dic₅₃	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
147	C₂×Dic₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
148	C₂×Dic₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×Dic₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
150	C₂×Dic₅₃	#137	1	2	yes	—
151	C₂×Dic₅₃	#137	1	1	yes	characteristic
152	#88324	—	4	4	no	—
153	#88324	—	4	4	no	—
154	#8171	—	53	1	no	maximal, Sylow
155	C₂²×C₅₃	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₅₃	#417	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₅₃	#419	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₅₃	#421	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₅₃	#421	1	1	yes	characteristic
162	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
163	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
164	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
165	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
166	C₄×C₅₃	C₂×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
167	C₄×C₅₃	C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
168	C₄×C₅₃	#431	1	1	yes	characteristic
169	C₄×C₅₃	#431	1	1	yes	characteristic
170	Dic₅₃	—	2	2	no	—
171	Dic₅₃	—	2	2	no	—
172	Dic₅₃	—	2	2	no	—
173	Dic₅₃	—	4	2	no	—
174	Dic₅₃	—	4	2	no	—
175	Dic₅₃	#440	1	2	yes	—
176	Dic₅₃	#441	1	2	yes	—
177	C₄²×Q₈	—	53	1	no	—
178	C₄×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
179	#1744	—	53	1	no	—
180	C₂×Q₈⋊C₈	—	53	2	no	—
181	#1279	—	53	2	no	—
182	C₂×C₅₃	#1477	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₅₃	#1477	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₅₃	#1479	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₅₃	#1479	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₅₃	C₄×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₅₃	#1759	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₅₃	#1763	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
190	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
191	C₂×C₄×Q₈	#6157	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
193	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
194	C₂×C₄×C₈	—	106	1	no	—
195	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
196	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
197	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
198	C₄×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
199	C₄×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
200	C₄×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
201	C₄³	—	53	1	no	—
202	C₄³	—	106	1	no	—
203	#336	—	106	1	no	—
204	#336	—	106	1	no	—
205	#336	—	106	1	no	—
206	Q₈⋊C₈	—	53	8	no	—
207	C₅₃	#8171	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
208	C₂²×Q₈	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
210	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
211	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
212	C₄×Q₈	—	53	4	no	—
213	C₄×Q₈	—	53	4	no	—
214	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
215	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
216	C₄×Q₈	#88324	1	4	yes	complemented
217	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
219	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
220	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
221	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
224	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
225	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
226	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
227	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
228	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
229	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
230	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
231	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
232	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
233	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
234	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
235	C₂×C₄²	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
236	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
237	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
238	C₄×C₈	—	53	4	no	—
239	C₄×C₈	—	106	2	no	—
240	C₄×C₈	—	212	2	no	—
241	#95	—	106	1	no	—
242	#95	—	106	1	no	—
243	#95	—	106	1	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
245	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
247	C₂×Q₈	D₅₃⋊C₈	1	2	yes	—
248	C₂×Q₈	C₄×#6157	1	2	yes	—
249	C₂×Q₈	C₂×#88324	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
