Subgroups — #28317495

Order 13568.

656 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 340 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20291553	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20290354	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20290318	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	D₈×#88324	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20290276	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20290047	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₈×#11719936	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₄×#13133236	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#16811673	C₂²	1	4	yes	—
10	#16811652	—	2	4	no	—
11	D₄×#88324	C₂²	1	4	yes	—
12	#16811645	C₂²	1	2	yes	—
13	#16811644	—	2	2	no	—
14	#16811642	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₄×#11719936	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#13133272	—	2	2	no	—
17	#16811486	C₂²	1	2	yes	—
18	#16811484	C₂²	1	2	yes	—
19	#16811473	C₂²	1	4	yes	—
20	D₄⋊#88324	C₂²	1	4	yes	—
21	#88324⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₈×#88324	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#13133236	C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₄×#11719947	C₂²	1	2	yes	—
25	C₄×Dic₂₁₂	C₄	1	1	yes	characteristic
26	#16810717	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#16810714	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄×#11719923	C₄	1	2	yes	—
29	D₈×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16810660	C₄	1	1	yes	characteristic
31	#16810616	C₄	1	2	yes	—
32	C₄×C₈×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄×D₈×C₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#11719936	D₄	1	2	yes	—
35	C₂²×#88324	—	2	4	no	—
36	C₄⋊#88324	—	2	1	no	—
37	C₄⋊#88324	—	2	4	no	—
38	C₄⋊#88324	C₂³	1	4	yes	—
39	#13133274	—	2	2	no	—
40	#13133274	—	2	1	no	—
41	C₂²⋊#88324	—	2	4	no	—
42	#13133272	—	2	2	no	—
43	#13133272	—	2	4	no	—
44	#13133272	D₄	1	1	yes	characteristic
45	#13133272	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₄×#88324	C₂³	1	2	yes	—
47	C₄×#88324	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×#11719947	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	#13133236	—	2	4	no	—
50	C₂×Dic₂₁₂	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#11719923	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₈×D₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₈×D₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₄×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	#13133182	C₂³	1	2	yes	—
56	D₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
57	C₄×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
58	#13133177	—	2	2	no	—
59	#13133175	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	#13133173	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
62	C₄²×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#13133151	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	#13133148	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#13133142	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	#13133140	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	#13133138	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₄×#88322	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₈×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₈×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×D₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₄×D₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#107×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	#102×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×D₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
81	#11719947	—	2	4	no	—
82	#11719947	—	4	2	no	—
83	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×D₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
86	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	C₂×#88324	—	2	4	no	—
88	C₂×#88324	—	2	2	no	—
89	C₂×#88324	—	4	8	no	—
90	C₂×#88324	C₂×D₄	1	2	yes	—
91	C₂×#88324	C₂×D₄	1	2	yes	—
92	#11719936	—	2	4	no	—
93	D₈×C₅₃	M₁₆	1	4	yes	complemented
94	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
