Subgroups — #28317544

Order 13568.

630 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 326 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	Q₈×#11719940	C₂	1	2	yes	maximal
2	#20290362	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20290340	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20290308	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20290269	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20290043	C₂	1	2	yes	maximal
7	#20289924	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×Q₁₆×Dic₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#16811674	—	2	4	no	—
10	#16811674	C₂²	1	4	yes	—
11	Q₈×#88324	C₂²	1	4	yes	—
12	#16811640	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#16811626	—	2	2	no	—
14	#16811626	C₂²	1	2	yes	—
15	C₄×#11719940	—	2	2	no	—
16	C₄×#11719940	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#16811485	C₂²	1	2	yes	—
18	#16811484	C₂²	1	2	yes	—
19	Q₈⋊#88324	C₂²	1	4	yes	—
20	Q₈⋊#88324	C₂²	1	4	yes	—
21	#88324⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	#16811464	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×Q₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
24	Q₁₆×Dic₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
25	Q₁₆×Dic₅₃	C₄	1	2	yes	—
26	Q₁₆×Dic₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
27	Q₁₆×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	Q₁₆×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	Q₁₆×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#13133151	C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#13133141	C₄	1	2	yes	—
32	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×Q₁₆×C₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#11719940	—	2	2	no	—
35	C₂×#11719940	D₄	1	2	yes	—
36	#13133284	—	2	2	no	—
37	#13133284	—	2	1	no	—
38	#13133284	—	2	4	no	—
39	C₄⋊#88324	—	2	4	no	—
40	C₄⋊#88324	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂²⋊#88324	—	2	1	no	—
42	#13133272	—	2	4	no	—
43	#13133272	D₄	1	2	yes	—
44	C₄×#88324	—	2	4	no	—
45	C₄×#88324	C₂³	1	2	yes	—
46	C₄×#88324	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×#88322	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	Q₈×Dic₅₃	—	2	2	no	—
49	Q₈×Dic₅₃	—	2	2	no	—
50	Q₈×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	Q₈×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	Q₈×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
53	Q₈×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#13133151	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	#13133151	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	#13133151	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	#13133141	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	#13133141	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	#13133141	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	#13133141	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₈×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₈×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₈×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₈×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×Q₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
71	C₂×Q₁₆×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×Q₁₆×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×Q₁₆×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
78	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×Dic₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
85	#11719940	—	2	4	no	—
86	#11719940	—	4	4	no	—
87	C₂×#88324	—	2	4	no	—
88	C₂×#88324	—	2	2	no	—
89	C₂×#88324	C₂×D₄	1	4	yes	—
90	Q₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
91	Q₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
92	Q₁₆×C₅₃	M₁₆	1	4	yes	complemented
93	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
97	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
98	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
99	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
100	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
101	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
104	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
105	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
106	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
107	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₄×Dic₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
110	C₄×Dic₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	C₂×#88322	—	4	1	no	—
112	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
115	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
116	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
117	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
118	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
119	Q₈×C₅₃	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
130	C₂×Dic₅₃	—	8	2	no	—
131	C₂×Dic₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×Dic₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×Dic₅₃	#137	1	4	yes	—
134	C₂×Dic₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×Dic₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
136	#88324	—	2	4	no	—
137	#88324	—	4	2	no	—
138	#88324	—	4	4	no	—
139	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
140	C₈×C₅₃	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
141	#88322	—	2	1	no	—
142	#88322	—	2	1	no	—
143	#18042	—	53	1	no	maximal, Sylow
144	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
145	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
146	C₂²×C₅₃	#441	1	2	yes	—
147	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
149	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
150	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
151	C₄×C₅₃	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
