Subgroups — #28320220

Order 13568.

998 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 376 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811633	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#13133271	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20291175	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20290821	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20290820	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20290400	C₂	1	2	yes	maximal
7	#427×D₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂²×D₅₃⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#13133296	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄×#6157	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#16811633	—	2	4	no	—
12	C₂×#13133286	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133285	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133271	—	2	4	no	—
15	C₂×#13133271	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#13133271	C₂²	1	2	yes	—
17	#16811574	C₂²	1	8	yes	—
18	#16811570	—	2	4	no	—
19	C₄×C₄⋊#6157	—	2	4	no	—
20	#16811496	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂²×C₈×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#117×D₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810661	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
24	#16810660	C₄	1	2	yes	complemented
25	#16810659	C₄	1	2	yes	complemented
26	#16810658	C₄	1	2	yes	complemented
27	#107×D₅₃	C₂²	1	2	yes	—
28	#106×D₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₅₃×#427	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
30	C₂³×#6157	D₄	1	2	yes	—
31	C₂×D₅₃⋊C₈	—	2	2	no	—
32	C₂×D₅₃⋊C₈	—	2	1	no	—
33	C₂×D₅₃⋊C₈	Q₈	1	4	yes	—
34	C₂×D₅₃⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×#88324	—	2	1	no	—
36	#13133296	—	2	4	no	—
37	#13133296	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄⋊#6157	—	2	8	no	—
39	C₂×C₄⋊#6157	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂×C₂²⋊#6157	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄×#6157	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄×#6157	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄×#6157	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×#6157	D₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄×#6157	C₂³	1	2	yes	—
46	#13133286	—	2	4	no	—
47	#13133285	—	2	4	no	—
48	#13133271	—	2	4	no	—
49	#13133271	—	2	4	no	—
50	(C₂×#6157)⋊C₄	—	2	8	no	—
51	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×#88322	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₈×D₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₈×D₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₈×D₅₃	D₄	1	4	yes	—
56	C₂×C₈×D₅₃	Q₈	1	4	yes	—
57	C₂×C₈×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₈×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#13133176	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	#13133175	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	#13133174	—	2	2	no	—
62	#13133173	—	2	2	no	—
63	C₄⋊C₄×D₅₃	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²⋊C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
65	C₄²×D₅₃	—	2	2	no	—
66	#13133151	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
67	#13133150	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
68	#13133149	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
69	#13133148	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
70	C₂²×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	#117×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#107×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
73	#106×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
74	C₂³×D₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×#6157	—	2	4	no	—
76	C₂²×#6157	—	2	4	no	—
77	C₂²×#6157	—	4	4	no	—
78	C₂²×#6157	C₂×D₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×Dic₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×D₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×D₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
87	C₂×C₄×D₅₃	#41	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×D₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×D₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
90	C₂²⋊#6157	—	4	4	no	—
91	C₂×#88324	—	2	4	no	—
92	C₂×#88324	—	2	2	no	—
93	C₄⋊#6157	—	2	4	no	—
94	C₄⋊#6157	—	2	4	no	—
95	C₄⋊#6157	—	4	16	no	—
96	C₄×#6157	—	2	4	no	—
97	C₄×#6157	—	2	2	no	—
98	C₄×#6157	—	2	2	no	—
99	C₄×#6157	—	4	4	no	—
100	D₅₃⋊C₈	—	2	4	no	—
101	D₅₃⋊C₈	—	2	2	no	—
102	D₅₃⋊C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
103	C₂×C₈×C₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	complemented
104	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
107	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
108	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
110	#11719921	—	2	4	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
112	#11719919	—	2	4	no	—
113	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
