Subgroups — #28318641

Order 13568.

938 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 358 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811674	C₂	1	2	yes	maximal
2	#20290515	C₂	1	4	yes	maximal
3	C₄⋊C₄×#88324	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20290501	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20290500	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₄×#13133272	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₄×#13133272	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₄×Q₈×Dic₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#16811674	C₄	1	16	yes	complemented
10	C₂×#13133284	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×C₄⋊#88324	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#13133272	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#13133272	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133272	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#13133272	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#13133272	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	2	yes	—
19	#16811489	C₂²	1	4	yes	—
20	#16811489	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×Q₈×Dic₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
22	C₂×Q₈×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₄⋊C₄×Dic₅₃	C₄	1	2	yes	—
24	C₄⋊C₄×Dic₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
25	C₄⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₄	1	2	yes	—
28	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₄²×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄²×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×#88324	C₂³	1	4	yes	—
33	C₂²×#88324	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂²×#88324	C₂³	1	2	yes	—
35	#13133284	C₂×C₄	1	16	yes	—
36	C₄⋊#88324	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	#13133272	—	2	2	no	—
38	#13133272	—	2	4	no	—
39	#13133272	—	2	4	no	—
40	#13133272	C₂×C₄	1	16	yes	—
41	#13133272	Q₈	1	4	yes	complemented
42	C₄×#88324	—	2	8	no	—
43	C₄×#88324	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	Q₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
45	Q₈×Dic₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂×Q₈×C₅₃	C₄²	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₂×#88324	—	2	4	no	—
85	C₂×#88324	—	2	2	no	—
86	C₂×#88324	—	2	4	no	—
87	C₂×#88324	—	2	2	no	—
88	C₂×#88324	C₂²×C₄	1	4	yes	—
89	C₂×#88324	C₂²×C₄	1	8	yes	—
90	C₂×#88324	C₂²×C₄	1	4	yes	—
91	C₂×#88324	C₂×Q₈	1	4	yes	—
92	C₂×#88324	#41	1	4	yes	—
93	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
94	C₄⋊C₄×C₅₃	M₁₆	1	4	yes	—
95	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
96	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
98	C₄⋊Dic₅₃	C₄²	1	8	yes	—
99	C₄⋊Dic₅₃	C₄²	1	4	yes	—
100	C₄⋊Dic₅₃	M₁₆	1	4	yes	—
101	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
102	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
103	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
104	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
105	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
106	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
107	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
108	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
109	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
110	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
111	C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
112	C₄×Dic₅₃	#41	1	2	yes	—
113	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
114	Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	4	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	C₄×Q₈	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
130	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
141	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
142	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄²	1	4	yes	—
143	C₂×Dic₅₃	C₄×Q₈	1	2	yes	—
144	C₂×Dic₅₃	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
145	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
146	C₂×Dic₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
147	C₂×Dic₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
148	C₂×Dic₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
149	#88324	—	2	8	no	—
150	#88324	—	2	4	no	—
151	#88324	C₄×Q₈	1	8	yes	complemented
152	#20520	—	53	1	no	maximal, Sylow
153	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₅₃	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₅₃	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₅₃	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₅₃	#568	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₅₃	#568	1	1	yes	characteristic
160	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
161	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
162	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
163	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
164	C₄×C₅₃	C₄×M₁₆	1	4	yes	—
165	Dic₅₃	—	2	2	no	—
166	Dic₅₃	—	2	4	no	—
167	Dic₅₃	—	2	2	no	—
168	Dic₅₃	—	2	4	no	—
169	Dic₅₃	—	4	1	no	—
170	Dic₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
171	Dic₅₃	C₄×#41	1	2	yes	—
172	C₂×#446	—	53	2	no	—
173	C₄²×Q₈	—	53	1	no	—
174	#1771	—	53	4	no	—
175	C₈×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
176	#1767	—	53	2	no	—
177	#1767	—	53	1	no	—
178	C₄×#97	—	53	1	no	—
179	C₄×#97	—	53	2	no	—
180	C₂×C₅₃	C₄²×Q₈	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₅₃	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₅₃	#2875	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₅₃	Q₈×M₁₆	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₅₃	Q₈×M₁₆	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₅₃	#2970	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₅₃	#2970	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
188	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
189	C₂×C₄×Q₈	#6157	1	1	yes	characteristic
190	#446	—	53	16	no	—
191	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
