Subgroups — #28317713

Order 13568.

722 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 320 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20291458	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20290348	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20290316	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	D₈×#88324	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	D₅₃⋊#335	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20290021	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₈×#11719936	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20285292	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×#13133304	—	2	2	no	—
10	#16811658	C₂²	1	4	yes	—
11	#16811654	—	2	4	no	—
12	D₄×#88324	C₂²	1	4	yes	—
13	#16811642	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	D₅₃⋊(C₄⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
15	#16811597	—	2	2	no	—
16	C₄×#11719936	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#16811487	C₂²	1	2	yes	—
18	#16811486	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#16811486	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	D₄⋊#88324	C₂²	1	4	yes	—
21	D₄⋊#88324	C₂²	1	4	yes	—
22	#88324⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₈×#88324	C₂²	1	2	yes	—
24	#16811171	C₂²	1	2	yes	—
25	#16811028	C₄	1	1	yes	characteristic
26	#16810969	C₄	1	2	yes	—
27	#16810856	C₄	1	2	yes	—
28	#16810856	C₄	1	2	yes	—
29	D₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
30	D₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×C₈×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₅₃×#493	C₄	1	1	yes	characteristic
33	#13133304	—	4	8	no	—
34	C₂×#11719936	D₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#11719936	D₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#11719940	—	2	4	no	—
37	C₂×D₅₃⋊C₈	—	2	2	no	—
38	C₂²×#88324	—	2	4	no	—
39	#13133284	—	2	2	no	—
40	C₄⋊#88324	—	2	1	no	—
41	C₄⋊#88324	C₂³	1	2	yes	—
42	C₄⋊#88324	C₂³	1	2	yes	—
43	#13133274	—	2	1	no	—
44	C₂²⋊#88324	—	2	4	no	—
45	C₂²⋊#88324	—	2	4	no	—
46	#13133272	D₄	1	2	yes	—
47	C₄×#88324	C₂³	1	2	yes	—
48	C₄×#88324	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×#11719947	—	2	2	no	—
50	C₂×C₈×D₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₈×D₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	#13133217	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	#13133204	—	2	2	no	—
54	#13133188	—	2	2	no	—
55	#13133188	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	D₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
57	D₄×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
58	C₄²×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#13133151	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	#13133151	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	#13133138	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	#13133138	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₄×#88322	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₈×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₈×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×D₈×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×D₈×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	#127×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂×D₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
73	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	4	no	—
74	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
75	#11719947	—	4	4	no	—
76	#11719947	—	4	4	no	—
77	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×D₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
80	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
81	#11719940	—	4	8	no	—
82	C₂×#88324	—	2	2	no	—
83	C₂×#88324	—	2	2	no	—
84	C₂×#88324	—	2	2	no	—
85	C₂×#88324	—	4	8	no	—
86	C₂×#88324	C₂×D₄	1	2	yes	—
87	C₂×#88324	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	#11719936	—	2	2	no	—
89	#11719936	D₈	1	4	yes	complemented
90	D₅₃⋊C₈	—	4	4	no	—
91	D₈×C₅₃	—	2	4	no	—
