Subgroups — #28317667

Order 13568.

656 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20291649	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20290347	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20290342	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	Q₁₆×#88324	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20290273	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20290053	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₈×#11719936	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₄×#13133240	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	Q₈×#88324	C₂²	1	4	yes	—
10	#16811657	—	2	4	no	—
11	#16811657	C₂²	1	4	yes	—
12	#16811642	—	2	2	no	—
13	#16811642	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#16811627	—	2	2	no	—
15	#16811627	C₂²	1	2	yes	—
16	C₄×#11719936	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#16811486	C₂²	1	2	yes	—
18	#16811486	C₂²	1	2	yes	—
19	Q₈⋊#88324	C₂²	1	4	yes	—
20	#16811471	C₂²	1	4	yes	—
21	#88324⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₈×#88324	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#13133240	C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₄×#11719949	C₂²	1	2	yes	—
25	Q₁₆×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×#11719924	C₄	1	2	yes	—
27	#16810708	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄×D₄₂₄	C₄	1	1	yes	characteristic
29	#16810705	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16810660	C₄	1	1	yes	characteristic
31	#16810618	C₄	1	2	yes	—
32	C₄×C₈×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄×Q₁₆×C₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#11719936	—	2	1	no	—
35	C₂×#11719936	—	2	2	no	—
36	C₂×#11719936	—	2	4	no	—
37	C₄⋊#88324	—	2	2	no	—
38	C₄⋊#88324	—	2	4	no	—
39	C₄⋊#88324	D₄	1	1	yes	characteristic
40	C₄⋊#88324	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₄⋊#88324	C₂³	1	4	yes	—
42	#13133274	—	2	4	no	—
43	#13133274	D₄	1	2	yes	—
44	#13133272	—	2	1	no	—
45	C₄×#88324	—	2	4	no	—
46	C₄×#88324	C₂³	1	2	yes	—
47	C₄×#88324	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×#11719949	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	#13133240	—	2	4	no	—
50	C₂×#11719924	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×D₄₂₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₈×D₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₈×D₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	Q₈×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
55	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
56	C₄×D₂₁₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	#13133179	—	2	2	no	—
58	#13133179	C₂³	1	2	yes	—
59	#13133175	—	2	2	no	—
60	#13133175	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₄²×D₅₃	—	2	2	no	—
62	C₄²×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#13133151	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	#13133148	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#13133141	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	#13133139	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	#13133137	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₄×#88322	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₈×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₈×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×Q₁₆×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₄×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#107×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	#103×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
77	#11719949	—	2	4	no	—
78	#11719949	—	4	2	no	—
79	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
80	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×D₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
87	C₂×#88324	—	2	2	no	—
88	C₂×#88324	—	2	4	no	—
89	C₂×#88324	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂×#88324	C₂×D₄	1	2	yes	—
91	#11719936	—	2	4	no	—
92	#11719936	—	8	4	no	—
93	#11719936	—	8	2	no	—
94	Q₁₆×C₅₃	M₁₆	1	4	yes	complemented
95	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
101	#11719924	—	2	4	no	—
102	#11719921	—	2	2	no	—
103	#11719921	—	2	2	no	—
104	#11719921	—	2	2	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
