Subgroups — #28318468

Order 13568.

990 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 358 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811644	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄×#88324	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20290511	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₄⋊C₄×#88324	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20290452	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₂²⋊C₄×#88324	C₂	1	2	yes	maximal
7	#20290434	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20290372	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#20277110	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂³×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#16811644	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂×C₄⋊#88324	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₂²⋊#88324	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#13133272	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#13133272	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×#88324	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#16811489	C₂²	1	4	yes	—
24	#16811489	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#16810490	C₄	1	2	yes	—
27	#16810488	C₄	1	2	yes	—
28	#16810484	C₄	1	2	yes	—
29	#16810483	C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₄⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
32	#16810468	C₂²	1	2	yes	—
33	C₅₃×#380	C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×#88324	—	2	4	no	—
35	C₂²×#88324	—	2	4	no	—
36	C₂²×#88324	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂²×#88324	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂²×#88324	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×#88324	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×#88324	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂²×#88324	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×#88324	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₄⋊#88324	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂²⋊#88324	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	#13133272	—	2	8	no	—
46	#13133272	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₄×#88324	—	2	8	no	—
48	C₄×#88324	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₄×#88324	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₄×#88324	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₄×#88324	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₄²	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂²×Dic₅₃	C₄²	1	4	yes	—
82	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
83	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
89	C₂×#88324	—	2	4	no	—
90	C₂×#88324	—	2	4	no	—
91	C₂×#88324	—	2	2	no	—
92	C₂×#88324	—	2	2	no	—
93	C₂×#88324	—	2	8	no	—
94	C₂×#88324	—	2	8	no	—
95	C₂×#88324	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₂×#88324	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂×#88324	C₂²×C₄	1	8	yes	—
98	C₂×#88324	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂×#88324	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂×#88324	#41	1	4	yes	—
101	C₂×#88324	#41	1	4	yes	—
102	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
103	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
104	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
106	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
107	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
108	C₄×Dic₅₃	C₄²	1	4	yes	—
109	C₄×Dic₅₃	C₄²	1	4	yes	—
110	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
117	C₂³×C₅₃	#131	1	2	yes	—
118	C₂³×C₅₃	#131	1	2	yes	—
119	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	4	yes	—
128	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
130	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
131	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
134	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
140	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
141	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
142	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
143	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×Dic₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
146	C₂×Dic₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
147	#88324	—	2	2	no	—
148	#88324	—	2	2	no	—
149	#88324	—	2	8	no	—
150	#88324	#117	1	4	yes	—
151	#88324	#117	1	4	yes	—
152	#20476	—	53	1	no	maximal, Sylow
153	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₅₃	#405	1	4	yes	—
158	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₅₃	C₄×#41	1	2	yes	—
160	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
162	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
163	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
164	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
165	C₄×C₅₃	#405	1	4	yes	—
166	Dic₅₃	—	2	2	no	—
167	Dic₅₃	—	2	2	no	—
168	Dic₅₃	—	2	2	no	—
169	Dic₅₃	—	4	4	no	—
170	Dic₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
171	Dic₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
172	Dic₅₃	C₄×#41	1	2	yes	—
173	C₂×#432	—	53	1	no	—
174	C₂²×C₄×C₈	—	53	1	no	—
175	#2283	—	53	1	no	—
176	#1770	—	53	2	no	—
177	C₈×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
178	#1752	—	53	2	no	—
179	C₈×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
180	#1746	—	53	2	no	—
181	#1726	—	53	2	no	—
182	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
183	C₂×C₅₃	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₅₃	C₂×#405	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₅₃	C₂×#405	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₅₃	#2966	1	2	yes	—
187	C₂×C₅₃	#2966	1	2	yes	—
188	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
