Subgroups — #28320596

Order 13568.

686 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 416 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20290885	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20290885	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20290813	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20290812	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20290771	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20290768	C₂	1	2	yes	maximal
7	#20290503	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20290501	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#20290434	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₄²×#88324	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#20277186	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#13133284	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄⋊#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄⋊#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄⋊#88324	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#13133272	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#16811489	C₂²	1	2	yes	—
24	#16811489	C₂²	1	2	yes	—
25	#16811489	C₂²	1	2	yes	—
26	#16811489	C₂²	1	2	yes	—
27	#16811489	C₂²	1	2	yes	—
28	#16811489	C₂²	1	2	yes	—
29	#16811489	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#13133182	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#16810529	C₄	1	1	yes	characteristic
32	#16810528	C₄	1	1	yes	characteristic
33	#16810522	C₄	1	1	yes	characteristic
34	#16810510	C₄	1	2	yes	—
35	#16810504	C₄	1	2	yes	—
36	C₄⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
37	C₄⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#16810468	C₂²	1	2	yes	—
39	C₄²×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₅₃×#389	C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×#88324	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×#88324	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×#88324	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×#88324	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×#88324	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×#88324	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	#13133284	—	2	4	no	—
48	C₄⋊#88324	—	2	2	no	—
49	C₄⋊#88324	—	2	2	no	—
50	C₄⋊#88324	—	2	4	no	—
51	#13133272	—	2	4	no	—
52	C₄×#88324	—	2	2	no	—
53	C₄×#88324	—	2	2	no	—
54	C₄×#88324	—	2	2	no	—
55	C₄×#88324	—	2	2	no	—
56	C₄×#88324	—	2	2	no	—
57	C₄×#88324	Q₈	1	4	yes	complemented
58	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	#13133182	—	2	2	no	—
60	#13133182	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
94	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
97	C₂×#88324	—	2	1	no	—
98	C₂×#88324	—	2	1	no	—
99	C₂×#88324	—	2	1	no	—
100	C₂×#88324	—	2	1	no	—
101	C₂×#88324	—	2	1	no	—
102	C₂×#88324	—	2	1	no	—
103	C₂×#88324	—	2	1	no	—
104	C₂×#88324	—	2	1	no	—
105	C₂×#88324	—	2	2	no	—
106	C₂×#88324	—	2	2	no	—
107	C₂×#88324	—	2	2	no	—
108	C₂×#88324	—	2	2	no	—
109	C₂×#88324	—	2	2	no	—
110	C₂×#88324	—	2	2	no	—
111	C₂×#88324	C₂×Q₈	1	2	yes	—
112	C₂×#88324	C₂×Q₈	1	2	yes	—
113	C₂×#88324	#41	1	2	yes	—
114	C₂×#88324	#41	1	2	yes	—
115	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
117	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
120	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
121	#11719919	—	2	4	no	—
122	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
123	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
124	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
125	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
126	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
127	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
128	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
129	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
130	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
131	C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
132	C₄×Dic₅₃	#41	1	2	yes	—
133	C₄×Dic₅₃	#41	1	2	yes	—
134	C₄×Dic₅₃	#41	1	2	yes	—
135	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	2	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	C₄×Q₈	1	2	yes	—
148	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	2	yes	—
149	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	2	yes	—
150	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	2	yes	—
151	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
158	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
159	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
160	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
161	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
162	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
163	C₂×Dic₅₃	#117	1	2	yes	—
164	C₂×Dic₅₃	C₄×Q₈	1	2	yes	—