92	D₈×C₅₃	—	4	2	no	—
93	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
97	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
98	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
99	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
100	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₄×Dic₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
102	C₄×Dic₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
106	C₈×D₅₃	—	4	1	no	—
107	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
108	C₂²×D₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
109	D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
110	D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
111	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
112	D₄×C₅₃	—	8	2	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
117	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
118	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
119	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
120	C₂×Dic₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×Dic₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×Dic₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
123	C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
124	C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
125	C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
126	C₄×D₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
127	C₄×D₅₃	#135	1	2	yes	—
128	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
129	#88324	—	2	2	no	—
130	#88324	—	4	2	no	—
131	#88324	—	4	2	no	—
132	#88324	—	4	2	no	—
133	#88324	C₂×D₈	1	4	yes	—
134	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
135	C₈×C₅₃	#131	1	2	yes	complemented
136	#88322	—	2	1	no	—
137	#88322	—	2	1	no	—
138	#18066	—	53	1	no	maximal, Sylow
139	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
140	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
141	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
142	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×D₅₃	—	2	1	no	—
144	C₂×D₅₃	—	2	1	no	—
145	C₂×D₅₃	C₄×D₈	1	2	yes	—
146	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
147	C₄×C₅₃	C₄×D₈	1	2	yes	—
148	C₄×C₅₃	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
149	C₄×C₅₃	#568	1	1	yes	characteristic
150	Dic₅₃	—	2	1	no	—
151	Dic₅₃	—	2	1	no	—
152	Dic₅₃	—	4	4	no	—
153	Dic₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
154	Dic₅₃	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
155	#3169	—	53	1	no	—
156	#2935	—	53	2	no	—
157	#1589	—	53	2	no	—
158	#1581	—	53	4	no	—
159	C₈×D₈	—	53	2	no	—
160	C₂×#335	—	53	1	no	—
161	#1480	—	53	2	no	—
162	C₈×M₁₆	—	53	1	no	—
163	C₂×C₅₃	—	8	4	no	—
164	C₂×C₅₃	#2935	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₅₃	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₅₃	#2957	1	1	yes	characteristic
167	D₅₃	—	2	2	no	—
168	C₂×#131	—	106	2	no	—
169	#532	—	53	2	no	—
170	#500	—	53	1	no	—
171	#493	#6157	1	1	yes	characteristic
172	#486	—	53	2	no	—
173	#466	—	53	2	no	—
174	#466	—	53	2	no	—
175	C₄×D₈	—	53	2	no	—
176	C₄×D₈	—	53	2	no	—
177	#436	—	53	4	no	—
178	#435	—	106	4	no	—
179	C₈×D₄	—	53	4	no	—
180	#431	—	53	1	no	—
181	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
182	#408	—	106	2	no	—
183	C₄×M₁₆	—	53	1	no	—
184	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
185	#335	—	53	1	no	—
186	#335	—	53	2	no	—
187	#335	—	53	1	no	—
188	D₄⋊C₈	—	53	4	no	—
189	D₄⋊C₈	—	53	4	no	—
190	#322	—	53	2	no	—
191	C₈²	—	53	2	no	—
192	C₅₃	#18066	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
193	C₂×#41	—	106	2	no	—
194	C₂×D₈	C₂×#6157	1	2	yes	—
195	C₂×D₈	C₂×#6157	1	2	yes	—
196	#131	—	212	8	no	—
197	C₂×M₁₆	—	53	1	no	—
198	C₂×M₁₆	—	53	1	no	—
199	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
200	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
201	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
202	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
203	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
