Subgroups — #28317173

Order 13568.

624 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 424 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20291607	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20291604	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20290337	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20290334	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20290317	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20290314	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20290276	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20290076	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20290075	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#20289929	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#20285293	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	#16811658	C₂²	1	2	yes	—
13	#16811657	C₂²	1	2	yes	—
14	#16811654	—	2	2	no	—
15	#16811653	—	2	2	no	—
16	#16811651	C₂²	1	2	yes	—
17	D₄×#88324	C₂²	1	2	yes	—
18	#16811645	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#16811645	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#16811641	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#16811641	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16811598	—	2	2	no	—
23	#16811596	—	2	2	no	—
24	#16811486	C₂²	1	2	yes	—
25	#16811484	C₂²	1	2	yes	—
26	#16811471	C₂²	1	2	yes	—
27	#16811471	C₂²	1	2	yes	—
28	D₄⋊#88324	C₂²	1	2	yes	—
29	D₄⋊#88324	C₂²	1	2	yes	—
30	#88324⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#88324⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#88324⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#88324⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#16811174	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#16811171	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#16811026	C₄	1	1	yes	characteristic
37	#16810999	C₄	1	1	yes	characteristic
38	#16810970	C₄	1	1	yes	characteristic
39	#16810858	C₄	1	2	yes	—
40	#16810858	C₄	1	2	yes	—
41	#16810703	C₂²	1	2	yes	—
42	#16810703	C₂²	1	2	yes	—
43	C₄×C₈×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₅₃×#486	C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#11719936	—	2	2	no	—
46	C₂×#11719940	—	2	2	no	—
47	C₂×D₅₃⋊C₈	—	2	2	no	—
48	C₂²×#88324	—	2	2	no	—
49	#13133284	—	2	1	no	—
50	#13133284	D₄	1	2	yes	—
51	C₄⋊#88324	C₂³	1	2	yes	—
52	C₄⋊#88324	C₂³	1	2	yes	—
53	#13133274	—	2	1	no	—
54	#13133274	—	2	1	no	—
55	#13133274	—	2	1	no	—
56	#13133274	—	2	2	no	—
57	#13133274	—	2	2	no	—
58	#13133274	D₄	1	2	yes	—
59	C₂²⋊#88324	—	2	2	no	—
60	C₂²⋊#88324	—	2	2	no	—
61	#13133272	—	2	1	no	—
62	#13133272	—	2	1	no	—
63	C₄×#88324	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₄×#88324	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₄×#88324	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₄×#88324	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#11719949	—	2	1	no	—
68	C₂×#11719947	—	2	1	no	—
69	C₂×#11719922	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×#11719922	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₈×D₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₈×D₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	#13133217	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	#13133214	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	#13133206	—	2	1	no	—
76	#13133204	—	2	1	no	—
77	#13133192	—	2	1	no	—
78	#13133192	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#13133188	—	2	1	no	—
80	#13133188	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	D₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
82	D₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
83	#13133179	—	2	1	no	—
84	#13133179	C₂³	1	2	yes	—
85	C₄²×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#13133150	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#13133150	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#13133139	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	#13133139	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	C₄×#88322	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₈×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₈×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	#127×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
95	#102×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	#102×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
99	C₂×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
100	C₂×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
101	C₂×D₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
103	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
104	#11719949	—	8	2	no	—
105	#11719947	—	8	2	no	—
106	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
107	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
108	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
109	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₄×D₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
114	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
115	#11719940	—	8	2	no	—
116	C₂×#88324	—	2	2	no	—
117	C₂×#88324	—	2	2	no	—
118	C₂×#88324	—	2	1	no	—
119	C₂×#88324	—	2	1	no	—
120	C₂×#88324	—	8	2	no	—
121	C₂×#88324	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂×#88324	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	#11719936	—	8	2	no	—
