Subgroups — #28317712

Order 13568.

722 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 424 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20291457	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20290348	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20290347	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20290317	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20290314	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20290296	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	D₈×#88324	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#16811486	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20290020	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₈×#11719940	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#20285289	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#13133304	—	2	2	no	—
13	#16811658	C₂²	1	2	yes	—
14	#16811657	C₂²	1	2	yes	—
15	#16811655	—	2	2	no	—
16	#16811652	—	2	2	no	—
17	#16811651	C₂²	1	2	yes	—
18	D₄×#88324	C₂²	1	2	yes	—
19	#16811640	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄⋊#88324	C₂²	1	2	yes	—
21	#16811596	—	2	2	no	—
22	C₄×#11719940	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#16811486	C₂²	1	2	yes	—
24	#16811486	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#16811486	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#16811471	C₂²	1	2	yes	—
27	#16811471	C₂²	1	2	yes	—
28	D₄⋊#88324	C₂²	1	2	yes	—
29	D₄⋊#88324	C₂²	1	2	yes	—
30	#88324⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#88324⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₈×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₈×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#16811168	C₂²	1	2	yes	—
35	#16811027	C₄	1	1	yes	characteristic
36	#16810998	C₄	1	1	yes	characteristic
37	#16810968	C₄	1	2	yes	—
38	#16810859	C₄	1	1	yes	characteristic
39	#16810857	C₄	1	2	yes	—
40	D₈×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#16810705	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#16810703	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₅₃×#466	C₄	1	1	yes	characteristic
45	#13133304	—	4	8	no	—
46	C₂×#11719936	—	2	2	no	—
47	C₂×#11719940	—	2	2	no	—
48	C₂×#11719940	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#11719940	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×D₅₃⋊C₈	—	2	2	no	—
51	C₂²×#88324	—	2	2	no	—
52	C₂²×#88324	—	2	2	no	—
53	#13133284	—	2	1	no	—
54	C₄⋊#88324	—	2	2	no	—
55	C₄⋊#88324	C₂³	1	2	yes	—
56	C₄⋊#88324	C₂³	1	2	yes	—
57	#13133274	—	2	2	no	—
58	#13133274	—	2	2	no	—
59	C₂²⋊#88324	—	2	1	no	—
60	C₂²⋊#88324	—	2	2	no	—
61	C₂²⋊#88324	—	2	2	no	—
62	#13133272	D₄	1	1	yes	characteristic
63	#13133272	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₄×#88324	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₄×#88324	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₄×#88324	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₄×#88324	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×#11719947	—	2	2	no	—
69	C₂×D₄₂₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#11719922	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂²×#88322	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	#13133216	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#13133213	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	#13133203	—	2	2	no	—
75	#13133191	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	#13133189	—	2	2	no	—
77	D₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
78	#13133179	C₂³	1	2	yes	—
79	#13133177	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	#13133151	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	#13133150	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#13133139	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#13133138	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	#13133137	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₈×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₈×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₈×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₈×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×D₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