165	C₂×Dic₅₃	#131	1	2	yes	—
166	C₂×Dic₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
167	C₂×Dic₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
168	C₂×Dic₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
169	C₂×Dic₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
170	C₂×Dic₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
171	C₂×Dic₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
172	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
173	#88324	—	2	2	no	—
174	#88324	—	2	2	no	—
175	#88324	—	2	2	no	—
176	#88324	—	2	2	no	—
177	#88324	—	4	2	no	—
178	#88324	—	4	2	no	—
179	#21341	—	53	1	no	maximal, Sylow
180	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₅₃	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
187	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
188	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
189	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
190	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
191	C₄×C₅₃	#433	1	4	yes	—
192	Dic₅₃	—	2	2	no	—
193	Dic₅₃	—	2	2	no	—
194	Dic₅₃	—	2	2	no	—
195	Dic₅₃	—	4	2	no	—
196	Dic₅₃	—	4	2	no	—
197	Dic₅₃	#529	1	1	yes	characteristic
198	Dic₅₃	#529	1	1	yes	characteristic
199	Dic₅₃	#533	1	1	yes	characteristic
200	Dic₅₃	#533	1	1	yes	characteristic
201	#2295	—	53	1	no	—
202	#1984	—	53	1	no	—
203	#1984	—	53	1	no	—
204	#1939	—	53	1	no	—
205	#1939	—	53	1	no	—
206	#1916	—	53	2	no	—
207	#1916	—	53	2	no	—
208	#1768	—	53	2	no	—
209	#1767	—	53	1	no	—
210	#1746	—	53	2	no	—
211	C₄²×C₈	—	53	1	no	—
212	C₂×C₅₃	#2295	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₅₃	C₂×#433	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₅₃	#2922	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₅₃	#2960	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₅₃	#2960	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₅₃	#2966	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₅₃	#2966	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
220	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
221	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
222	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
223	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
224	C₂×#97	—	53	2	no	—
225	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
226	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
227	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
228	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
229	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
230	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
231	#391	—	53	1	no	—
232	#391	—	53	1	no	—
233	#389	—	53	1	no	—
234	#389	#6157	1	1	yes	characteristic
235	#387	—	53	2	no	—
236	#387	—	53	2	no	—
237	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
238	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
239	#376	—	53	2	no	—
240	C₄³	—	53	1	no	—
241	#336	—	53	2	no	—
242	#336	—	53	2	no	—
243	#336	—	53	2	no	—
244	#336	—	53	2	no	—
245	#336	—	53	2	no	—
246	#336	—	53	2	no	—
247	#336	—	53	2	no	—
248	C₅₃	#21341	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
249	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
250	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
251	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
252	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
253	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
254	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
255	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
256	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
257	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
258	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
259	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
260	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
261	C₂×C₄⋊C₄	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₄⋊C₄	C₂×#6157	1	2	yes	—
263	C₂×C₄⋊C₄	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
265	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
266	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
267	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
268	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
269	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
270	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
271	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
272	C₂×C₄²	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
273	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
274	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
275	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
276	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
277	#97	—	106	4	no	—
278	C₄×C₈	—	53	4	no	—
279	C₄×C₈	—	106	2	no	—
280	C₄×C₈	—	106	2	no	—
281	C₄×C₈	—	106	2	no	—