152	C₄×C₅₃	#568	1	1	yes	characteristic
153	Dic₅₃	—	2	1	no	—
154	Dic₅₃	—	2	1	no	—
155	Dic₅₃	—	4	2	no	—
156	Dic₅₃	—	4	2	no	—
157	Dic₅₃	#441	1	2	yes	—
158	Dic₅₃	C₂×#137	1	2	yes	—
159	Q₈×M₁₆	—	53	2	no	—
160	C₂×C₄×Q₁₆	—	53	1	no	—
161	#1593	—	53	2	no	—
162	#1587	—	53	4	no	—
163	#1579	—	53	2	no	—
164	#1566	—	53	1	no	—
165	#1487	—	53	2	no	—
166	#1451	—	53	1	no	—
167	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
168	C₂×C₅₃	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₅₃	C₂×#441	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₅₃	#2957	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×Q₁₆	#6157	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
173	#446	—	53	4	no	—
174	#446	—	106	4	no	—
175	C₈×Q₈	—	53	4	no	—
176	C₄×Q₁₆	—	53	1	no	—
177	C₄×Q₁₆	—	53	2	no	—
178	C₄×Q₁₆	—	53	1	no	—
179	C₄×Q₁₆	—	53	2	no	—
180	C₄×Q₁₆	—	53	1	no	—
181	C₄×Q₁₆	—	53	1	no	—
182	#431	—	53	1	no	—
183	C₂×#107	—	53	1	no	—
184	#423	—	53	2	no	—
185	#423	—	106	2	no	—
186	C₂×#103	—	53	2	no	—
187	C₄×M₁₆	—	53	1	no	—
188	C₄×M₁₆	—	106	2	no	—
189	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
190	#334	—	53	2	no	—
191	#334	—	53	2	no	—
192	Q₈⋊C₈	—	53	4	no	—
193	Q₈⋊C₈	—	53	4	no	—
194	#322	—	53	2	no	—
195	#322	—	53	2	no	—
196	C₅₃	#18042	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
197	C₂²×Q₈	C₂×#6157	1	2	yes	—
198	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
199	C₂×Q₁₆	C₂×#6157	1	2	yes	—
200	C₂×Q₁₆	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
201	C₂×Q₁₆	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
202	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
203	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
204	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
205	C₂²×C₈	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
206	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
207	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
208	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
209	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
210	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
211	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
214	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
215	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
216	#107	—	53	2	no	—
217	#107	—	53	1	no	—
218	#107	—	53	1	no	—
219	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
220	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
221	C₄⋊C₈	—	106	1	no	—
222	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
223	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
224	#103	—	53	2	no	—
225	#103	—	53	2	no	—
226	#103	—	53	2	no	—
227	#103	—	53	2	no	—
228	C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
229	#97	—	53	2	no	—
230	#97	—	106	4	no	—
231	C₄×C₈	—	53	2	no	—
232	C₄×C₈	—	53	1	no	—
233	C₄×C₈	—	53	1	no	—
234	C₄×C₈	—	53	1	no	—
235	C₄×C₈	—	53	1	no	—
236	C₄×C₈	—	53	2	no	—
237	C₄×C₈	—	106	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
241	C₂×Q₈	C₂²×#6157	1	2	yes	—
242	C₂×Q₈	C₂²×#6157	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
246	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
247	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
248	Q₁₆	—	2	4	no	—
249	Q₁₆	—	2	2	no	—
250	Q₁₆	#11719940	1	4	yes	complemented
251	M₁₆	—	106	4	no	—
252	M₁₆	—	212	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	53	4	no	—
255	C₂×C₈	—	53	1	no	—
256	C₂×C₈	—	53	1	no	—
257	C₂×C₈	—	106	2	no	—
258	C₂×C₈	—	106	4	no	—
259	C₂×C₈	—	212	1	no	—
260	C₂×C₈	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₈	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
262	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
269	C₄²	—	53	1	no	—
270	C₄²	—	53	1	no	—
271	C₄²	—	53	1	no	—
272	C₄²	—	53	1	no	—
273	C₄²	—	106	2	no	—
274	C₄²	—	106	2	no	—
275	C₄²	—	106	2	no	—
276	C₄²	—	106	2	no	—
277	C₂³	D₄×#6157	1	1	yes	characteristic
278	Q₈	—	2	2	no	—
279	Q₈	—	2	2	no	—
280	Q₈	—	2	2	no	—
281	Q₈	—	4	4	no	—
282	Q₈	C₂×#11719940	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂×C₄	—	53	4	no	—
289	C₂×C₄	—	53	1	no	—
290	C₂×C₄	—	53	1	no	—
291	C₂×C₄	—	53	1	no	—
292	C₂×C₄	—	53	1	no	—
293	C₂×C₄	—	106	2	no	—
294	C₂×C₄	—	106	2	no	—
295	C₂×C₄	—	424	2	no	—
296	C₂×C₄	—	212	1	no	—
297	C₂×C₄	D₄×#6157	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂³×#6157	1	1	yes	characteristic
299	C₈	—	2	1	no	—
300	C₈	—	106	4	no	—
301	C₈	—	106	1	no	—
302	C₈	—	106	1	no	—
303	C₈	—	212	4	no	—
304	C₈	—	212	2	no	—
305	C₈	C₂×#11719940	1	2	yes	—
306	C₂²	—	2	1	no	—
307	C₂²	—	2	1	no	—
308	C₂²	#16811663	1	2	yes	—
309	C₂²	C₂×D₄×#6157	1	1	yes	characteristic
310	C₄	—	2	1	no	—
311	C₄	—	2	4	no	—
312	C₄	—	4	2	no	—
313	C₄	—	53	2	no	—
314	C₄	—	53	2	no	—
315	C₄	—	106	1	no	—
316	C₄	—	106	1	no	—
317	C₄	—	212	2	no	—
318	C₄	—	212	2	no	—
319	C₄	C₂²×#11719940	1	1	yes	characteristic
320	C₄	#16811701	1	1	yes	characteristic
321	C₂	—	2	2	no	—
322	C₂	D₄×#11719940	1	1	yes	characteristic
323	C₂	C₂×#16811663	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#20291495	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×D₄×#6157
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂×C₄	C₂³×#6157
Fitting	C₂²×Q₁₆×C₅₃	C₄
socle	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂³×C₅₃	C₄×D₄
cosocle	C₄×Dic₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂²×Q₁₆	#6157
hypocenter	C₅₃	#18042
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×Q₁₆

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20290362	C₂	semidirect
3. #20290340	C₂	semidirect
4. #20290308	C₂	semidirect
92. Q₁₆×C₅₃	M₁₆	semidirect
196. C₅₃	#18042	semidirect
250. Q₁₆	#11719940	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
Q₈×#11719940	2
#20290362	2
#20290340	2
#20290308	2
#20290269	2
#20290043	2
#20289924	2
C₂×Q₁₆×Dic₅₃	2
#18042	53