Subgroups — #28316089

Order 13568.

778 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 308 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	D₅₃⋊#431	C₂	1	2	yes	maximal
2	#20290267	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
3	#20290264	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20290262	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#16810575	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#16811642	C₂²	1	4	yes	—
7	#16811641	—	2	2	no	—
8	#16811640	—	2	2	no	—
9	#16811639	C₂²	1	4	yes	—
10	D₅₃⋊(C₄⋊C₈)	C₂²	1	4	yes	—
11	D₅₃⋊(C₂²⋊C₈)	—	2	2	no	—
12	C₄×D₅₃⋊C₈	—	2	2	no	—
13	#16811487	C₂²	1	4	yes	complemented
14	#16811486	C₂²	1	4	yes	complemented
15	#16811485	C₂²	1	4	yes	complemented
16	#16811484	C₂²	1	4	yes	complemented
17	C₂²×#11719912	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#11719912	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄²×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#16810575	C₄	1	4	yes	—
21	#16810575	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#13133128	C₄	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#97×C₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂×D₅₃⋊C₈	—	2	4	no	—
27	#13133284	—	2	4	no	—
28	C₄⋊#88324	C₂³	1	8	yes	—
29	#13133274	—	2	4	no	—
30	C₂²⋊#88324	—	2	4	no	—
31	C₄×#88324	—	2	4	no	—
32	C₄×#88324	—	2	4	no	—
33	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₄×D₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄×D₅₃	Q₈	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#11719912	—	2	4	no	—
37	C₂×#11719912	C₈	1	8	yes	complemented
38	C₂×#11719912	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂×#11719912	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂²×#88322	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×#88322	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄×Dic₅₃	Q₈	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₄²×D₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₄²×D₅₃	D₄	1	2	yes	—
47	C₄²×D₅₃	Q₈	1	2	yes	—
48	C₄²×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
49	#13133128	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₈×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₈×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₈×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
53	C₈×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	#97×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂³×D₅₃	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄×C₅₃	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄×C₅₃	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×Dic₅₃	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
66	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
67	C₂×C₄×D₅₃	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄×D₅₃	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄×D₅₃	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₄×D₅₃	C₂×C₈	1	4	yes	—
71	C₂×C₄×D₅₃	M₁₆	1	4	yes	—
72	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄×D₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
75	C₂×#88324	—	2	8	no	—
76	D₅₃⋊C₈	—	4	8	no	—
77	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂×C₈×C₅₃	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
79	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₄²×C₅₃	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
82	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₄×Dic₅₃	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
84	C₄×Dic₅₃	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
85	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
89	C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
90	C₄×Dic₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
91	C₂×#88322	—	2	2	no	—
92	C₂×#88322	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
93	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	#11719912	—	2	8	no	—
96	#11719912	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
97	C₂³×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
99	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
100	C₂²×D₅₃	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
101	C₂²×D₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
103	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
104	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
105	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
106	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×C₈	1	2	yes	—
108	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
109	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂×Dic₅₃	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
113	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
115	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×Dic₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂×Dic₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
118	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
119	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
120	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
121	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
122	C₄×D₅₃	C₄⋊C₈	1	8	yes	—
123	C₄×D₅₃	C₂²×C₈	1	4	yes	—
124	C₄×D₅₃	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
125	#88324	—	4	8	no	—
126	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₈×C₅₃	C₂²×C₈	1	4	yes	—
128	#88322	—	2	2	no	—
129	#88322	C₂²×C₈	1	4	yes	—
130	#17787	—	53	1	no	maximal, Sylow
131	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
132	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₅₃	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
134	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
138	C₂×D₅₃	C₂×C₄⋊C₈	1	4	yes	—
139	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
140	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
141	C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
142	C₄×C₅₃	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
