Subgroups — #28313857

Order 13568.

750 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 400 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20291524	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#41×#88324	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20289936	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20289932	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20289928	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20289922	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20289920	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20289916	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	M₁₆×#88324	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×C₈×#88324	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#20283355	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	#16811674	C₄	1	2	yes	—
13	Q₈×#88324	C₄	1	2	yes	—
14	#16811658	C₄	1	2	yes	—
15	#16811654	C₄	1	4	yes	—
16	D₄×#88324	C₄	1	2	yes	—
17	D₄×#88324	C₄	1	4	yes	—
18	#16811640	C₂²	1	2	yes	—
19	#16811639	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#16811639	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#16811639	C₂²	1	2	yes	—
22	C₄×#11719940	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	2	yes	—
26	#88324⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	#88324⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
28	#88324⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
29	#88324⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
30	#16811464	C₂²	1	2	yes	—
31	C₈×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₈×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₈×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₈×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₈×#88324	C₂²	1	2	yes	—
36	#41×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#16810681	C₄	1	2	yes	—
38	#16810681	C₄	1	2	yes	—
39	#16810673	C₂²	1	2	yes	—
40	#16810673	C₂²	1	2	yes	—
41	#16810651	C₄	1	1	yes	characteristic
42	#16810649	C₄	1	1	yes	characteristic
43	#16810590	C₄	1	1	yes	characteristic
44	M₁₆×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₅₃×#408	C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#11719940	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂²×#88324	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂²×#88324	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂²×#88324	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	#13133284	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₄⋊#88324	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₄⋊#88324	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₄⋊#88324	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂²⋊#88324	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂²⋊#88324	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂²⋊#88324	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂²⋊#88324	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	#13133272	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₄×#88324	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₄×#88324	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₄×#88324	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₄×#88324	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₄×#88324	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₄×#88324	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₄×#88324	C₂³	1	2	yes	—
67	C₄×#88324	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₄×#88324	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#11719917	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×#88322	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	Q₈×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	Q₈×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	D₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	D₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	D₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	D₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	#13133176	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	#13133176	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
81	#13133146	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#13133146	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#13133146	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#13133146	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂²⋊#88322	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₂²⋊#88322	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#13133127	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	C₈×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₈×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₈×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₈×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₈×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×#41×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
99	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂×Q₈×C₅₃	C₄²	1	1	yes	characteristic
101	C₂×D₄×C₅₃	C₄²	1	2	yes	—