124	D₅₃⋊C₈	—	8	2	no	—
125	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
128	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
132	#11719922	—	4	2	no	—
133	#11719922	—	4	2	no	—
134	#11719921	—	2	2	no	—
135	#11719921	—	2	2	no	—
136	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
137	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₄×Dic₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
140	C₄×Dic₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₈×D₅₃	—	4	1	no	—
144	C₈×D₅₃	—	4	1	no	—
145	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
146	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
147	C₂²×D₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
148	Q₈×C₅₃	—	8	1	no	—
149	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
150	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
151	D₄×C₅₃	—	8	1	no	—
152	D₄×C₅₃	—	8	1	no	—
153	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²⋊D₅₃	—	8	2	no	—
158	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
159	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
160	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
161	C₂×Dic₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×Dic₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×Dic₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
164	D₂₁₂	—	2	2	no	—
165	D₂₁₂	—	2	2	no	—
166	D₂₁₂	—	8	1	no	—
167	D₂₁₂	—	8	1	no	—
168	D₂₁₂	—	8	2	no	—
169	C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
170	C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
171	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
172	C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
173	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
174	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
175	Dic₁₀₆	—	8	1	no	—
176	#88324	—	2	2	no	—
177	#88324	—	2	2	no	—
178	#88324	—	4	1	no	—
179	#88324	—	4	1	no	—
180	#88324	—	4	2	no	—
181	#88324	—	4	2	no	—
182	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
183	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
184	#88322	—	2	1	no	—
185	#88322	—	2	1	no	—
186	#17989	—	53	1	no	maximal, Sylow
187	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
188	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
189	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
190	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×D₅₃	—	2	1	no	—
192	C₂×D₅₃	—	2	1	no	—
193	C₂×D₅₃	—	2	1	no	—
194	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
195	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
196	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
197	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
198	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
199	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
200	C₄×C₅₃	#568	1	1	yes	characteristic
201	C₄×C₅₃	#568	1	1	yes	characteristic
202	Dic₅₃	—	2	1	no	—
203	Dic₅₃	—	2	1	no	—
204	Dic₅₃	—	4	2	no	—
205	Dic₅₃	#576	1	2	yes	—
206	#3169	—	53	1	no	—
207	#2981	—	53	1	no	—
208	#2981	—	53	1	no	—
209	#1586	—	53	2	no	—
210	#1586	—	53	2	no	—
211	#1581	—	53	2	no	—
212	#1581	—	53	2	no	—
213	#1568	—	53	1	no	—
214	#1496	—	53	1	no	—
215	#1496	—	53	1	no	—
216	#1452	—	53	1	no	—
217	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
218	C₂×C₅₃	#2932	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₅₃	#2948	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₅₃	#2957	1	1	yes	characteristic
221	D₅₃	—	4	1	no	—
222	D₅₃	—	8	2	no	—
223	#532	—	53	1	no	—
224	#532	—	53	1	no	—
225	#500	—	53	1	no	—
226	#493	—	53	1	no	—
227	#486	—	53	1	no	—
228	#486	#6157	1	1	yes	characteristic
229	#466	—	53	2	no	—
230	#466	—	53	2	no	—
231	C₄×D₈	—	53	2	no	—
232	C₄×D₈	—	53	2	no	—
233	#436	—	53	2	no	—
234	#436	—	53	2	no	—
235	#435	—	106	2	no	—
236	#435	—	106	2	no	—
237	C₈×D₄	—	53	2	no	—
238	C₈×D₄	—	53	2	no	—
239	#432	—	53	1	no	—
240	#432	—	53	1	no	—
241	#431	—	53	1	no	—
242	#431	—	53	1	no	—
243	#408	—	106	2	no	—
244	#408	—	106	2	no	—
245	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
246	#335	—	53	2	no	—
247	#334	—	53	2	no	—
248	D₄⋊C₈	—	53	2	no	—
249	D₄⋊C₈	—	53	2	no	—
250	D₄⋊C₈	—	53	2	no	—
251	D₄⋊C₈	—	53	2	no	—
252	#322	—	53	1	no	—
253	#322	—	53	1	no	—
254	#322	—	53	1	no	—
255	#322	—	53	1	no	—
256	C₅₃	#17989	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
257	C₂×#41	—	106	1	no	—
258	C₂×#41	—	106	1	no	—
259	C₂×D₈	—	53	2	no	—
260	C₂×D₈	—	53	2	no	—
261	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
262	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
263	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
264	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
265	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
266	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
267	C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
268	C₄⋊Q₈	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
269	#127	—	53	1	no	—
270	#127	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
271	#124	—	106	1	no	—
272	#124	—	106	1	no	—
273	#121	—	53	2	no	—
274	#121	—	53	2	no	—
275	#121	—	106	1	no	—
276	#121	—	106	1	no	—
277	C₄×D₄	—	53	2	no	—
278	C₄×D₄	—	53	2	no	—
279	C₄×D₄	—	106	1	no	—
280	C₄×D₄	—	106	1	no	—