189	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
190	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
191	#432	—	53	8	no	—
192	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
194	C₂×#97	—	53	2	no	—
195	C₂×#97	—	53	4	no	—
196	C₂×C₄×C₈	—	53	8	no	—
197	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
198	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
199	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
200	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
201	C₂×C₄×C₈	—	53	4	no	—
202	#383	—	53	2	no	—
203	#382	—	53	2	no	—
204	#381	—	53	2	no	—
205	#380	—	53	1	no	—
206	#380	#6157	1	1	yes	characteristic
207	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
208	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
209	#376	—	53	2	no	—
210	#336	—	53	4	no	—
211	#336	—	53	4	no	—
212	C₅₃	#20476	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
213	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
214	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
215	C₂³×C₄	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
217	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
218	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
219	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
220	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
221	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
222	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
223	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
224	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
225	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
226	C₂×C₄⋊C₄	C₂×#6157	1	2	yes	—
227	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
228	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×#6157	1	2	yes	—
229	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
230	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
231	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
232	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
233	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
234	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
235	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
236	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
237	C₂²⋊C₈	—	53	8	no	—
238	#97	—	53	8	no	—
239	#97	—	106	8	no	—
240	C₄×C₈	—	53	4	no	—
241	C₄×C₈	—	53	4	no	—
242	C₄×C₈	—	53	4	no	—
243	C₄×C₈	—	53	4	no	—
244	C₄×C₈	—	106	8	no	—
245	#95	—	53	2	no	—
246	#95	—	53	4	no	—
247	#95	—	53	4	no	—
248	#95	—	53	4	no	—
249	#95	C₂×#6157	1	2	yes	—
250	C₂⁴	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
253	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
257	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
258	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
259	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
264	C₂²×C₄	C₄×#6157	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₈	—	53	2	no	—
269	C₂×C₈	—	53	2	no	—
270	C₂×C₈	—	53	4	no	—
271	C₂×C₈	—	53	4	no	—
272	C₂×C₈	—	53	2	no	—
273	C₂×C₈	—	53	2	no	—
274	C₂×C₈	—	53	8	no	—
275	C₂×C₈	—	106	8	no	—
276	C₂×C₈	—	106	8	no	—
277	C₂×C₈	—	106	4	no	—
278	C₂×C₈	—	106	4	no	—
279	C₂×C₈	—	106	2	no	—
280	C₂×C₈	—	106	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
285	C₄²	—	53	2	no	—
286	C₄²	—	53	2	no	—
287	C₄²	—	53	2	no	—
288	C₄²	—	53	2	no	—
289	C₄²	—	53	4	no	—
290	C₄²	—	53	4	no	—
291	C₄²	—	106	4	no	—
292	C₄²	—	106	4	no	—
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	2	2	no	—
295	C₂³	C₂×C₄×#6157	1	2	yes	—
296	C₂³	#13133304	1	2	yes	—
297	C₂³	#13133305	1	2	yes	—
298	C₂³	C₂³×#6157	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	53	1	no	—
305	C₂×C₄	—	53	1	no	—
306	C₂×C₄	—	53	2	no	—
307	C₂×C₄	—	53	2	no	—
308	C₂×C₄	—	53	2	no	—
309	C₂×C₄	—	53	2	no	—
310	C₂×C₄	—	53	2	no	—
311	C₂×C₄	—	106	2	no	—
312	C₂×C₄	—	106	2	no	—
313	C₂×C₄	—	106	4	no	—
314	C₂×C₄	—	106	8	no	—
315	C₂×C₄	—	106	2	no	—
316	C₂×C₄	—	106	1	no	—
317	C₂×C₄	—	106	1	no	—
318	C₂×C₄	—	106	1	no	—
319	C₂×C₄	—	106	1	no	—
320	C₂×C₄	—	106	4	no	—
321	C₂×C₄	—	106	4	no	—
322	C₂×C₄	—	106	4	no	—
323	C₂×C₄	C₂×C₄×#6157	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×C₄×#6157	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#13133304	1	4	yes	—
326	C₈	—	53	4	no	—
327	C₈	—	53	4	no	—
328	C₈	—	106	8	no	—
329	C₈	—	106	2	no	—
330	C₈	—	106	2	no	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	2	2	no	—
334	C₂²	—	2	4	no	—
335	C₂²	#16811588	1	4	yes	—
336	C₂²	C₂²×C₄×#6157	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#41×#6157	1	2	yes	—
338	C₂²	C₂×#13133304	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	C₂×#13133304	1	2	yes	—
340	C₂²	C₂×#13133305	1	1	yes	characteristic
341	C₄	—	2	2	no	—
342	C₄	—	4	4	no	—
343	C₄	—	53	1	no	—
344	C₄	—	53	1	no	—
345	C₄	—	53	2	no	—
346	C₄	—	106	2	no	—
347	C₄	—	106	2	no	—
348	C₄	—	106	2	no	—
349	C₄	—	212	4	no	—
350	C₄	#16811587	1	4	yes	—
351	C₂	—	2	4	no	—
352	C₂	#117×#6157	1	1	yes	characteristic
353	C₂	C₂×#16811587	1	1	yes	characteristic
354	C₂	C₂×#16811588	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#20291528	1	2	yes	—
356	C₂	#20291531	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×#6157
commutator	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²
Fitting	C₅₃×#380	C₄
socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴
hypercenter	#380	#6157
hypocenter	C₅₃	#20476
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #380

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20290511	C₂	semidirect
4. C₄⋊C₄×#88324	C₂	semidirect
7. #20290434	C₂	semidirect
8. #20290372	C₂	semidirect
12. #16811644	C₄	semidirect
17. C₂×C₄×#88324	C₄	semidirect
212. C₅₃	#20476	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811644	2
C₂²×C₄×#88324	2
#20290511	2
C₄⋊C₄×#88324	2
#20290452	2
C₂²⋊C₄×#88324	2
#20290434	2
#20290372	2
#20277110	2
#20476	53