282	C₄×C₈	—	106	2	no	—
283	C₄×C₈	—	106	2	no	—
284	#95	—	53	2	no	—
285	#95	—	53	2	no	—
286	#95	—	53	2	no	—
287	#95	—	53	2	no	—
288	#95	—	53	2	no	—
289	#95	—	53	2	no	—
290	#95	C₂×#6157	1	2	yes	—
291	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
292	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
293	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
294	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
295	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
296	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
297	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
298	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
299	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
300	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	2	yes	—
301	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	2	yes	—
302	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
303	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
304	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₈	—	53	2	no	—
306	C₂×C₈	—	53	2	no	—
307	C₂×C₈	—	53	2	no	—
308	C₂×C₈	—	53	2	no	—
309	C₂×C₈	—	106	1	no	—
310	C₂×C₈	—	106	1	no	—
311	C₂×C₈	—	106	1	no	—
312	C₂×C₈	—	106	1	no	—
313	C₂×C₈	—	106	1	no	—
314	C₂×C₈	—	106	1	no	—
315	C₂×C₈	—	106	1	no	—
316	C₂×C₈	—	106	1	no	—
317	C₂×C₈	—	106	2	no	—
318	C₂×C₈	—	106	2	no	—
319	C₂×C₈	—	106	2	no	—
320	C₂×C₈	—	106	2	no	—
321	C₂×C₈	—	106	2	no	—
322	C₂×C₈	—	106	2	no	—
323	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
324	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
325	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
326	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
327	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
328	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
329	C₄²	—	2	2	no	—
330	C₄²	—	53	2	no	—
331	C₄²	—	53	2	no	—
332	C₄²	—	53	2	no	—
333	C₄²	—	53	2	no	—
334	C₄²	—	106	1	no	—
335	C₄²	—	106	1	no	—
336	C₄²	—	106	2	no	—
337	C₄²	—	106	2	no	—
338	C₄²	—	106	2	no	—
339	C₄²	—	106	2	no	—
340	C₄²	—	106	2	no	—
341	C₄²	—	106	2	no	—
342	C₄²	—	106	2	no	—
343	C₂³	C₂³×#6157	1	1	yes	characteristic
344	Q₈	—	212	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	1	no	—
346	C₂×C₄	—	2	1	no	—
347	C₂×C₄	—	2	1	no	—
348	C₂×C₄	—	2	1	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	53	1	no	—
356	C₂×C₄	—	53	1	no	—
357	C₂×C₄	—	53	1	no	—
358	C₂×C₄	—	53	1	no	—
359	C₂×C₄	—	53	1	no	—
360	C₂×C₄	—	53	1	no	—
361	C₂×C₄	—	53	2	no	—
362	C₂×C₄	—	53	2	no	—
363	C₂×C₄	—	53	2	no	—
364	C₂×C₄	—	106	1	no	—
365	C₂×C₄	—	106	1	no	—
366	C₂×C₄	—	106	1	no	—
367	C₂×C₄	—	106	1	no	—
368	C₂×C₄	—	106	1	no	—
369	C₂×C₄	—	106	1	no	—
370	C₂×C₄	—	106	2	no	—
371	C₂×C₄	—	106	2	no	—
372	C₂×C₄	—	106	2	no	—
373	C₂×C₄	—	106	2	no	—
374	C₂×C₄	—	106	2	no	—
375	C₂×C₄	—	106	2	no	—
376	C₂×C₄	#13133296	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	Q₈×#6157	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	#13133304	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#13133304	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#13133305	1	2	yes	—
381	C₈	—	106	2	no	—
382	C₈	—	106	2	no	—
383	C₈	—	106	2	no	—
384	C₈	—	106	2	no	—
385	C₈	—	212	2	no	—
386	C₈	—	212	2	no	—
387	C₂²	C₂×#13133296	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	C₂×Q₈×#6157	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	#41×#6157	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	C₂×#13133304	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	C₂×#13133304	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	D₅₃⋊#131	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	C₂×#13133305	1	1	yes	characteristic
394	C₄	—	2	2	no	—
395	C₄	—	2	2	no	—
396	C₄	—	4	2	no	—
397	C₄	—	4	2	no	—
398	C₄	—	53	1	no	—
399	C₄	—	53	1	no	—
400	C₄	—	53	1	no	—
401	C₄	—	53	1	no	—
402	C₄	—	106	2	no	—
403	C₄	—	106	2	no	—
404	C₄	—	106	2	no	—
405	C₄	—	212	2	no	—
406	C₄	—	212	2	no	—
407	C₄	#16811648	1	4	yes	—
408	C₂	#20291174	1	1	yes	characteristic
409	C₂	C₂×#16811648	1	1	yes	characteristic
410	C₂	#20291399	1	1	yes	characteristic
411	C₂	#20291503	1	1	yes	characteristic
412	C₂	#20291504	1	1	yes	characteristic
413	C₂	#20291528	1	1	yes	characteristic
414	C₂	#20291532	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×#6157
commutator, socle, prime radical	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₅₃×#389	C₄
cosocle	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴
hypercenter	#389	#6157
hypocenter	C₅₃	#21341
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #389

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
57. C₄×#88324	Q₈	semidirect
248. C₅₃	#21341	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20290885	2
#20290813	2
#20290812	2
#20290771	2
#20290768	2
#20290503	2
#20290501	2
#20290434	2
C₄²×#88324	2
#20277186	2
#21341	53