Subgroups — #28318654

Order 13568.

1450 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×D₅₃⋊(C₂²⋊C₈)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20290449	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂²⋊C₄×#88324	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₄×#13133274	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₄×C₂²⋊C₄×D₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂²×D₅₃⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂³×#88324	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#13133274	C₄	1	8	yes	complemented
10	C₂×#13133274	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#13133274	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#13133274	C₂²	1	2	yes	—
13	D₅₃⋊(C₂²⋊C₈)	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×C₂²⋊#88324	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	8	yes	complemented
16	#16811489	C₂²	1	8	yes	complemented
17	C₂³×C₄×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	C₄	1	2	yes	—
19	C₂×C₄²×D₅₃	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄×#11719921	C₄	1	2	yes	—
22	C₄×C₂²⋊Dic₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
23	#16810470	C₂²	1	2	yes	—
24	#95×D₅₃	C₄	1	2	yes	—
25	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂×D₅₃⋊C₈	—	4	4	no	—
27	C₂×D₅₃⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
28	C₂²×#88324	—	4	4	no	—
29	C₂²×#88324	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
30	C₂²×#88324	C₂³	1	4	yes	—
31	C₂²×#88324	C₂³	1	4	yes	—
32	#13133274	C₂×C₄	1	8	yes	—
33	#13133274	C₂×C₄	1	8	yes	—
34	#13133274	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
35	C₂²⋊#88324	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
36	C₄×#88324	—	4	8	no	—
37	C₂⁴×D₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
40	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂²⋊C₄×D₅₃	C₈	1	16	yes	complemented
50	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
52	C₄²×D₅₃	—	4	4	no	—
53	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂³×D₅₃	—	4	2	no	—
61	C₂³×D₅₃	—	4	2	no	—
62	C₂³×D₅₃	C₄²	1	4	yes	—
63	C₂³×D₅₃	C₂×C₈	1	8	yes	—
64	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₄²	1	4	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
71	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
72	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
74	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
75	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
76	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
80	C₂×C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
81	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
82	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
83	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
84	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
85	C₂×C₄×D₅₃	C₄²	1	4	yes	—
86	C₂×C₄×D₅₃	C₄²	1	4	yes	—
87	C₂×C₄×D₅₃	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
88	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
91	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	C₂×#88324	—	2	8	no	—
93	C₂×#88324	—	2	8	no	—
94	C₂×#88324	—	4	8	no	—
95	C₂×#88324	C₂²×C₄	1	8	yes	—
96	C₂×#88324	C₂²×C₄	1	8	yes	—
97	D₅₃⋊C₈	—	4	8	no	—
98	C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
99	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
100	C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
101	#11719921	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
102	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
103	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
104	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
107	C₂³×C₅₃	C₂²×C₈	1	4	yes	—
108	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
114	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
115	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
116	C₂²×D₅₃	C₄×C₈	1	16	yes	complemented
117	C₂²×D₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
118	C₂²×D₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
119	C₂²×D₅₃	C₂²×C₈	1	4	yes	—
120	C₂²×D₅₃	C₂²×C₈	1	4	yes	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×C₈	1	8	yes	—
129	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