106	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
108	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
109	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₄×Dic₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
111	C₄×Dic₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
112	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
114	D₄₂₄	—	2	2	no	—
115	C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
116	C₈×D₅₃	—	4	1	no	—
117	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
119	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
120	Q₈×C₅₃	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂×Dic₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂×Dic₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂×Dic₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
130	D₂₁₂	—	2	2	no	—
131	D₂₁₂	—	2	2	no	—
132	D₂₁₂	—	4	4	no	—
133	C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
134	C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
135	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
136	C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
137	C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
138	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
139	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
140	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
141	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
142	#88324	—	2	4	no	—
143	#88324	—	2	2	no	—
144	#88324	—	2	2	no	—
145	#88324	—	4	4	no	—
146	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
147	C₈×C₅₃	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
148	#88322	—	2	1	no	—
149	#88322	—	2	1	no	—
150	#18059	—	53	1	no	maximal, Sylow
151	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×D₅₃	—	2	1	no	—
153	C₂×D₅₃	—	2	1	no	—
154	C₂×D₅₃	—	2	1	no	—
155	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
156	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
157	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
158	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
159	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
160	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
161	C₄×C₅₃	#443	1	2	yes	—
162	C₄×C₅₃	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
163	C₄×C₅₃	#568	1	1	yes	characteristic
164	Dic₅₃	—	2	1	no	—
165	Dic₅₃	—	2	1	no	—
166	Dic₅₃	—	4	2	no	—
167	Dic₅₃	#576	1	1	yes	characteristic
168	Dic₅₃	#578	1	1	yes	characteristic
169	#2991	—	53	2	no	—
170	C₄×#135	—	53	1	no	—
171	#1589	—	53	2	no	—
172	#1588	—	53	4	no	—
173	C₈×Q₁₆	—	53	2	no	—
174	#1567	—	53	1	no	—
175	#1489	—	53	2	no	—
176	C₈×M₁₆	—	53	1	no	—
177	C₂×C₅₃	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₅₃	#2951	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₅₃	C₂×#443	1	1	yes	characteristic
180	D₅₃	—	4	1	no	—
181	D₅₃	—	8	2	no	—
182	C₂×#135	—	53	1	no	—
183	C₄×#41	—	53	2	no	—
184	C₈×Q₈	—	53	4	no	—
185	C₄×Q₁₆	—	53	1	no	—
186	C₄×Q₁₆	#6157	1	1	yes	characteristic
187	C₄×SD₁₆	—	53	2	no	—
188	C₄×SD₁₆	—	53	2	no	—
189	C₄×D₈	—	53	1	no	—
190	C₄×D₈	—	53	1	no	—
191	#436	—	53	4	no	—
192	#436	—	106	4	no	—
193	#431	—	53	1	no	—
194	#431	—	106	2	no	—
195	#427	—	53	1	no	—
196	#423	—	53	2	no	—
197	#423	—	106	2	no	—
198	#416	—	53	2	no	—
199	C₄×M₁₆	—	53	1	no	—
200	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
201	#335	—	53	2	no	—
202	#335	—	53	2	no	—
203	Q₈⋊C₈	—	53	4	no	—
204	D₄⋊C₈	—	53	4	no	—
205	#322	—	53	2	no	—
206	C₈²	—	53	2	no	—
207	C₅₃	#18059	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
208	C₂×#41	—	53	2	no	—
209	#135	—	106	4	no	—
210	C₂×Q₁₆	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
211	C₂×SD₁₆	—	53	2	no	—
212	C₂×D₈	—	53	1	no	—
213	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
214	C₂×M₁₆	—	106	1	no	—
215	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
216	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
217	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
218	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
219	C₄×Q₈	C₂×#6157	1	2	yes	—
220	C₄×D₄	—	53	2	no	—
221	C₄×D₄	—	53	2	no	—
222	C₄×D₄	—	106	2	no	—
223	C₄×D₄	—	106	2	no	—
224	#117	—	53	2	no	—
225	#117	—	106	2	no	—
226	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
227	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