92	#121×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#107×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	#102×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂×D₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
99	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
102	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×Dic₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
104	#11719947	—	4	4	no	—
105	#11719947	—	4	4	no	—
106	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
108	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
109	#11719940	—	2	2	no	—
110	#11719940	—	4	4	no	—
111	#11719940	D₈	1	4	yes	complemented
112	C₂×#88324	—	2	2	no	—
113	C₂×#88324	—	2	2	no	—
114	C₂×#88324	—	2	1	no	—
115	C₂×#88324	—	2	1	no	—
116	C₂×#88324	—	4	4	no	—
117	C₂×#88324	—	4	4	no	—
118	C₂×#88324	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×#88324	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×#88324	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×#88324	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	#11719936	—	4	4	no	—
123	D₅₃⋊C₈	—	4	4	no	—
124	D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
126	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
131	#11719922	—	4	2	no	—
132	#11719921	—	2	2	no	—
133	#11719921	—	2	2	no	—
134	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	#11719919	—	2	2	no	—
136	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₄×Dic₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
139	C₄×Dic₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	C₂×#88322	—	4	1	no	—
141	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	D₄₂₄	—	2	2	no	—
144	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
145	C₂³×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
147	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
148	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
149	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
150	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
151	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
152	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
156	C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
157	C₂²⋊D₅₃	—	8	2	no	—
158	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
159	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
160	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
161	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
162	C₂×Dic₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×Dic₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×Dic₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
165	C₂×Dic₅₃	#135	1	2	yes	—
166	C₂×Dic₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×Dic₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
168	D₂₁₂	—	2	2	no	—
169	D₂₁₂	—	2	2	no	—
170	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
171	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
172	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
173	#88324	—	2	1	no	—
174	#88324	—	2	1	no	—
175	#88324	—	4	1	no	—
176	#88324	—	4	1	no	—
177	#88324	—	4	2	no	—
178	#88324	—	4	2	no	—
179	#88324	C₂×D₈	1	2	yes	—
180	#88324	C₂×D₈	1	2	yes	—
181	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
182	C₈×C₅₃	#131	1	2	yes	complemented
183	#88322	—	2	1	no	—
184	#88322	—	2	1	no	—
185	#18066	—	53	1	no	maximal, Sylow
186	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
187	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
188	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
189	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
190	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
191	C₂²×C₅₃	C₄×D₈	1	2	yes	—
192	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