131	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
134	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
135	C₂×Dic₅₃	C₂²×C₈	1	8	yes	—
136	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×Dic₅₃	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
139	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
140	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
141	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
142	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
143	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
144	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
145	C₄×D₅₃	—	4	16	no	—
146	#88324	—	2	8	no	—
147	#88324	—	2	8	no	—
148	#20523	—	53	1	no	maximal, Sylow
149	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
151	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×C₈	1	4	yes	—
153	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₅₃	#518	1	2	yes	—
155	C₂²×C₅₃	C₂³×C₈	1	2	yes	—
156	C₂²×C₅₃	#568	1	2	yes	—
157	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
158	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
159	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
160	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
161	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
162	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
163	C₂×D₅₃	—	4	16	no	—
164	C₂×D₅₃	C₂×C₄×C₈	1	4	yes	—
165	C₂×D₅₃	C₂×C₄×C₈	1	4	yes	—
166	C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
167	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
168	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
169	Dic₅₃	—	2	8	no	—
170	Dic₅₃	—	2	2	no	—
171	Dic₅₃	#518	1	2	yes	—
172	Dic₅₃	#518	1	2	yes	—
173	C₂²×C₂²⋊C₈	—	53	1	no	—
174	C₂²×C₂²⋊C₈	—	53	1	no	—
175	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	—	53	1	no	—
176	C₈×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
177	C₈×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
178	C₄×C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
179	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
180	C₂×C₅₃	#2273	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₅₃	C₂²×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₅₃	#2873	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₅₃	#2972	1	4	yes	—
184	D₅₃	—	2	4	no	—
185	D₅₃	—	2	4	no	—
186	C₂⁴×C₄	—	53	1	no	—
187	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
188	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
189	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
190	C₂²×C₄²	—	53	2	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	8	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	8	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
197	C₂×C₄×C₈	—	53	8	no	—
198	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	1	no	—
199	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
200	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
201	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
202	C₄×C₂²⋊C₄	#6157	1	1	yes	characteristic
203	C₂×#95	—	53	2	no	—
204	#336	—	53	8	no	—
205	C₅₃	#20523	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
206	C₂⁵	—	53	1	no	—
207	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
208	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
209	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
210	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
211	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
212	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
213	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
214	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
215	C₂³×C₄	—	212	4	no	—
216	C₂³×C₄	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
218	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
219	C₂²×C₈	—	53	8	no	—
220	C₂²×C₈	—	53	8	no	—
221	C₂²×C₈	—	212	4	no	—
222	C₂²×C₈	—	212	4	no	—
223	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
224	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
225	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	16	no	—
226	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×#6157	1	2	yes	—
227	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