114	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
115	C₂×#88322	C₄⋊C₄	1	4	yes	complemented
116	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₈×D₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	complemented
119	C₈×D₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	complemented
120	C₈×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₈×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₈×D₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
123	C₈×D₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
124	C₂³×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
126	C₂²×D₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×D₅₃	#121	1	2	yes	—
128	C₂²×D₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
129	C₂²×D₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×#6157	—	2	4	no	—
131	C₂×#6157	—	2	8	no	—
132	C₂×#6157	—	4	8	no	—
133	C₂×#6157	—	4	4	no	—
134	C₂×#6157	—	4	8	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄×C₅₃	C₄×Q₈	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
141	C₂×Dic₅₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×Dic₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
143	C₂×Dic₅₃	#125	1	2	yes	—
144	C₂×Dic₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
145	C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
146	C₄×D₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
147	C₄×D₅₃	C₄×Q₈	1	2	yes	—
148	C₄×D₅₃	#121	1	2	yes	—
149	C₄×D₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
150	C₄×D₅₃	#125	1	2	yes	—
151	C₄×D₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
152	C₄×D₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₄×D₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
154	C₄×D₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
155	C₄×D₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
156	#88324	—	2	4	no	—
157	C₈×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₈×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
159	#88322	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
160	#88322	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
161	#21154	—	53	1	no	maximal, Sylow
162	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₅₃	#389	1	2	yes	—
164	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
166	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
167	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
168	C₂×D₅₃	#389	1	2	yes	—
169	C₂×D₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
170	C₂×D₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
171	C₂×D₅₃	#575	1	4	yes	—
172	#6157	—	4	4	no	—
173	#6157	—	8	4	no	—
174	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
175	C₄×C₅₃	#389	1	2	yes	—
176	C₄×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₄×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
178	Dic₅₃	—	4	4	no	—
179	Dic₅₃	#389	1	2	yes	—
180	Dic₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
181	Dic₅₃	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
182	C₂×#427	—	53	1	no	—
183	C₂×#427	—	53	1	no	—
184	C₂²×#97	—	53	1	no	—
185	#2296	—	53	2	no	—
186	#1944	—	53	4	no	—
187	#1943	—	53	4	no	—
188	#1735	—	53	2	no	—
189	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
190	C₂×C₅₃	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₅₃	#2943	1	2	yes	—
192	D₅₃	—	2	2	no	—
193	D₅₃	#3054	1	2	yes	—
194	D₅₃	#3162	1	2	yes	—
195	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
196	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
197	C₂×#117	—	53	2	no	—
198	C₂×#117	—	53	2	no	—
199	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
200	#427	—	53	1	no	—
201	#427	—	53	2	no	—
202	#427	—	53	2	no	—
203	#427	—	53	2	no	—
204	#427	—	106	4	no	—
205	#427	#6157	1	1	yes	characteristic, complemented
206	C₂×#107	—	53	2	no	—
207	C₂×#107	—	53	2	no	—
208	C₂×#106	—	53	2	no	—
209	C₂×#106	—	53	2	no	—
210	C₂×#97	—	53	2	no	—
211	C₂×#97	—	53	2	no	—
212	C₂×#97	—	106	4	no	—
213	#389	—	53	8	no	—
214	#385	—	106	4	no	—
215	C₄×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
216	#340	—	53	8	no	—
217	C₅₃	#21154	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
218	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
219	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
220	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
221	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
222	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
223	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
224	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
225	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
226	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
227	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
228	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
229	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
230	C₂²×C₈	—	106	1	no	—
231	C₂²×C₈	—	106	1	no	—
232	C₂²×C₈	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
233	#117	—	53	2	no	—
234	#117	—	53	4	no	—
235	#117	—	106	2	no	—
236	#117	—	106	2	no	—