194	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
195	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
196	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
197	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
198	C₄×C₅₃	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
199	C₄×C₅₃	#568	1	1	yes	characteristic
200	Dic₅₃	—	2	1	no	—
201	Dic₅₃	—	2	1	no	—
202	Dic₅₃	—	4	2	no	—
203	Dic₅₃	C₄×D₈	1	2	yes	—
204	Dic₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
205	Dic₅₃	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
206	#3169	—	53	1	no	—
207	#2935	—	53	2	no	—
208	#1589	—	53	1	no	—
209	#1589	—	53	1	no	—
210	#1581	—	53	2	no	—
211	#1581	—	53	2	no	—
212	C₈×D₈	—	53	1	no	—
213	C₈×D₈	—	53	1	no	—
214	C₂×#335	—	53	1	no	—
215	#1480	—	53	2	no	—
216	C₈×M₁₆	—	53	1	no	—
217	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
218	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
219	C₂×C₅₃	#2935	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₅₃	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₅₃	#2957	1	1	yes	characteristic
222	D₅₃	—	8	2	no	—
223	C₂×#131	—	106	2	no	—
224	#532	—	53	2	no	—
225	#500	—	53	1	no	—
226	#493	—	53	1	no	—
227	#486	—	53	2	no	—
228	#466	—	53	1	no	—
229	#466	—	53	2	no	—
230	#466	#6157	1	1	yes	characteristic
231	C₄×D₈	—	53	1	no	—
232	C₄×D₈	—	53	1	no	—
233	C₄×D₈	—	53	2	no	—
234	#436	—	53	2	no	—
235	#436	—	53	2	no	—
236	#435	—	106	2	no	—
237	#435	—	106	2	no	—
238	C₈×D₄	—	53	2	no	—
239	C₈×D₄	—	53	2	no	—
240	#431	—	53	1	no	—
241	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
242	#408	—	106	2	no	—
243	C₄×M₁₆	—	53	1	no	—
244	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
245	#335	—	53	1	no	—
246	#335	—	53	2	no	—
247	#335	—	53	1	no	—
248	D₄⋊C₈	—	53	2	no	—
249	D₄⋊C₈	—	53	2	no	—
250	D₄⋊C₈	—	53	2	no	—
251	D₄⋊C₈	—	53	2	no	—
252	#322	—	53	1	no	—
253	#322	—	53	1	no	—
254	C₈²	—	53	1	no	—
255	C₈²	—	53	1	no	—
256	C₅₃	#18066	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
257	C₂×#41	—	106	2	no	—
258	C₂×D₈	—	53	2	no	—
259	C₂×D₈	—	53	1	no	—
260	C₂×D₈	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
261	#131	—	212	8	no	—
262	C₂×M₁₆	—	53	1	no	—
263	C₂×M₁₆	—	53	1	no	—
264	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
265	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
266	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
267	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
268	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
269	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
270	C₂²×C₈	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
271	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
272	#127	—	53	2	no	—
273	#124	—	106	2	no	—
274	#121	—	53	2	no	—
275	#121	—	106	2	no	—
276	#121	C₂×#6157	1	2	yes	—
277	C₄×D₄	—	53	2	no	—
278	C₄×D₄	—	53	2	no	—
279	C₄×D₄	—	106	2	no	—
280	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
281	#107	—	53	1	no	—
282	#107	—	53	2	no	—
283	#107	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
284	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
285	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
286	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
287	C₄⋊C₈	—	106	1	no	—
288	#102	—	53	2	no	—
289	#102	—	53	2	no	—
290	#102	—	53	2	no	—
291	#102	C₂×#6157	1	2	yes	—
292	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
293	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
294	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
295	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
296	C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
297	#97	—	53	1	no	—
298	#97	—	53	1	no	—
299	C₄×C₈	—	53	1	no	—
300	C₄×C₈	—	53	1	no	—
301	C₄×C₈	—	53	1	no	—
302	C₄×C₈	—	53	1	no	—
303	C₄×C₈	—	53	1	no	—
304	C₄×C₈	—	53	1	no	—
305	C₄×C₈	—	53	1	no	—
306	C₄×C₈	—	53	1	no	—
307	#41	—	212	4	no	—
308	#41	—	212	4	no	—
309	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
310	C₂×D₄	—	2	2	no	—
311	C₂×D₄	—	53	2	no	—
312	C₂×D₄	—	106	2	no	—
313	C₂×D₄	—	106	2	no	—