100	#11719923	—	2	4	no	—
101	#11719921	—	2	2	no	—
102	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	#11719919	—	2	2	no	—
104	#11719919	—	2	2	no	—
105	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
106	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
107	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
108	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₄×Dic₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
110	C₄×Dic₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
113	Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
114	C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
115	C₈×D₅₃	—	4	1	no	—
116	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
118	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
119	D₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
126	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
129	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
130	C₂×Dic₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×Dic₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×Dic₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
133	C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
134	C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
135	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
136	C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
137	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
138	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
139	#88324	—	2	2	no	—
140	#88324	—	4	2	no	—
141	#88324	—	4	4	no	—
142	#88324	#135	1	4	yes	complemented
143	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
144	C₈×C₅₃	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
145	#88322	—	2	1	no	—
146	#88322	—	2	1	no	—
147	#18035	—	53	1	no	maximal, Sylow
148	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
150	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
151	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×D₅₃	—	2	1	no	—
153	C₂×D₅₃	—	2	1	no	—
154	C₂×D₅₃	—	2	1	no	—
155	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
156	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
157	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
158	C₄×C₅₃	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
159	C₄×C₅₃	#568	1	1	yes	characteristic
160	Dic₅₃	—	2	1	no	—
161	Dic₅₃	—	2	1	no	—
162	Dic₅₃	—	4	2	no	—
163	Dic₅₃	—	4	2	no	—
164	Dic₅₃	C₂×#135	1	2	yes	—
165	#2970	—	53	2	no	—
166	C₄×#135	—	53	1	no	—
167	#1591	—	53	2	no	—
168	#1582	—	53	4	no	—
169	C₈×D₈	—	53	2	no	—
170	#1568	—	53	1	no	—
171	#1488	—	53	2	no	—
172	C₈×M₁₆	—	53	1	no	—
173	C₂×C₅₃	—	4	4	no	—
174	C₂×C₅₃	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₅₃	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₅₃	#2957	1	1	yes	characteristic
177	D₅₃	—	4	1	no	—
178	C₂×#135	—	53	1	no	—
179	C₄×#41	—	53	2	no	—
180	#446	—	53	4	no	—
181	C₄×Q₁₆	—	53	1	no	—
182	C₄×Q₁₆	—	53	1	no	—
183	C₄×SD₁₆	—	53	2	no	—
184	C₄×SD₁₆	—	53	2	no	—
185	C₄×D₈	—	53	1	no	—
186	C₄×D₈	#6157	1	1	yes	characteristic
187	#435	—	106	4	no	—
188	C₈×D₄	—	53	4	no	—
189	#432	—	53	2	no	—
190	#432	—	106	2	no	—
191	#431	—	53	1	no	—
192	#427	—	53	1	no	—
193	#416	—	53	2	no	—
194	C₄×M₁₆	—	53	1	no	—
195	C₂×#97	—	106	2	no	—
196	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
197	#335	—	53	2	no	—
198	#334	—	53	2	no	—
199	Q₈⋊C₈	—	53	4	no	—
200	D₄⋊C₈	—	53	4	no	—
201	#322	—	53	2	no	—
202	C₈²	—	53	2	no	—
203	C₅₃	#18035	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
204	C₂×#41	—	53	2	no	—
205	#135	—	106	4	no	—
206	C₂×Q₁₆	—	53	1	no	—
207	C₂×SD₁₆	—	53	2	no	—
208	C₂×D₈	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
209	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
210	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
211	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
212	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
213	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
214	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
215	C₄×D₄	—	53	2	no	—
216	C₄×D₄	—	106	2	no	—
217	C₄×D₄	—	106	2	no	—
218	C₄×D₄	C₂×#6157	1	2	yes	—
219	#117	—	53	2	no	—
220	#117	—	106	2	no	—
221	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