237	#117	—	106	4	no	—
238	#117	—	106	4	no	—
239	#117	C₂×#6157	1	2	yes	—
240	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
243	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
244	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
245	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
246	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
247	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
248	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
249	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
250	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
251	#107	—	53	2	no	—
252	#107	—	53	4	no	—
253	#107	—	106	4	no	—
254	#107	C₂×#6157	1	2	yes	complemented
255	#106	—	53	2	no	—
256	#106	—	53	4	no	—
257	#106	—	106	4	no	—
258	#106	C₂×#6157	1	2	yes	complemented
259	#97	—	106	4	no	—
260	#97	—	106	4	no	—
261	#95	—	106	8	no	—
262	C₂⁴	—	53	1	no	—
263	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
264	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
267	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
268	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
271	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
272	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
277	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₈	—	53	4	no	—
279	C₂×C₈	—	53	1	no	—
280	C₂×C₈	—	53	1	no	—
281	C₂×C₈	—	53	2	no	—
282	C₂×C₈	—	53	2	no	—
283	C₂×C₈	—	53	4	no	—
284	C₂×C₈	—	53	4	no	—
285	C₂×C₈	—	53	2	no	—
286	C₂×C₈	—	53	2	no	—
287	C₂×C₈	—	53	4	no	—
288	C₂×C₈	—	106	4	no	—
289	C₂×C₈	—	106	2	no	—
290	C₂×C₈	—	106	2	no	—
291	C₂×C₈	—	106	4	no	—
292	C₂×C₈	C₄⋊#6157	1	4	yes	complemented
293	C₂×C₈	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₈	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
295	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	212	16	no	—
300	C₄⋊C₄	C₂²×#6157	1	4	yes	—
301	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
305	C₄²	—	2	2	no	—
306	C₄²	—	106	4	no	—
307	C₄²	—	106	2	no	—
308	C₄²	—	106	4	no	—
309	C₄²	—	106	2	no	—
310	C₄²	—	106	2	no	—
311	C₄²	—	212	4	no	—
312	C₂³	—	53	1	no	—
313	C₂³	—	53	2	no	—
314	C₂³	—	53	2	no	—
315	C₂³	—	53	1	no	—
316	C₂³	—	106	4	no	—
317	C₂³	D₄×#6157	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	53	2	no	—
320	C₂×C₄	—	53	2	no	—
321	C₂×C₄	—	53	1	no	—
322	C₂×C₄	—	53	1	no	—
323	C₂×C₄	—	53	2	no	—
324	C₂×C₄	—	53	2	no	—
325	C₂×C₄	—	53	2	no	—
326	C₂×C₄	—	53	2	no	—
327	C₂×C₄	—	53	2	no	—
328	C₂×C₄	—	53	1	no	—
329	C₂×C₄	—	53	1	no	—
330	C₂×C₄	—	53	2	no	—
331	C₂×C₄	—	53	1	no	—
332	C₂×C₄	—	53	1	no	—
333	C₂×C₄	—	106	4	no	—
334	C₂×C₄	—	106	8	no	—
335	C₂×C₄	—	106	4	no	—
336	C₂×C₄	—	212	8	no	—
337	C₂×C₄	—	212	4	no	—
338	C₂×C₄	—	212	8	no	—
339	C₂×C₄	—	212	8	no	—
340	C₂×C₄	C₂×C₄⋊#6157	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	D₄×#6157	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	Q₈×#6157	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂³×#6157	1	1	yes	characteristic
344	C₈	—	53	2	no	—
345	C₈	—	53	2	no	—
346	C₈	—	106	4	no	—
347	C₈	C₂×C₄⋊#6157	1	2	yes	—
348	C₈	C₂×C₄⋊#6157	1	2	yes	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	53	1	no	—
351	C₂²	—	53	1	no	—
352	C₂²	—	53	4	no	—
353	C₂²	—	53	2	no	—
354	C₂²	—	106	4	no	—
355	C₂²	—	106	4	no	—
356	C₂²	—	106	2	no	—
357	C₂²	#16811574	1	2	yes	—
358	C₂²	C₂×D₄×#6157	1	1	yes	characteristic
359	C₄	—	4	4	no	—
360	C₄	—	53	1	no	—
361	C₄	—	53	1	no	—
362	C₄	—	53	2	no	—
363	C₄	—	424	4	no	—
364	C₄	—	212	4	no	—
365	C₄	—	212	4	no	—
366	C₄	#16811574	1	2	yes	—
367	C₄	C₂²×C₄⋊#6157	1	1	yes	characteristic
368	C₄	C₂×Q₈×#6157	1	1	yes	characteristic
369	C₂	—	2	2	no	—
370	C₂	—	53	2	no	—
371	C₂	—	53	2	no	—
372	C₂	—	106	2	no	—
373	C₂	C₂×#16811574	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#20291469	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄×#6157
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂×C₄	C₂³×#6157
Fitting	C₅₃×#427	C₄
socle	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂³×D₅₃	C₂×D₄
cosocle	C₂×C₄×D₅₃	C₂⁴
hypercenter	#427	#6157
hypocenter	C₅₃	#21154
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄ ◁ #427

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #20290821	C₂	semidirect
5. #20290820	C₂	semidirect
23. #16810661	C₄	semidirect
24. #16810660	C₄	semidirect
25. #16810659	C₄	semidirect
26. #16810658	C₄	semidirect
29. C₅₃×#427	C₄	semidirect
66. #13133151	C₂×C₄	semidirect
67. #13133150	C₂×C₄	semidirect
68. #13133149	C₂×C₄	semidirect
69. #13133148	C₂×C₄	semidirect
72. #107×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
73. #106×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
103. C₂×C₈×C₅₃	C₄⋊C₄	semidirect
115. C₂×#88322	C₄⋊C₄	semidirect
118. C₈×D₅₃	C₄⋊C₄	semidirect
119. C₈×D₅₃	C₄⋊C₄	semidirect
205. #427	#6157	semidirect
217. C₅₃	#21154	semidirect
254. #107	C₂×#6157	semidirect
258. #106	C₂×#6157	semidirect
292. C₂×C₈	C₄⋊#6157	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811633	2
C₂²×#13133271	2
#20291175	2
#20290821	2
#20290820	2
#20290400	2
#427×D₅₃	2
#21154	53