252	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
253	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
254	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
256	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
257	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
258	C₂²×C₄	C₂²⋊#6157	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²⋊#6157	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₈	—	106	4	no	—
262	C₂×C₈	—	106	4	no	—
263	C₂×C₈	—	212	2	no	—
264	C₂×C₈	—	212	2	no	—
265	C₂×C₈	—	212	2	no	—
266	C₂×C₈	—	212	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
269	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
274	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
275	C₄⋊C₄	C₂×#88324	1	2	yes	—
276	C₄²	—	2	4	no	—
277	C₄²	—	53	2	no	—
278	C₄²	—	53	2	no	—
279	C₄²	—	53	2	no	—
280	C₄²	—	53	2	no	—
281	C₄²	—	106	1	no	—
282	C₄²	—	106	1	no	—
283	C₄²	—	106	2	no	—
284	C₄²	—	106	4	no	—
285	C₄²	—	106	4	no	—
286	C₄²	—	212	1	no	—
287	C₄²	—	212	1	no	—
288	C₄²	—	212	2	no	—
289	C₄²	—	212	1	no	—
290	C₄²	—	212	1	no	—
291	C₄²	—	212	2	no	—
292	C₄²	C₂×#88324	1	2	yes	—
293	C₄²	#11719940	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂×C₂²⋊#6157	1	1	yes	characteristic
295	Q₈	—	2	2	no	—
296	Q₈	—	2	2	no	—
297	Q₈	—	2	2	no	—
298	Q₈	C₄×#88324	1	4	yes	complemented
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	1	no	—
308	C₂×C₄	—	4	1	no	—
309	C₂×C₄	—	53	2	no	—
310	C₂×C₄	—	53	1	no	—
311	C₂×C₄	—	53	1	no	—
312	C₂×C₄	—	53	2	no	—
313	C₂×C₄	—	53	2	no	—
314	C₂×C₄	—	53	2	no	—
315	C₂×C₄	—	53	2	no	—
316	C₂×C₄	—	106	1	no	—
317	C₂×C₄	—	106	1	no	—
318	C₂×C₄	—	106	1	no	—
319	C₂×C₄	—	106	1	no	—
320	C₂×C₄	—	106	1	no	—
321	C₂×C₄	—	106	1	no	—
322	C₂×C₄	—	106	2	no	—
323	C₂×C₄	—	106	2	no	—
324	C₂×C₄	—	212	1	no	—
325	C₂×C₄	—	212	1	no	—
326	C₂×C₄	—	212	1	no	—
327	C₂×C₄	—	212	1	no	—
328	C₂×C₄	C₂²⋊#88324	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂²⋊#88324	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×C₄×#6157	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#13133296	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂²×#88324	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×D₅₃⋊C₈	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×#11719940	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	D₅₃⋊M₁₆	1	1	yes	characteristic
336	C₈	—	212	4	no	—
337	C₈	—	212	4	no	—
338	C₂²	C₄×C₂²⋊#6157	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	C₂×C₂²⋊#88324	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	D₅₃⋊(C₂²⋊C₈)	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#16811614	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	#16811616	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#16811620	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#16811622	1	1	yes	characteristic
345	C₄	—	2	4	no	—
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	2	2	no	—
348	C₄	—	4	2	no	—
349	C₄	—	53	2	no	—
350	C₄	—	53	2	no	—
351	C₄	—	106	2	no	—
352	C₄	—	106	2	no	—
353	C₄	—	106	2	no	—
354	C₄	—	212	2	no	—
355	C₄	—	212	2	no	—
356	C₄	C₂×C₄×#88324	1	1	yes	characteristic
357	C₄	C₄×#11719940	1	1	yes	characteristic
358	C₄	#16811639	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#16811640	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#20290010	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#20290013	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#20290017	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#20290018	1	1	yes	characteristic
364	C₂	C₄×C₂²⋊#88324	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#20290479	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#20290487	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×C₂²⋊#6157
commutator	C₄×C₅₃	C₂×C₄×C₈
Frattini	C₂²×C₄	C₂²×#6157
Fitting	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₄
socle, prime radical	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄
cosocle	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³
hypercenter	C₂×C₄×Q₈	#6157
hypocenter	C₅₃	#8171
LCS	G ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ C₂×C₄×Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
12. Q₈⋊#88324	C₄	semidirect
33. Q₈×Dic₅₃	C₈	semidirect
55. C₄×Q₈×C₅₃	C₈	semidirect
114. Q₈×C₅₃	C₄×C₈	semidirect
207. C₅₃	#8171	semidirect
216. C₄×Q₈	#88324	semidirect
298. Q₈	C₄×#88324	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×C₄⋊#88324	2
#20290429	2
C₂×Q₈⋊#88324	2
#20289551	2
C₄×Q₈×Dic₅₃	2
#8171	53