222	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
223	#107	—	53	1	no	—
224	#107	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
225	#106	—	53	2	no	—
226	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
227	C₄⋊C₈	—	106	1	no	—
228	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
229	#103	—	53	2	no	—
230	#103	—	53	2	no	—
231	#102	—	53	2	no	—
232	#102	C₂×#6157	1	2	yes	—
233	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
234	C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
235	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
236	#97	—	53	1	no	—
237	#97	—	53	1	no	—
238	#97	—	106	2	no	—
239	#97	—	106	4	no	—
240	C₄×C₈	—	53	2	no	—
241	C₄×C₈	—	53	1	no	—
242	C₄×C₈	—	53	1	no	—
243	C₄×C₈	—	53	2	no	—
244	C₄×C₈	—	53	1	no	—
245	C₄×C₈	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
246	#41	—	106	4	no	—
247	#41	—	212	2	no	—
248	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
249	C₂×D₄	—	106	2	no	—
250	C₂×D₄	C₂²×#6157	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
253	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
254	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
257	Q₁₆	—	106	2	no	—
258	SD₁₆	—	106	4	no	—
259	D₈	#11719936	1	4	yes	complemented
260	M₁₆	—	106	4	no	—
261	C₂×C₈	—	53	2	no	—
262	C₂×C₈	—	53	2	no	—
263	C₂×C₈	—	53	1	no	—
264	C₂×C₈	—	53	1	no	—
265	C₂×C₈	—	106	2	no	—
266	C₂×C₈	—	106	2	no	—
267	C₂×C₈	—	106	4	no	—
268	C₂×C₈	—	212	1	no	—
269	C₂×C₈	—	212	8	no	—
270	C₂×C₈	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₈	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
272	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
275	C₄⋊C₄	C₂²×#6157	1	2	yes	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
279	C₄²	—	53	1	no	—
280	C₄²	—	53	1	no	—
281	C₄²	—	53	1	no	—
282	C₄²	—	106	2	no	—
283	C₄²	—	106	2	no	—
284	C₄²	—	106	2	no	—
285	C₄²	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	53	1	no	—
288	Q₈	—	106	2	no	—
289	Q₈	—	106	2	no	—
290	D₄	—	2	2	no	—
291	D₄	—	212	4	no	—
292	D₄	C₂×#11719936	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	8	2	no	—
295	C₂×C₄	—	53	1	no	—
296	C₂×C₄	—	53	1	no	—
297	C₂×C₄	—	53	1	no	—
298	C₂×C₄	—	106	2	no	—
299	C₂×C₄	—	106	1	no	—
300	C₂×C₄	—	106	1	no	—
301	C₂×C₄	—	106	2	no	—
302	C₂×C₄	—	106	2	no	—
303	C₂×C₄	—	212	1	no	—
304	C₂×C₄	—	212	4	no	—
305	C₂×C₄	—	212	4	no	—
306	C₂×C₄	D₄×#6157	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	D₄×#6157	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂³×#6157	1	1	yes	characteristic
309	C₈	—	2	1	no	—
310	C₈	—	53	4	no	—
311	C₈	—	106	2	no	—
312	C₈	—	106	1	no	—
313	C₈	—	106	1	no	—
314	C₈	—	212	4	no	—
315	C₈	—	212	2	no	—
316	C₈	C₂×#11719936	1	2	yes	—
317	C₂²	—	2	4	no	—
318	C₂²	—	4	2	no	—
319	C₂²	—	4	2	no	—
320	C₂²	—	106	1	no	—
321	C₂²	—	106	1	no	—
322	C₂²	—	106	1	no	—
323	C₂²	C₂×D₄×#6157	1	1	yes	characteristic
324	C₄	—	2	1	no	—
325	C₄	—	2	1	no	—
326	C₄	—	4	2	no	—
327	C₄	—	53	2	no	—
328	C₄	—	106	1	no	—
329	C₄	—	106	1	no	—
330	C₄	—	212	2	no	—
331	C₄	—	212	2	no	—
332	C₄	C₂²×#11719936	1	1	yes	characteristic
333	C₄	#16811702	1	1	yes	characteristic
334	C₂	—	4	4	no	—
335	C₂	—	212	1	no	—
336	C₂	D₄×#11719936	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#135×#6157	1	1	yes	characteristic
338	C₂	#20291491	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×D₄×#6157
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂×C₄	C₂³×#6157
Fitting	C₄×D₈×C₅₃	C₄
socle	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#13133236	C₄
cosocle	C₄×Dic₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₄×D₈	#6157
hypocenter	C₅₃	#18035
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄² ◁ C₄×D₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20291553	C₂	semidirect
2. #20290354	C₂	semidirect
3. #20290318	C₂	semidirect
4. D₈×#88324	C₂	semidirect
5. #20290276	C₂	semidirect
6. #20290047	C₂	semidirect
7. C₈×#11719936	C₂	semidirect
93. D₈×C₅₃	M₁₆	semidirect
142. #88324	#135	semidirect
203. C₅₃	#18035	semidirect
259. D₈	#11719936	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20291553	2
#20290354	2
#20290318	2
D₈×#88324	2
#20290276	2
#20290047	2
C₈×#11719936	2
C₄×#13133236	2
#18035	53