228	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
229	C₂×C₄²	—	212	4	no	—
230	C₂×C₄²	C₂×#6157	1	2	yes	—
231	C₂²⋊C₈	—	53	8	no	—
232	C₂²⋊C₈	—	53	8	no	—
233	C₂²⋊C₈	—	53	8	no	—
234	C₂²⋊C₈	—	53	8	no	—
235	C₄×C₈	—	212	8	no	—
236	#95	—	53	4	no	—
237	#95	—	53	2	no	—
238	#95	C₂×#6157	1	2	yes	—
239	C₂⁴	—	53	1	no	—
240	C₂⁴	—	53	1	no	—
241	C₂⁴	—	53	4	no	—
242	C₂⁴	—	53	8	no	—
243	C₂⁴	—	212	2	no	—
244	C₂⁴	—	212	2	no	—
245	C₂⁴	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
251	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	53	16	no	—
259	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
267	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
268	C₂²×C₄	C₄×#6157	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	4	yes	—
272	C₂×C₈	—	53	8	no	—
273	C₂×C₈	—	53	8	no	—
274	C₂×C₈	—	106	8	no	—
275	C₂×C₈	—	106	8	no	—
276	C₂×C₈	—	212	8	no	—
277	C₂×C₈	—	212	8	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	53	16	no	—
280	C₂²⋊C₄	D₅₃⋊C₈	1	8	yes	complemented
281	C₄²	—	4	2	no	—
282	C₄²	—	106	8	no	—
283	C₄²	—	212	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	53	2	no	—
287	C₂³	—	53	2	no	—
288	C₂³	—	53	4	no	—
289	C₂³	—	53	4	no	—
290	C₂³	—	53	16	no	—
291	C₂³	—	106	2	no	—
292	C₂³	—	106	2	no	—
293	C₂³	—	106	2	no	—
294	C₂³	—	106	2	no	—
295	C₂³	—	212	4	no	—
296	C₂³	—	212	4	no	—
297	C₂³	—	212	16	no	—
298	C₂³	C₂×C₄×#6157	1	2	yes	—
299	C₂³	C₂×D₅₃⋊C₈	1	4	yes	—
300	C₂³	C₂³×#6157	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	53	1	no	—
307	C₂×C₄	—	53	1	no	—
308	C₂×C₄	—	53	4	no	—
309	C₂×C₄	—	53	2	no	—
310	C₂×C₄	—	53	8	no	—
311	C₂×C₄	—	106	4	no	—
312	C₂×C₄	—	106	4	no	—
313	C₂×C₄	—	106	4	no	—
314	C₂×C₄	—	106	4	no	—
315	C₂×C₄	—	106	4	no	—
316	C₂×C₄	—	106	4	no	—
317	C₂×C₄	—	106	4	no	—
318	C₂×C₄	—	106	2	no	—
319	C₂×C₄	—	106	4	no	—
320	C₂×C₄	—	212	16	no	—
321	C₂×C₄	—	212	4	no	—
322	C₂×C₄	—	212	4	no	—
323	C₂×C₄	C₂×C₄×#6157	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×C₄×#6157	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×D₅₃⋊C₈	1	8	yes	—
326	C₈	—	106	8	no	—
327	C₈	—	106	8	no	—
328	C₂²	—	2	2	no	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	2	8	no	—
331	C₂²	—	53	4	no	—
332	C₂²	—	53	4	no	—
333	C₂²	—	106	2	no	—
334	C₂²	—	106	2	no	—
335	C₂²	—	106	2	no	—
336	C₂²	—	106	2	no	—
337	C₂²	—	106	8	no	—
338	C₂²	—	106	8	no	—
339	C₂²	—	212	16	no	—
340	C₂²	C₄×D₅₃⋊C₈	1	4	yes	—
341	C₂²	C₂²×C₄×#6157	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	#16811690	1	2	yes	—
343	C₂²	C₂²×D₅₃⋊C₈	1	2	yes	—
344	C₂²	#16811702	1	2	yes	—
345	C₄	—	2	2	no	—
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	2	8	no	—
348	C₄	—	53	2	no	—
349	C₄	—	53	2	no	—
350	C₄	—	106	2	no	—
351	C₄	—	106	8	no	—
352	C₂	—	2	4	no	—
353	C₂	—	106	4	no	—
354	C₂	—	106	4	no	—
355	C₂	#20291151	1	1	yes	characteristic
356	C₂	C₂×C₄×D₅₃⋊C₈	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#20291280	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#20291563	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×#6157
commutator	C₂×C₅₃	C₂²×C₄×C₈
Fitting	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₄
socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴×D₅₃	C₂×C₄
cosocle	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₄×C₂²⋊C₄	#6157
hypocenter	C₅₃	#20523
LCS	G ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₂²⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20290449	C₂	semidirect
4. C₂²⋊C₄×#88324	C₂	semidirect
5. C₄×#13133274	C₂	semidirect
9. C₂×#13133274	C₄	semidirect
13. D₅₃⋊(C₂²⋊C₈)	C₄	semidirect
15. C₂×C₄×#88324	C₂²	semidirect
16. #16811489	C₂²	semidirect
27. C₂×D₅₃⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
29. C₂²×#88324	C₂×C₄	semidirect
34. #13133274	C₂×C₄	semidirect
35. C₂²⋊#88324	C₂×C₄	semidirect
49. C₂²⋊C₄×D₅₃	C₈	semidirect
87. C₂×C₄×D₅₃	C₂×C₈	semidirect
98. C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₈	semidirect
100. C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₈	semidirect
101. #11719921	C₂×C₈	semidirect
116. C₂²×D₅₃	C₄×C₈	semidirect
205. C₅₃	#20523	semidirect
280. C₂²⋊C₄	D₅₃⋊C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133274	2
C₂×D₅₃⋊(C₂²⋊C₈)	2
#20290449	2
C₂²⋊C₄×#88324	2
C₄×#13133274	2
C₄×C₂²⋊C₄×D₅₃	2
#20523	53