Subgroups — #28312798

Order 13568.

1838 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄⋊C₄×#6157	C₂	1	4	yes	maximal
2	C₂×C₄×C₄⋊#6157	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20289894	C₂	1	4	yes	maximal
4	#20289892	C₂	1	4	yes	maximal
5	#384×D₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂²×C₄⋊#6157	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂²×C₄⋊#6157	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×C₄×#6157	C₂²	1	4	yes	—
9	C₂²×C₄×#6157	C₂²	1	4	yes	—
10	C₄⋊C₄×#6157	—	2	16	no	—
11	C₄×C₄⋊#6157	C₄	1	16	yes	complemented
12	C₂×(C₂×#6157)⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
13	C₂×(C₂×#6157)⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×(C₂×#6157)⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×C₄⋊C₄×D₅₃	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×C₄⋊C₄×D₅₃	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄²×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#16810493	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
19	#16810492	C₄	1	4	yes	complemented
20	#16810492	C₄	1	2	yes	complemented
21	C₅₃×#384	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
22	C₂³×#6157	C₂³	1	4	yes	—
23	C₂³×#6157	C₂³	1	4	yes	—
24	C₂×C₄⋊#6157	—	2	4	no	—
25	C₂×C₄⋊#6157	—	2	4	no	—
26	C₂×C₄⋊#6157	C₂×C₄	1	8	yes	—
27	C₂×C₄⋊#6157	C₂×C₄	1	8	yes	—
28	C₂×C₄⋊#6157	D₄	1	8	yes	—
29	C₂×C₄⋊#6157	Q₈	1	8	yes	—
30	C₂×C₄×#6157	—	2	8	no	—
31	C₂×C₄×#6157	—	2	8	no	—
32	C₂×C₄×#6157	—	2	16	no	—
33	C₂×C₄×#6157	—	4	4	no	—
34	C₂×C₄×#6157	C₂×C₄	1	16	yes	—
35	(C₂×#6157)⋊C₄	—	2	16	no	—
36	(C₂×#6157)⋊C₄	—	4	4	no	—
37	(C₂×#6157)⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
38	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₄⋊C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
46	C₄⋊C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
47	C₄⋊C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
48	C₄⋊C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
49	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₄²×D₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×D₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×#6157	—	2	4	no	—
57	C₂²×#6157	—	2	4	no	—
58	C₂²×#6157	—	2	4	no	—
59	C₂²×#6157	—	2	4	no	—
60	C₂²×#6157	—	2	4	no	—
61	C₂²×#6157	—	2	4	no	—
62	C₂²×#6157	—	2	4	no	—
63	C₂²×#6157	—	2	4	no	—
64	C₂²×#6157	—	2	4	no	—
65	C₂²×#6157	—	2	4	no	—
66	C₂²×#6157	C₂²×C₄	1	8	yes	—
67	C₂²×#6157	C₂²×C₄	1	8	yes	—
68	C₂²×#6157	C₂×D₄	1	8	yes	—
69	C₂²×#6157	C₂×Q₈	1	8	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
73	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
74	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
78	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
80	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
81	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
83	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
84	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
85	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
86	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
87	C₂×C₄×D₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
88	C₂×C₄×D₅₃	#41	1	4	yes	—
89	C₂×C₄×D₅₃	#41	1	4	yes	—
90	C₄⋊#6157	—	2	16	no	—
91	C₄⋊#6157	C₄⋊C₄	1	32	yes	complemented
92	C₄×#6157	—	2	32	no	—
93	C₄×#6157	—	4	16	no	—
94	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
95	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
96	C₄²×C₅₃	C₄²	1	4	yes	complemented
97	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
98	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
99	#11719919	—	2	16	no	—
100	#11719919	—	4	4	no	—
101	C₄×Dic₅₃	C₄²	1	8	yes	complemented
102	C₄×Dic₅₃	C₄²	1	4	yes	complemented
103	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×D₅₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
105	C₂²×D₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
106	C₂²×D₅₃	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
107	C₂²×D₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
108	C₂²×D₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
109	C₂²×D₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×D₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×D₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
112	C₂×#6157	—	2	8	no	—
113	C₂×#6157	—	2	8	no	—
114	C₂×#6157	—	2	8	no	—
115	C₂×#6157	—	2	8	no	—
116	C₂×#6157	—	2	8	no	—
117	C₂×#6157	—	2	8	no	—
118	C₂×#6157	—	2	8	no	—
119	C₂×#6157	—	2	8	no	—
120	C₂×#6157	—	2	8	no	—
121	C₂×#6157	—	4	4	no	—
122	C₂×#6157	—	4	4	no	—
123	C₂×#6157	—	4	4	no	—