143	C₄×C₅₃	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
144	Dic₅₃	—	2	1	no	—
145	Dic₅₃	—	2	1	no	—
146	Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₈	1	4	yes	—
147	Dic₅₃	#430	1	2	yes	—
148	Dic₅₃	#575	1	2	yes	—
149	C₂×#431	—	53	2	no	—
150	C₂×C₄×M₁₆	—	53	1	no	—
151	#1565	—	53	8	no	—
152	#1564	—	53	2	no	—
153	#1564	—	53	2	no	—
154	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
155	C₂×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₅₃	#2911	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₅₃	C₂×#430	1	1	yes	characteristic
158	D₅₃	—	2	4	no	—
159	C₂²×M₁₆	—	53	1	no	—
160	C₂²×M₁₆	—	53	1	no	—
161	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
162	#431	—	53	4	no	—
163	#431	—	53	4	no	—
164	#431	—	106	2	no	—
165	#431	—	106	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
168	C₄×M₁₆	—	53	4	no	—
169	C₄×M₁₆	—	53	4	no	—
170	C₂×#97	—	53	1	no	—
171	C₂×#97	#6157	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
173	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
174	C₂×C₄×C₈	—	106	2	no	—
175	#335	—	53	4	no	—
176	#335	—	53	4	no	—
177	#334	—	53	4	no	—
178	#334	—	53	4	no	—
179	C₅₃	#17787	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
180	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
181	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
182	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
183	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
184	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
185	C₂×M₁₆	—	53	8	no	—
186	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
187	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
188	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
189	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
190	C₂²×C₈	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₈	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
193	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
194	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
195	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
196	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
197	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
198	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
199	C₂×C₄²	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
200	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
201	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
202	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
203	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
204	#97	—	53	4	no	—
205	#97	C₂×#6157	1	4	yes	—
206	C₄×C₈	—	53	2	no	—
207	C₄×C₈	—	53	2	no	—
208	C₄×C₈	—	53	2	no	—
209	C₄×C₈	—	53	2	no	—
210	C₄×C₈	—	106	4	no	—
211	C₄×C₈	—	106	4	no	—
212	C₂⁴	—	53	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
226	C₂²×C₄	C₄⋊#6157	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₄⋊#6157	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
229	M₁₆	—	53	16	no	—
230	M₁₆	—	106	8	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	53	4	no	—
233	C₂×C₈	—	53	2	no	—
234	C₂×C₈	—	53	2	no	—
235	C₂×C₈	—	106	2	no	—
236	C₂×C₈	—	106	8	no	—
237	C₂×C₈	—	212	8	no	—
238	C₂×C₈	D₅₃⋊C₈	1	4	yes	complemented
239	C₂×C₈	C₂²×#6157	1	2	yes	—
240	C₂×C₈	C₂²×#6157	1	2	yes	—
241	C₄²	—	53	2	no	—
242	C₄²	—	53	2	no	—
243	C₄²	—	53	2	no	—
244	C₄²	—	53	2	no	—
245	C₄²	—	53	1	no	—
246	C₄²	—	53	1	no	—
247	C₄²	—	53	1	no	—
248	C₄²	—	53	1	no	—
249	C₄²	C₄⋊#6157	1	2	yes	—
250	C₄²	C₂²×#6157	1	2	yes	—
251	C₂³	—	53	2	no	—
252	C₂³	—	53	4	no	—
253	C₂³	—	212	1	no	—
254	C₂³	—	212	1	no	—
255	C₂³	C₂×C₄⋊#6157	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄	—	4	1	no	—
257	C₂×C₄	—	4	1	no	—
258	C₂×C₄	—	53	4	no	—
259	C₂×C₄	—	53	2	no	—
260	C₂×C₄	—	53	1	no	—
261	C₂×C₄	—	53	1	no	—
262	C₂×C₄	—	53	8	no	—
263	C₂×C₄	—	53	4	no	—
264	C₂×C₄	—	53	4	no	—
265	C₂×C₄	—	53	1	no	—
266	C₂×C₄	—	53	1	no	—
267	C₂×C₄	—	106	4	no	—
268	C₂×C₄	—	106	4	no	—
269	C₂×C₄	—	106	2	no	—
270	C₂×C₄	—	106	2	no	—
271	C₂×C₄	—	212	2	no	—
272	C₂×C₄	—	212	2	no	—
273	C₂×C₄	C₂×C₄⋊#6157	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₂×C₄⋊#6157	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	C₂×C₄⋊#6157	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	C₂×D₅₃⋊C₈	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	D₅₃⋊M₁₆	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₂³×#6157	1	1	yes	characteristic
279	C₈	—	2	2	no	—
280	C₈	—	53	4	no	—
281	C₈	—	106	2	no	—
282	C₈	—	212	8	no	—
283	C₈	C₂×D₅₃⋊C₈	1	4	yes	—
284	C₂²	—	2	1	no	—
285	C₂²	—	2	1	no	—
286	C₂²	—	53	4	no	—
287	C₂²	—	106	2	no	—
288	C₂²	—	106	2	no	—
289	C₂²	—	212	4	no	—
290	C₂²	D₅₃⋊(C₄⋊C₈)	1	2	yes	—
291	C₂²	C₂²×C₄⋊#6157	1	1	yes	characteristic
292	C₄	—	2	2	no	—
293	C₄	—	2	2	no	—
294	C₄	—	53	4	no	—
295	C₄	—	53	2	no	—
296	C₄	—	53	2	no	—
297	C₄	—	106	1	no	—
298	C₄	—	106	1	no	—
299	C₄	D₅₃⋊(C₄⋊C₈)	1	2	yes	—
300	C₄	C₂²×D₅₃⋊C₈	1	1	yes	characteristic
301	C₄	C₂×D₅₃⋊M₁₆	1	1	yes	characteristic
302	C₂	—	2	2	no	—
303	C₂	—	106	4	no	—
304	C₂	C₂×D₅₃⋊(C₄⋊C₈)	1	1	yes	characteristic
305	C₂	#20291368	1	1	yes	characteristic
306	C₂	D₅₃⋊#430	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×C₄⋊#6157
commutator	C₄×C₅₃	C₂³×C₈
Frattini	C₂×C₄	C₂³×#6157
Fitting	C₂×#97×C₅₃	C₄
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂³×D₅₃	C₄⋊C₄
cosocle	C₄×Dic₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×#97	#6157
hypocenter	C₅₃	#17787
LCS	G ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄² ◁ C₂×#97

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20290267	C₂	semidirect
3. #20290264	C₂	semidirect
4. #20290262	C₂	semidirect
13. #16811487	C₂²	semidirect
14. #16811486	C₂²	semidirect
15. #16811485	C₂²	semidirect
16. #16811484	C₂²	semidirect
37. C₂×#11719912	C₈	semidirect
78. C₂×C₈×C₅₃	C₂×C₈	semidirect
92. C₂×#88322	C₂×C₈	semidirect
96. #11719912	C₂×C₈	semidirect
179. C₅₃	#17787	semidirect
238. C₂×C₈	D₅₃⋊C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
D₅₃⋊#431	2
#20290267	2
#20290264	2
#20290262	2
C₂×#16810575	2
#17787	53