281	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
282	#107	—	53	2	no	—
283	#107	—	53	2	no	—
284	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
285	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
286	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
287	C₄⋊C₈	—	106	1	no	—
288	#102	—	53	2	no	—
289	#102	—	53	2	no	—
290	#102	C₂×#6157	1	2	yes	—
291	#102	C₂×#6157	1	2	yes	—
292	C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
293	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
294	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
295	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
296	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
297	C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
298	C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
299	C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
300	#97	—	106	1	no	—
301	#97	—	106	1	no	—
302	C₄×C₈	—	53	1	no	—
303	C₄×C₈	—	53	1	no	—
304	C₄×C₈	—	53	1	no	—
305	C₄×C₈	—	53	1	no	—
306	C₄×C₈	—	53	1	no	—
307	C₄×C₈	—	53	1	no	—
308	C₄×C₈	—	53	1	no	—
309	C₄×C₈	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
310	#41	—	424	2	no	—
311	#41	—	424	2	no	—
312	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
313	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
314	C₂×D₄	—	2	1	no	—
315	C₂×D₄	—	2	1	no	—
316	C₂×D₄	—	53	2	no	—
317	C₂×D₄	—	106	2	no	—
318	C₂×D₄	—	106	2	no	—
319	C₂×D₄	—	106	1	no	—
320	C₂×D₄	—	106	1	no	—
321	C₂×D₄	C₂²×#6157	1	2	yes	—
322	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
323	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
324	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
325	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
326	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
327	D₈	—	212	2	no	—
328	D₈	—	212	2	no	—
329	M₁₆	—	424	2	no	—
330	M₁₆	—	424	2	no	—
331	C₂×C₈	—	53	2	no	—
332	C₂×C₈	—	53	2	no	—
333	C₂×C₈	—	53	1	no	—
334	C₂×C₈	—	53	1	no	—
335	C₂×C₈	—	106	1	no	—
336	C₂×C₈	—	106	1	no	—
337	C₂×C₈	—	106	2	no	—
338	C₂×C₈	—	106	2	no	—
339	C₂×C₈	—	424	2	no	—
340	C₂×C₈	—	424	2	no	—
341	C₂×C₈	—	212	1	no	—
342	C₂×C₈	—	212	1	no	—
343	C₂×C₈	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₈	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
345	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
346	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
347	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
348	C₄⋊C₄	C₂²×#6157	1	2	yes	—
349	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
350	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
351	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
352	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
353	C₄²	—	53	1	no	—
354	C₄²	—	53	1	no	—
355	C₄²	—	53	1	no	—
356	C₄²	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
357	C₂³	—	2	2	no	—
358	C₂³	—	53	1	no	—
359	C₂³	—	106	2	no	—
360	Q₈	—	8	1	no	—
361	Q₈	—	424	1	no	—
362	D₄	—	2	2	no	—
363	D₄	—	2	2	no	—
364	D₄	—	8	1	no	—
365	D₄	—	8	1	no	—
366	D₄	—	106	2	no	—
367	D₄	—	106	2	no	—
368	D₄	—	424	1	no	—
369	D₄	—	424	1	no	—
370	D₄	—	424	2	no	—
371	D₄	—	424	2	no	—
372	C₂×C₄	—	2	2	no	—
373	C₂×C₄	—	53	1	no	—
374	C₂×C₄	—	53	1	no	—
375	C₂×C₄	—	53	1	no	—
376	C₂×C₄	—	106	2	no	—
377	C₂×C₄	—	106	1	no	—
378	C₂×C₄	—	106	1	no	—
379	C₂×C₄	—	106	2	no	—
380	C₂×C₄	—	212	1	no	—
381	C₂×C₄	—	212	2	no	—
382	C₂×C₄	—	212	2	no	—
383	C₂×C₄	—	212	2	no	—
384	C₂×C₄	—	212	2	no	—
385	C₂×C₄	D₄×#6157	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	D₄×#6157	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	C₂³×#6157	1	1	yes	characteristic
388	C₈	—	2	1	no	—
389	C₈	—	2	1	no	—
390	C₈	—	106	2	no	—
391	C₈	—	106	2	no	—
392	C₈	—	106	1	no	—
393	C₈	—	106	1	no	—
394	C₈	—	212	2	no	—
395	C₈	—	212	2	no	—
396	C₈	—	212	1	no	—
397	C₈	—	212	1	no	—
398	C₂²	—	4	2	no	—
399	C₂²	—	4	2	no	—
400	C₂²	—	4	2	no	—
401	C₂²	—	106	1	no	—
402	C₂²	—	106	1	no	—
403	C₂²	—	106	1	no	—
404	C₂²	—	212	2	no	—
405	C₂²	—	212	2	no	—
406	C₂²	—	212	2	no	—
407	C₂²	C₂×D₄×#6157	1	1	yes	characteristic
408	C₄	—	2	1	no	—
409	C₄	—	2	1	no	—
410	C₄	—	4	2	no	—
411	C₄	—	53	2	no	—
412	C₄	—	106	1	no	—
413	C₄	—	106	1	no	—
414	C₄	—	212	2	no	—
415	C₄	#16811702	1	1	yes	characteristic
416	C₄	#16811702	1	1	yes	characteristic
417	C₂	—	8	2	no	—
418	C₂	—	424	2	no	—
419	C₂	—	212	1	no	—
420	C₂	#20291441	1	1	yes	characteristic
421	C₂	#20291474	1	1	yes	characteristic
422	C₂	#20291493	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×D₄×#6157
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂×C₄	C₂³×#6157
Fitting	C₅₃×#486	C₄
socle	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄
prime radical	#20285293	C₂
cosocle	C₄×Dic₅₃	C₂⁴
hypercenter	#486	#6157
hypocenter	C₅₃	#17989
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄² ◁ #486

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20291607	C₂	semidirect
2. #20291604	C₂	semidirect
3. #20290337	C₂	semidirect
4. #20290334	C₂	semidirect
5. #20290317	C₂	semidirect
6. #20290314	C₂	semidirect
7. #20290276	C₂	semidirect
8. #20290076	C₂	semidirect
9. #20290075	C₂	semidirect
10. #20289929	C₂	semidirect
256. C₅₃	#17989	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20291607	2
#20291604	2
#20290337	2
#20290334	2
#20290317	2
#20290314	2
#20290276	2
#20290076	2
#20290075	2
#20289929	2
#20285293	2
#17989	53