102	C₂×D₄×C₅₃	C₄²	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	#11719940	—	2	8	no	—
110	C₂×#88324	—	2	4	no	—
111	C₂×#88324	—	2	8	no	—
112	C₂×#88324	—	2	4	no	—
113	C₂×#88324	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂×#88324	C₂²×C₄	1	4	yes	—
115	C₂×#88324	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂×#88324	C₂²×C₄	1	4	yes	—
117	C₂×#88324	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂×#88324	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂²⋊Dic₅₃	C₄²	1	2	yes	—
125	C₂²⋊Dic₅₃	C₄²	1	2	yes	—
126	C₂²⋊Dic₅₃	C₄²	1	2	yes	—
127	C₄⋊Dic₅₃	C₄²	1	2	yes	—
128	C₄⋊Dic₅₃	C₄²	1	2	yes	—
129	C₄⋊Dic₅₃	C₄²	1	1	yes	characteristic
130	C₄⋊Dic₅₃	C₄²	1	1	yes	characteristic
131	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₄×Dic₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
138	#11719917	—	2	2	no	—
139	C₂×#88322	—	2	2	no	—
140	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	2	yes	—
143	C₂³×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
144	C₂³×C₅₃	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
145	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
146	D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
147	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
151	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	2	yes	—
153	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	2	yes	—
154	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
158	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
159	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
160	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
161	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
162	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
163	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
165	#88324	—	2	2	no	—
166	#88324	—	2	4	no	—
167	#88324	—	2	2	no	—
168	#88324	—	2	4	no	—
169	#88324	#131	1	4	yes	—
170	#88324	#131	1	4	yes	—
171	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
172	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
173	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
174	#88322	—	2	1	no	—
175	#88322	—	2	1	no	—
176	#88322	—	2	2	no	—
177	#17328	—	53	1	no	maximal, Sylow
178	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
179	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
180	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₅₃	#405	1	2	yes	—
184	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
185	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
186	C₄×C₅₃	#405	1	2	yes	—
187	C₄×C₅₃	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
188	C₄×C₅₃	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
189	Dic₅₃	—	2	1	no	—
190	Dic₅₃	—	2	1	no	—
191	Dic₅₃	—	2	2	no	—
192	Dic₅₃	—	2	2	no	—
193	Dic₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
194	Dic₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
195	#2965	—	53	1	no	—
196	C₈×#41	—	53	1	no	—
197	#2922	—	53	1	no	—
198	#1454	—	53	2	no	—
199	#1453	—	53	2	no	—
200	#1452	—	53	1	no	—
201	#1451	—	53	1	no	—
202	#1450	—	53	2	no	—
203	C₈×M₁₆	—	53	1	no	—
204	C₈×M₁₆	—	53	2	no	—
205	C₂×C₈²	—	53	1	no	—
206	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
207	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
208	C₂×C₅₃	C₂×#405	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₅₃	C₄×#131	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₅₃	C₄×#131	1	1	yes	characteristic
211	C₄×#41	—	53	1	no	—
212	#446	—	53	2	no	—
213	C₈×Q₈	—	53	2	no	—
214	#436	—	53	2	no	—
215	#435	—	53	4	no	—
216	C₈×D₄	—	53	2	no	—
217	C₈×D₄	—	53	4	no	—
218	#433	—	53	2	no	—
219	#433	—	53	2	no	—
220	#431	—	53	1	no	—
221	#431	—	53	2	no	—
222	#431	—	53	1	no	—
223	#431	—	53	2	no	—
224	#431	—	53	2	no	—
225	#431	—	53	2	no	—
226	#424	—	53	1	no	—
227	#424	—	53	1	no	—
228	#408	—	53	1	no	—
229	#408	#6157	1	1	yes	characteristic
230	C₄×M₁₆	—	53	2	no	—
231	C₄×M₁₆	—	53	1	no	—
232	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
233	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
234	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
235	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
236	#322	—	53	2	no	—
237	#322	—	53	2	no	—
238	#322	—	53	2	no	—
239	#322	—	53	2	no	—
240	#322	—	53	2	no	—
241	C₈²	—	53	1	no	—
242	C₈²	—	53	1	no	—
243	C₈²	—	53	1	no	—
244	C₈²	—	53	1	no	—
245	C₈²	—	53	2	no	—
246	C₅₃	#17328	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
247	C₂×#41	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
248	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
249	C₂×M₁₆	—	53	1	no	—
250	C₂×M₁₆	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
252	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
253	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
254	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
255	C₂²×C₈	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
256	C₄×Q₈	—	53	1	no	—
257	C₄×Q₈	—	53	1	no	—
258	C₄×D₄	—	53	2	no	—
259	C₄×D₄	—	53	1	no	—
260	C₄×D₄	—	53	2	no	—
261	C₄×D₄	—	53	1	no	—
262	#117	—	53	1	no	—
263	#117	—	53	2	no	—
264	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
265	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