314	C₂×D₄	—	106	2	no	—
315	C₂×D₄	C₂²×#6157	1	2	yes	—
316	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
317	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
318	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
319	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
320	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
321	D₈	—	2	2	no	—
322	D₈	—	106	2	no	—
323	D₈	—	212	2	no	—
324	M₁₆	—	53	4	no	—
325	M₁₆	—	106	2	no	—
326	M₁₆	—	212	4	no	—
327	M₁₆	—	212	4	no	—
328	C₂×C₈	—	2	2	no	—
329	C₂×C₈	—	53	1	no	—
330	C₂×C₈	—	53	1	no	—
331	C₂×C₈	—	53	1	no	—
332	C₂×C₈	—	53	1	no	—
333	C₂×C₈	—	53	1	no	—
334	C₂×C₈	—	53	1	no	—
335	C₂×C₈	—	106	1	no	—
336	C₂×C₈	—	106	1	no	—
337	C₂×C₈	—	106	2	no	—
338	C₂×C₈	—	106	2	no	—
339	C₂×C₈	—	212	4	no	—
340	C₂×C₈	—	212	4	no	—
341	C₂×C₈	—	212	1	no	—
342	C₂×C₈	—	212	4	no	—
343	C₂×C₈	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₈	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
345	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
346	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
347	C₄⋊C₄	C₂²×#6157	1	2	yes	—
348	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
349	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
350	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
351	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
352	C₄²	—	53	1	no	—
353	C₄²	—	53	1	no	—
354	C₄²	—	53	1	no	—
355	C₄²	—	53	1	no	—
356	C₂³	—	2	2	no	—
357	C₂³	—	106	2	no	—
358	C₂³	D₄×#6157	1	1	yes	characteristic
359	Q₈	—	212	4	no	—
360	D₄	—	2	2	no	—
361	D₄	—	2	2	no	—
362	D₄	—	4	4	no	—
363	D₄	—	106	2	no	—
364	D₄	—	106	2	no	—
365	D₄	—	424	2	no	—
366	D₄	—	212	4	no	—
367	D₄	—	212	4	no	—
368	C₂×C₄	—	2	1	no	—
369	C₂×C₄	—	2	1	no	—
370	C₂×C₄	—	2	2	no	—
371	C₂×C₄	—	53	2	no	—
372	C₂×C₄	—	53	2	no	—
373	C₂×C₄	—	53	1	no	—
374	C₂×C₄	—	53	1	no	—
375	C₂×C₄	—	53	1	no	—
376	C₂×C₄	—	53	1	no	—
377	C₂×C₄	—	106	2	no	—
378	C₂×C₄	—	212	2	no	—
379	C₂×C₄	—	212	2	no	—
380	C₂×C₄	—	212	2	no	—
381	C₂×C₄	—	212	2	no	—
382	C₂×C₄	—	212	1	no	—
383	C₂×C₄	D₄×#6157	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂³×#6157	1	1	yes	characteristic
385	C₈	—	2	1	no	—
386	C₈	—	53	2	no	—
387	C₈	—	53	2	no	—
388	C₈	—	106	1	no	—
389	C₈	—	106	1	no	—
390	C₈	—	106	1	no	—
391	C₈	—	106	1	no	—
392	C₈	—	212	2	no	—
393	C₈	—	212	2	no	—
394	C₈	—	212	1	no	—
395	C₈	—	212	1	no	—
396	C₈	#13133304	1	2	yes	complemented
397	C₂²	—	2	1	no	—
398	C₂²	—	2	1	no	—
399	C₂²	—	4	2	no	—
400	C₂²	—	4	2	no	—
401	C₂²	—	4	2	no	—
402	C₂²	—	212	2	no	—
403	C₂²	—	212	2	no	—
404	C₂²	—	212	2	no	—
405	C₂²	D₈×#6157	1	2	yes	—
406	C₂²	C₂×D₄×#6157	1	1	yes	characteristic
407	C₄	—	2	1	no	—
408	C₄	—	4	2	no	—
409	C₄	—	53	1	no	—
410	C₄	—	53	1	no	—
411	C₄	—	53	2	no	—
412	C₄	—	106	1	no	—
413	C₄	—	106	1	no	—
414	C₄	—	212	2	no	—
415	C₄	C₂×#13133304	1	1	yes	characteristic
416	C₄	#16811702	1	1	yes	characteristic
417	C₂	—	2	2	no	—
418	C₂	—	8	2	no	—
419	C₂	—	424	2	no	—
420	C₂	#20291457	1	1	yes	characteristic
421	C₂	C₂×D₈×#6157	1	1	yes	characteristic
422	C₂	#20291492	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×D₄×#6157
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂×C₄	C₂³×#6157
Fitting	C₅₃×#466	C₄
socle	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄
prime radical	#20285289	C₂
cosocle	C₄×Dic₅₃	C₂⁴
hypercenter	#466	#6157
hypocenter	C₅₃	#18066
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄ ◁ #466

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20291457	C₂	semidirect
2. #20290348	C₂	semidirect
3. #20290347	C₂	semidirect
4. #20290317	C₂	semidirect
5. #20290314	C₂	semidirect
6. #20290296	C₂	semidirect
7. D₈×#88324	C₂	semidirect
8. C₂×#16811486	C₂	semidirect
9. #20290020	C₂	semidirect
10. C₈×#11719940	C₂	semidirect
111. #11719940	D₈	semidirect
182. C₈×C₅₃	#131	semidirect
256. C₅₃	#18066	semidirect
396. C₈	#13133304	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20291457	2
#20290348	2
#20290347	2
#20290317	2
#20290314	2
#20290296	2
D₈×#88324	2
C₂×#16811486	2
#20290020	2
C₈×#11719940	2
#20285289	2
#18066	53