228	#107	—	53	1	no	—
229	#107	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
230	#106	—	53	2	no	—
231	C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
232	C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
233	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
234	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
235	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
236	#103	—	53	2	no	—
237	#103	C₂×#6157	1	2	yes	—
238	#102	—	53	2	no	—
239	#102	—	53	2	no	—
240	C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
241	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
242	#97	—	106	1	no	—
243	C₄×C₈	—	53	2	no	—
244	C₄×C₈	—	53	1	no	—
245	C₄×C₈	—	53	1	no	—
246	C₄×C₈	—	53	2	no	—
247	C₄×C₈	—	53	1	no	—
248	C₄×C₈	—	106	4	no	—
249	C₄×C₈	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
250	#41	—	106	4	no	—
251	#41	—	212	2	no	—
252	C₂×Q₈	C₂²×#6157	1	2	yes	—
253	C₂×D₄	—	53	2	no	—
254	C₂×D₄	—	106	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
256	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
257	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
258	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
261	Q₁₆	#11719936	1	4	yes	complemented
262	SD₁₆	—	106	4	no	—
263	D₈	—	106	2	no	—
264	M₁₆	—	106	4	no	—
265	M₁₆	—	424	4	no	—
266	M₁₆	—	424	2	no	—
267	C₂×C₈	—	53	2	no	—
268	C₂×C₈	—	53	2	no	—
269	C₂×C₈	—	53	1	no	—
270	C₂×C₈	—	53	1	no	—
271	C₂×C₈	—	106	2	no	—
272	C₂×C₈	—	106	2	no	—
273	C₂×C₈	—	106	4	no	—
274	C₂×C₈	—	212	1	no	—
275	C₂×C₈	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₈	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
277	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
280	C₄⋊C₄	C₂²×#6157	1	2	yes	—
281	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
284	C₄²	—	2	2	no	—
285	C₄²	—	53	1	no	—
286	C₄²	—	53	1	no	—
287	C₄²	—	53	1	no	—
288	C₄²	—	106	2	no	—
289	C₄²	—	106	2	no	—
290	C₄²	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	—	53	1	no	—
292	C₂³	—	106	2	no	—
293	Q₈	—	2	2	no	—
294	Q₈	C₂×#11719936	1	4	yes	—
295	D₄	—	106	2	no	—
296	D₄	—	106	2	no	—
297	D₄	—	212	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	53	1	no	—
301	C₂×C₄	—	53	1	no	—
302	C₂×C₄	—	53	1	no	—
303	C₂×C₄	—	106	1	no	—
304	C₂×C₄	—	106	1	no	—
305	C₂×C₄	—	106	2	no	—
306	C₂×C₄	—	106	1	no	—
307	C₂×C₄	—	106	1	no	—
308	C₂×C₄	—	106	2	no	—
309	C₂×C₄	—	212	4	no	—
310	C₂×C₄	—	212	2	no	—
311	C₂×C₄	—	212	2	no	—
312	C₂×C₄	—	212	4	no	—
313	C₂×C₄	D₄×#6157	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	D₄×#6157	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂³×#6157	1	1	yes	characteristic
316	C₈	—	2	1	no	—
317	C₈	—	106	2	no	—
318	C₈	—	106	2	no	—
319	C₈	—	106	4	no	—
320	C₈	—	106	1	no	—
321	C₈	—	106	1	no	—
322	C₈	—	212	4	no	—
323	C₈	C₂×#11719936	1	2	yes	—
324	C₂²	—	106	1	no	—
325	C₂²	—	106	1	no	—
326	C₂²	—	106	1	no	—
327	C₂²	—	212	2	no	—
328	C₂²	—	212	2	no	—
329	C₂²	—	212	2	no	—
330	C₂²	C₂×D₄×#6157	1	1	yes	characteristic
331	C₄	—	2	4	no	—
332	C₄	—	2	1	no	—
333	C₄	—	4	2	no	—
334	C₄	—	53	1	no	—
335	C₄	—	53	1	no	—
336	C₄	—	106	1	no	—
337	C₄	—	106	1	no	—
338	C₄	—	212	2	no	—
339	C₄	#16811667	1	2	yes	—
340	C₄	C₂²×#11719936	1	1	yes	characteristic
341	C₄	#16811702	1	1	yes	characteristic
342	C₂	—	424	2	no	—
343	C₂	—	212	1	no	—
344	C₂	D₄×#11719936	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#20291477	1	1	yes	characteristic
346	C₂	C₂×#16811667	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×D₄×#6157
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂×C₄	C₂³×#6157
Fitting	C₄×Q₁₆×C₅₃	C₄
socle	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#13133240	C₄
cosocle	C₄×Dic₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₄×Q₁₆	#6157
hypocenter	C₅₃	#18059
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄² ◁ C₄×Q₁₆

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20291649	C₂	semidirect
2. #20290347	C₂	semidirect
3. #20290342	C₂	semidirect
4. Q₁₆×#88324	C₂	semidirect
5. #20290273	C₂	semidirect
6. #20290053	C₂	semidirect
7. C₈×#11719936	C₂	semidirect
94. Q₁₆×C₅₃	M₁₆	semidirect
207. C₅₃	#18059	semidirect
261. Q₁₆	#11719936	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20291649	2
#20290347	2
#20290342	2
Q₁₆×#88324	2
#20290273	2
#20290053	2
C₈×#11719936	2
C₄×#13133240	2
#18059	53