266	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
267	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
268	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
269	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
270	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
271	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
272	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
273	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
274	C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
275	C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
276	C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
277	C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
278	C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
279	C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
280	C₂²⋊C₈	C₂×#6157	1	2	yes	—
281	C₂²⋊C₈	C₂×#6157	1	2	yes	—
282	#97	—	53	4	no	—
283	#97	—	53	2	no	—
284	C₄×C₈	—	53	1	no	—
285	C₄×C₈	—	53	1	no	—
286	C₄×C₈	—	53	1	no	—
287	C₄×C₈	—	53	1	no	—
288	C₄×C₈	—	53	2	no	—
289	C₄×C₈	—	53	2	no	—
290	C₄×C₈	—	53	2	no	—
291	C₄×C₈	—	53	4	no	—
292	C₄×C₈	—	53	2	no	—
293	C₄×C₈	—	53	1	no	—
294	C₄×C₈	—	53	1	no	—
295	C₄×C₈	—	53	2	no	—
296	C₄×C₈	—	53	1	no	—
297	C₄×C₈	—	53	1	no	—
298	#41	—	2	2	no	—
299	#41	—	2	2	no	—
300	C₂×Q₈	C₄×#6157	1	1	yes	characteristic
301	C₂×D₄	C₄×#6157	1	2	yes	—
302	C₂×D₄	C₄×#6157	1	1	yes	characteristic
303	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
304	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
305	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
306	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
307	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	2	yes	—
308	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
309	M₁₆	—	2	2	no	—
310	M₁₆	—	106	8	no	—
311	M₁₆	—	106	2	no	—
312	C₂×C₈	—	2	2	no	—
313	C₂×C₈	—	53	2	no	—
314	C₂×C₈	—	53	2	no	—
315	C₂×C₈	—	53	2	no	—
316	C₂×C₈	—	53	4	no	—
317	C₂×C₈	—	53	2	no	—
318	C₂×C₈	—	53	4	no	—
319	C₂×C₈	—	53	1	no	—
320	C₂×C₈	—	53	1	no	—
321	C₂×C₈	—	53	2	no	—
322	C₂×C₈	—	106	4	no	—
323	C₂×C₈	—	106	8	no	—
324	C₂×C₈	—	106	4	no	—
325	C₂×C₈	—	106	2	no	—
326	C₂×C₈	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₈	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₈	C₂²×#6157	1	2	yes	—
329	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
330	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
331	C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
332	C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
333	C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
334	C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
335	C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
336	C₄²	—	53	2	no	—
337	C₄²	—	53	1	no	—
338	C₄²	—	53	1	no	—
339	C₄²	—	53	2	no	—
340	C₄²	—	53	1	no	—
341	C₄²	—	53	1	no	—
342	C₄²	—	53	2	no	—
343	C₂³	C₂×C₄×#6157	1	2	yes	—
344	C₂³	C₂×C₄×#6157	1	1	yes	characteristic
345	Q₈	—	2	2	no	—
346	D₄	—	2	4	no	—
347	D₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	53	1	no	—
351	C₂×C₄	—	53	1	no	—
352	C₂×C₄	—	53	1	no	—
353	C₂×C₄	—	53	1	no	—
354	C₂×C₄	—	53	2	no	—
355	C₂×C₄	—	53	2	no	—
356	C₂×C₄	—	106	2	no	—
357	C₂×C₄	—	106	2	no	—
358	C₂×C₄	—	106	4	no	—
359	C₂×C₄	—	106	4	no	—
360	C₂×C₄	C₂×C₄×#6157	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×C₄×#6157	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#13133304	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#13133304	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	C₂³×#6157	1	1	yes	characteristic
365	C₈	—	2	1	no	—
366	C₈	—	2	1	no	—
367	C₈	—	2	2	no	—
368	C₈	—	53	4	no	—
369	C₈	—	53	4	no	—
370	C₈	—	106	2	no	—
371	C₈	—	106	4	no	—
372	C₈	—	106	2	no	—
373	C₈	—	106	4	no	—
374	C₈	—	106	1	no	—
375	C₈	—	106	1	no	—
376	C₈	—	106	2	no	—
377	C₂²	—	2	1	no	—
378	C₂²	—	2	1	no	—
379	C₂²	—	2	2	no	—
380	C₂²	—	2	2	no	—
381	C₂²	—	2	2	no	—
382	C₂²	#16811587	1	2	yes	—
383	C₂²	C₂²×C₄×#6157	1	1	yes	characteristic
384	C₄	—	2	2	no	—
385	C₄	—	53	2	no	—
386	C₄	—	53	2	no	—
387	C₄	—	106	1	no	—
388	C₄	—	106	1	no	—
389	C₄	—	106	2	no	—
390	C₄	—	106	2	no	—
391	C₄	#16811587	1	2	yes	—
392	C₄	C₂×#13133304	1	1	yes	characteristic
393	C₄	C₂×#13133304	1	1	yes	characteristic
394	C₂	—	2	2	no	—
395	C₂	—	4	2	no	—
396	C₂	C₂×#16811587	1	1	yes	characteristic
397	C₂	#131×#6157	1	1	yes	characteristic
398	C₂	#131×#6157	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂×C₄	C₂³×#6157
commutator, socle	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²
Fitting	C₅₃×#408	C₄
prime radical	C₂×#41×C₅₃	C₂×C₄
cosocle	C₄×Dic₅₃	C₂⁴
hypercenter	#408	#6157
hypocenter	C₅₃	#17328
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ #408

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20289936	C₂	semidirect
4. #20289932	C₂	semidirect
5. #20289928	C₂	semidirect
6. #20289922	C₂	semidirect
7. #20289920	C₂	semidirect
8. #20289916	C₂	semidirect
9. M₁₆×#88324	C₂	semidirect
10. C₂×C₈×#88324	C₂	semidirect
246. C₅₃	#17328	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20291524	2
#41×#88324	2
#20289936	2
#20289932	2
#20289928	2
#20289922	2
#20289920	2
#20289916	2
M₁₆×#88324	2
C₂×C₈×#88324	2
#20283355	2
#17328	53