193	C₂×#97	—	53	4	no	—
194	C₂×#97	—	53	1	no	—
195	C₂×#97	—	53	1	no	—
196	C₂×#97	—	53	2	no	—
197	C₂×#97	—	53	2	no	—
198	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
199	C₂×C₄×C₈	—	53	4	no	—
200	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
201	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
202	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
203	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
204	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
205	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
206	C₄³	—	53	1	no	—
207	C₄³	—	53	2	no	—
208	#336	—	53	4	no	—
209	#336	—	53	2	no	—
210	C₅₃	#20520	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
211	C₂²×Q₈	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
213	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
214	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
215	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
216	C₄×Q₈	—	53	8	no	—
217	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
219	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
220	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
221	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	C₂×#6157	1	2	yes	—
223	C₂×C₄⋊C₄	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
225	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
226	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
227	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
228	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
229	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
230	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
231	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
232	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
233	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
234	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
235	C₂×C₄²	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₄²	C₂×#6157	1	2	yes	—
237	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
238	C₄⋊C₈	—	53	16	no	—
239	#97	—	53	16	no	—
240	#97	—	53	4	no	—
241	#97	—	106	2	no	—
242	#97	—	106	4	no	—
243	#97	—	106	4	no	—
244	C₄×C₈	—	53	8	no	—
245	C₄×C₈	—	106	8	no	—
246	#95	—	53	2	no	—
247	#95	—	53	2	no	—
248	#95	—	53	2	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
250	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
251	C₂×Q₈	C₄×#6157	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
253	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
254	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
257	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
258	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₈	—	53	4	no	—
264	C₂×C₈	—	53	4	no	—
265	C₂×C₈	—	53	4	no	—
266	C₂×C₈	—	53	4	no	—
267	C₂×C₈	—	53	8	no	—
268	C₂×C₈	—	106	4	no	—
269	C₂×C₈	—	106	2	no	—
270	C₂×C₈	—	106	4	no	—
271	C₂×C₈	—	106	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
274	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
277	C₄⋊C₄	#11719940	1	4	yes	—
278	C₄²	—	2	4	no	—
279	C₄²	—	2	2	no	—
280	C₄²	—	53	4	no	—
281	C₄²	—	53	8	no	—
282	C₄²	—	53	2	no	—
283	C₄²	—	53	2	no	—
284	C₄²	—	106	4	no	—
285	C₄²	—	106	2	no	—
286	C₄²	—	106	4	no	—
287	C₄²	—	106	2	no	—
288	C₄²	—	212	2	no	—
289	C₄²	—	212	2	no	—
290	C₄²	—	212	1	no	—
291	C₄²	—	212	1	no	—
292	C₂³	C₂³×#6157	1	1	yes	characteristic
293	Q₈	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	53	2	no	—
304	C₂×C₄	—	53	1	no	—
305	C₂×C₄	—	53	1	no	—
306	C₂×C₄	—	53	2	no	—
307	C₂×C₄	—	53	2	no	—
308	C₂×C₄	—	53	4	no	—
309	C₂×C₄	—	53	2	no	—
310	C₂×C₄	—	53	4	no	—
311	C₂×C₄	—	106	2	no	—
312	C₂×C₄	—	106	1	no	—
313	C₂×C₄	—	106	1	no	—
314	C₂×C₄	—	106	2	no	—
315	C₂×C₄	—	106	1	no	—
316	C₂×C₄	—	106	2	no	—
317	C₂×C₄	—	106	1	no	—
318	C₂×C₄	—	106	2	no	—
319	C₂×C₄	—	106	1	no	—
320	C₂×C₄	—	106	1	no	—
321	C₂×C₄	—	106	1	no	—
322	C₂×C₄	C₂×C₄×#6157	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×C₄×#6157	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	Q₈×#6157	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#11719940	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#11719940	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	D₅₃⋊M₁₆	1	2	yes	—
328	C₈	—	53	8	no	—
329	C₈	—	106	4	no	—
330	C₈	—	106	8	no	—
331	C₂²	C₂²×C₄×#6157	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₂×Q₈×#6157	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#41×#6157	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂²×#11719940	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂×D₅₃⋊M₁₆	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#16811702	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#16811703	1	1	yes	characteristic
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	2	4	no	—
340	C₄	—	2	4	no	—
341	C₄	—	4	1	no	—
342	C₄	—	53	2	no	—
343	C₄	—	53	2	no	—
344	C₄	—	106	2	no	—
345	C₄	—	106	2	no	—
346	C₄	—	106	4	no	—
347	C₄	—	106	4	no	—
348	C₄	—	212	1	no	—
349	C₄	C₄×#11719940	1	4	yes	—
350	C₂	C₄×Q₈×#6157	1	1	yes	characteristic
351	C₂	C₂×C₄×#11719940	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#20291287	1	1	yes	characteristic
353	C₂	Q₈×#11719940	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#20291517	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#20291552	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#20291557	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×#6157
commutator	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²
Fitting	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₄
socle, prime radical	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
cosocle	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×C₄×Q₈	#6157
hypocenter	C₅₃	#20520
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
9. #16811674	C₄	semidirect
41. #13133272	Q₈	semidirect
151. #88324	C₄×Q₈	semidirect
210. C₅₃	#20520	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811674	2
#20290515	2
C₄⋊C₄×#88324	2
#20290501	2
#20290500	2
C₄×#13133272	2
C₄×Q₈×Dic₅₃	2
#20520	53