204	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
205	#127	C₂×#6157	1	2	yes	—
206	#124	—	106	2	no	—
207	#121	—	53	4	no	—
208	#121	—	106	2	no	—
209	C₄×D₄	—	53	4	no	—
210	C₄×D₄	—	106	2	no	—
211	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
212	#107	—	53	2	no	—
213	#107	—	53	2	no	—
214	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
215	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
216	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
217	C₄⋊C₈	—	106	1	no	—
218	#102	—	53	4	no	—
219	#102	—	53	4	no	—
220	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
221	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
222	C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
223	#97	—	53	2	no	—
224	C₄×C₈	—	53	2	no	—
225	C₄×C₈	—	53	1	no	—
226	C₄×C₈	—	53	1	no	—
227	C₄×C₈	—	53	2	no	—
228	C₄×C₈	—	53	1	no	—
229	C₄×C₈	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
230	#41	—	212	4	no	—
231	#41	—	212	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
233	C₂×D₄	—	2	2	no	—
234	C₂×D₄	—	2	2	no	—
235	C₂×D₄	—	106	4	no	—
236	C₂×D₄	C₂²×#6157	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
241	D₈	—	2	4	no	—
242	D₈	—	4	2	no	—
243	M₁₆	—	53	4	no	—
244	M₁₆	—	106	2	no	—
245	M₁₆	—	212	8	no	—
246	C₂×C₈	—	53	2	no	—
247	C₂×C₈	—	53	2	no	—
248	C₂×C₈	—	53	1	no	—
249	C₂×C₈	—	53	1	no	—
250	C₂×C₈	—	106	2	no	—
251	C₂×C₈	—	106	2	no	—
252	C₂×C₈	—	106	2	no	—
253	C₂×C₈	—	106	2	no	—
254	C₂×C₈	—	212	1	no	—
255	C₂×C₈	—	212	8	no	—
256	C₂×C₈	—	212	4	no	—
257	C₂×C₈	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₈	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
259	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
263	C₄²	—	53	1	no	—
264	C₄²	—	53	1	no	—
265	C₄²	—	53	1	no	—
266	C₄²	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
267	C₂³	—	2	4	no	—
268	C₂³	—	53	1	no	—
269	Q₈	—	212	4	no	—
270	D₄	—	2	4	no	—
271	D₄	—	2	4	no	—
272	D₄	—	4	4	no	—
273	D₄	—	8	2	no	—
274	D₄	—	212	8	no	—
275	C₂×C₄	—	53	1	no	—
276	C₂×C₄	—	53	2	no	—
277	C₂×C₄	—	53	2	no	—
278	C₂×C₄	—	53	1	no	—
279	C₂×C₄	—	53	1	no	—
280	C₂×C₄	—	106	1	no	—
281	C₂×C₄	—	106	1	no	—
282	C₂×C₄	—	106	4	no	—
283	C₂×C₄	—	212	1	no	—
284	C₂×C₄	—	212	4	no	—
285	C₂×C₄	—	212	4	no	—
286	C₂×C₄	D₄×#6157	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	D₄×#6157	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	C₂³×#6157	1	1	yes	characteristic
289	C₈	—	2	1	no	—
290	C₈	—	53	4	no	—
291	C₈	—	106	2	no	—
292	C₈	—	106	1	no	—
293	C₈	—	106	1	no	—
294	C₈	—	212	2	no	—
295	C₈	—	212	2	no	—
296	C₈	—	212	2	no	—
297	C₈	#13133304	1	2	yes	complemented
298	C₂²	—	4	4	no	—
299	C₂²	—	4	4	no	—
300	C₂²	—	4	4	no	—
301	C₂²	—	53	2	no	—
302	C₂²	—	106	1	no	—
303	C₂²	—	106	1	no	—
304	C₂²	C₂×D₄×#6157	1	1	yes	characteristic
305	C₄	—	2	1	no	—
306	C₄	—	53	1	no	—
307	C₄	—	53	1	no	—
308	C₄	—	106	1	no	—
309	C₄	—	106	1	no	—
310	C₄	—	212	4	no	—
311	C₄	D₈×#6157	1	2	yes	—
312	C₄	C₂×#13133304	1	1	yes	characteristic
313	C₄	#16811701	1	1	yes	characteristic
314	C₂	—	8	4	no	—
315	C₂	—	106	2	no	—
316	C₂	#20291458	1	1	yes	characteristic
317	C₂	C₂×D₈×#6157	1	1	yes	characteristic
318	C₂	#20291491	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×D₄×#6157
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂×C₄	C₂³×#6157
Fitting	C₅₃×#493	C₄
socle	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄
prime radical	#20285292	C₂
cosocle	C₄×Dic₅₃	C₂⁴
hypercenter	#493	#6157
hypocenter	C₅₃	#18066
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄² ◁ #493

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20291458	C₂	semidirect
2. #20290348	C₂	semidirect
3. #20290316	C₂	semidirect
4. D₈×#88324	C₂	semidirect
5. D₅₃⋊#335	C₂	semidirect
6. #20290021	C₂	semidirect
7. C₈×#11719936	C₂	semidirect
89. #11719936	D₈	semidirect
135. C₈×C₅₃	#131	semidirect
192. C₅₃	#18066	semidirect
297. C₈	#13133304	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20291458	2
#20290348	2
#20290316	2
D₈×#88324	2
D₅₃⋊#335	2
#20290021	2
C₈×#11719936	2
#20285292	2
#18066	53