124	C₂×#6157	—	4	4	no	—
125	C₂×#6157	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	4	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	4	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₄×Q₈	1	4	yes	—
134	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
138	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
139	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄²	1	4	yes	—
140	C₂×Dic₅₃	C₄×D₄	1	4	yes	—
141	C₂×Dic₅₃	C₄×Q₈	1	4	yes	—
142	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
143	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
144	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
145	C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
146	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
147	C₄×D₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
148	C₄×D₅₃	#117	1	8	yes	—
149	C₄×D₅₃	C₄×D₄	1	8	yes	—
150	C₄×D₅₃	C₄×Q₈	1	8	yes	—
151	C₄⋊C₄²	—	53	1	no	maximal, Sylow
152	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
154	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
155	C₂²×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₅₃	#519	1	1	yes	characteristic
157	C₂×D₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂×D₅₃	C₂×#117	1	2	yes	—
159	C₂×D₅₃	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×D₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
161	C₂×D₅₃	#520	1	2	yes	—
162	C₂×D₅₃	#520	1	2	yes	—
163	C₂×D₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
164	C₂×D₅₃	#547	1	2	yes	—
165	C₂×D₅₃	D₄×Q₈	1	2	yes	—
166	C₂×D₅₃	#550	1	2	yes	—
167	C₂×D₅₃	#554	1	2	yes	—
168	C₂×D₅₃	#555	1	1	yes	characteristic
169	C₂×D₅₃	#556	1	2	yes	—
170	C₂×D₅₃	#557	1	2	yes	—
171	C₂×D₅₃	Q₈²	1	1	yes	characteristic
172	C₂×D₅₃	#559	1	1	yes	characteristic
173	#6157	—	2	16	no	—
174	#6157	—	4	8	no	—
175	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
176	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
177	C₄×C₅₃	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	complemented
178	Dic₅₃	—	2	2	no	—
179	Dic₅₃	—	4	4	no	—
180	Dic₅₃	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	complemented
181	C₂×#384	—	53	1	no	—
182	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
183	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
184	#1436	—	53	4	no	—
185	C₄⋊#95	—	53	4	no	—
186	C₂×C₅₃	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₅₃	#2274	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₅₃	#2365	1	2	yes	—
189	C₂×C₅₃	#2366	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₅₃	#2369	1	1	yes	characteristic
191	D₅₃	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
192	D₅₃	Q₈×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
193	D₅₃	#2354	1	2	yes	—
194	D₅₃	#2355	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
196	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
197	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
198	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
199	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
200	C₂²×C₄²	—	53	4	no	—
201	C₂²×C₄²	—	53	4	no	—
202	#384	—	53	2	no	—
203	#384	—	53	4	no	—
204	#384	—	53	1	no	—
205	#384	#6157	1	1	yes	characteristic, complemented
206	C₄×C₄⋊C₄	—	53	16	no	—
207	C₄×C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
208	C₂×#95	—	53	4	no	—
209	C₂×#95	—	53	8	no	—
210	C₂×#95	—	53	4	no	—
211	C₅₃	C₄⋊C₄²	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
212	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
213	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
214	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
215	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
216	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
217	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
219	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
220	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
221	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
223	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
224	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
225	C₂×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
226	C₂×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
227	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
228	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
229	C₂×C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
230	C₂×C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
231	C₂×C₄⋊C₄	C₂×#6157	1	4	yes	—
232	C₂×C₄⋊C₄	C₂×#6157	1	2	yes	—
233	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
234	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
235	C₂×C₄²	—	53	8	no	—
236	C₂×C₄²	—	53	16	no	—
237	C₂×C₄²	—	106	8	no	—
238	C₂×C₄²	—	106	8	no	—
239	C₂×C₄²	—	106	16	no	—
240	C₂×C₄²	—	212	4	no	—
241	C₂×C₄²	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
242	#95	—	53	16	no	—
243	#95	—	106	16	no	—
244	#95	—	212	4	no	—
245	C₂⁴	—	53	1	no	—
246	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
254	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
256	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
257	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
259	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
261	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
262	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
264	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
267	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
277	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	4	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	2	yes	—
280	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	53	32	no	—
283	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
284	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
285	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
286	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
288	C₄²	—	53	4	no	—
289	C₄²	—	53	8	no	—
290	C₄²	—	106	32	no	—
291	C₄²	—	212	16	no	—
292	C₄²	C₄×#6157	1	4	yes	complemented
293	C₂³	—	53	2	no	—
294	C₂³	—	53	2	no	—
295	C₂³	—	53	2	no	—
296	C₂³	—	53	2	no	—
297	C₂³	—	53	2	no	—
298	C₂³	—	53	1	no	—
299	C₂³	—	53	1	no	—
300	C₂³	—	53	2	no	—
301	C₂³	C₂³×#6157	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	53	4	no	—
307	C₂×C₄	—	53	4	no	—
308	C₂×C₄	—	53	4	no	—
309	C₂×C₄	—	53	8	no	—
310	C₂×C₄	—	53	8	no	—
311	C₂×C₄	—	53	8	no	—
312	C₂×C₄	—	53	8	no	—
313	C₂×C₄	—	53	16	no	—
314	C₂×C₄	—	53	2	no	—
315	C₂×C₄	—	106	4	no	—
316	C₂×C₄	—	106	4	no	—
317	C₂×C₄	—	106	8	no	—
318	C₂×C₄	—	106	8	no	—
319	C₂×C₄	—	106	8	no	—
320	C₂×C₄	—	106	8	no	—
321	C₂×C₄	—	106	8	no	—
322	C₂×C₄	—	106	8	no	—
323	C₂×C₄	—	106	1	no	—
324	C₂×C₄	—	106	1	no	—
325	C₂×C₄	—	106	8	no	—
326	C₂×C₄	—	106	8	no	—
327	C₂×C₄	—	106	8	no	—
328	C₂×C₄	—	106	8	no	—
329	C₂×C₄	—	106	4	no	—
330	C₂×C₄	—	212	4	no	—
331	C₂×C₄	—	212	8	no	—
332	C₂×C₄	—	212	4	no	—
333	C₂×C₄	—	212	4	no	—
334	C₂×C₄	—	212	4	no	—
335	C₂×C₄	—	212	4	no	—
336	C₂×C₄	—	212	4	no	—
337	C₂×C₄	C₂×C₄×#6157	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×C₄×#6157	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	D₄×#6157	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	Q₈×#6157	1	4	yes	—
341	C₂²	—	53	2	no	—
342	C₂²	—	53	2	no	—
343	C₂²	—	53	2	no	—
344	C₂²	—	53	2	no	—
345	C₂²	—	53	2	no	—
346	C₂²	—	53	2	no	—
347	C₂²	—	53	2	no	—
348	C₂²	—	53	2	no	—
349	C₂²	—	53	2	no	—
350	C₂²	—	53	2	no	—
351	C₂²	—	53	1	no	—
352	C₂²	—	53	2	no	—
353	C₂²	—	53	1	no	—
354	C₂²	—	53	2	no	—
355	C₂²	—	53	1	no	—
356	C₂²	—	53	1	no	—
357	C₂²	C₂²×C₄×#6157	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂×D₄×#6157	1	2	yes	—
359	C₂²	C₂×Q₈×#6157	1	2	yes	—
360	C₂²	#16811690	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	#16811691	1	1	yes	characteristic
362	C₄	—	2	2	no	—
363	C₄	—	4	4	no	—
364	C₄	—	53	8	no	—
365	C₄	—	106	16	no	—
366	C₄	—	106	2	no	—
367	C₄	—	212	8	no	—
368	C₄	—	212	4	no	—
369	C₄	C₄⋊C₄×#6157	1	8	yes	complemented
370	C₂	—	53	2	no	—
371	C₂	—	53	2	no	—
372	C₂	—	53	2	no	—
373	C₂	—	53	2	no	—
374	C₂	C₂×C₄⋊C₄×#6157	1	2	yes	—
375	C₂	#20291153	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#20291244	1	2	yes	—
377	C₂	#20291245	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#20291248	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×#6157
commutator	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²
Fitting	C₅₃×#384	C₄
socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
prime radical, cosocle	C₂³×D₅₃	C₂⁴
hypercenter	#384	#6157
hypocenter	C₅₃	C₄⋊C₄²
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #384

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
11. C₄×C₄⋊#6157	C₄	semidirect
18. #16810493	C₄	semidirect
19. #16810492	C₄	semidirect
20. #16810492	C₄	semidirect
21. C₅₃×#384	C₄	semidirect
91. C₄⋊#6157	C₄⋊C₄	semidirect
96. C₄²×C₅₃	C₄²	semidirect
101. C₄×Dic₅₃	C₄²	semidirect
102. C₄×Dic₅₃	C₄²	semidirect
177. C₄×C₅₃	C₄×C₄⋊C₄	semidirect
180. Dic₅₃	C₄×C₄⋊C₄	semidirect
205. #384	#6157	semidirect
211. C₅₃	C₄⋊C₄²	semidirect
292. C₄²	C₄×#6157	semidirect
369. C₄	C₄⋊C₄×#6157	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄⋊C₄×#6157	2
C₂×C₄×C₄⋊#6157	2
#20289894	2
#20289892	2
#384×D₅₃	2
C₄⋊C₄²	53