Subgroups — #120×#88324 #28320902

Order 13568.

1786 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 308 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×#88324	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×D₄×#88324	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#20290688	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
4	#20290658	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	#20290537	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²⋊C₄×#88324	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#120×Dic₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂³×#88324	—	2	12	no	—
9	C₂³×#88324	C₂²	1	3	yes	—
10	C₂³×#88324	C₂²	1	3	yes	—
11	C₂³×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
12	D₄×#88324	—	2	12	no	—
13	C₂×C₄⋊#88324	C₂²	1	3	yes	complemented
14	C₂×C₂²⋊#88324	C₂²	1	3	yes	—
15	C₂×C₂²⋊#88324	C₂²	1	3	yes	—
16	C₂×C₂²⋊#88324	C₂²	1	3	yes	complemented
17	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	3	yes	complemented
18	#16811489	C₂²	1	6	yes	complemented
19	C₂⁴×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×D₄×Dic₅₃	C₂²	1	3	yes	—
21	#16810503	C₄	1	3	yes	—
22	#16810498	C₄	1	3	yes	—
23	#16810479	C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂²⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	3	yes	—
25	C₂×#120×C₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×#88324	—	2	32	no	—
27	C₂²×#88324	—	2	6	no	—
28	C₂²×#88324	—	2	12	no	—
29	C₂²×#88324	—	2	12	no	—
30	C₂²×#88324	—	2	6	no	—
31	C₂²×#88324	D₄	1	12	yes	complemented
32	C₂²×#88324	C₂³	1	3	yes	—
33	C₂²×#88324	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×#88324	C₂³	1	3	yes	—
35	C₂²×#88324	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₄⋊#88324	—	2	6	no	—
37	C₂²⋊#88324	—	2	6	no	—
38	C₂²⋊#88324	—	2	6	no	—
39	C₂²⋊#88324	—	2	6	no	—
40	C₄×#88324	—	2	6	no	—
41	C₂³×Dic₅₃	—	2	6	no	—
42	C₂³×Dic₅₃	—	2	6	no	—
43	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	3	yes	—
44	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	3	yes	—
46	D₄×Dic₅₃	—	2	6	no	—
47	D₄×Dic₅₃	—	2	6	no	—
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	3	yes	—
49	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	3	yes	—
50	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	3	yes	—
51	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	3	yes	—
52	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	3	yes	—
53	#13133124	C₂×C₄	1	6	yes	—
54	C₂⁵×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×D₄×C₅₃	C₂×C₄	1	3	yes	—
56	#120×C₅₃	C₈	1	8	yes	complemented
57	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	3	yes	—
58	C₂⁴×C₅₃	—	2	6	no	—
59	C₂⁴×C₅₃	—	2	6	no	—
60	C₂⁴×C₅₃	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
61	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	3	yes	—
63	C₂×D₄×C₅₃	—	2	6	no	—
64	C₂×D₄×C₅₃	—	2	6	no	—
65	C₂×D₄×C₅₃	C₂×C₈	1	12	yes	complemented
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	3	yes	—
67	C₂²×Dic₅₃	—	2	24	no	—
68	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
69	C₂²×Dic₅₃	—	2	6	no	—
70	C₂²×Dic₅₃	—	2	12	no	—
71	C₂²×Dic₅₃	—	2	6	no	—
72	C₂²×Dic₅₃	—	2	6	no	—
73	C₂²×Dic₅₃	—	2	3	no	—
74	C₂²×Dic₅₃	—	2	3	no	—
75	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	3	yes	—
76	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	3	yes	—
78	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
79	C₂²×Dic₅₃	#41	1	6	yes	—
80	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
81	C₂×#88324	—	2	24	no	—
82	C₂×#88324	—	2	6	no	—
83	C₂×#88324	—	2	24	no	—
84	C₂×#88324	—	2	3	no	—
85	C₂×#88324	—	2	3	no	—
86	C₂×#88324	—	2	6	no	—
87	C₂×#88324	—	4	4	no	—
88	C₂×#88324	C₂×D₄	1	6	yes	—
89	C₂×#88324	C₂×D₄	1	6	yes	—
90	C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₈	1	12	yes	complemented
91	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	6	no	—
92	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	6	no	—
93	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	6	no	—
94	C₄⋊Dic₅₃	—	2	6	no	—
95	C₄×Dic₅₃	—	2	3	no	—
96	C₄×Dic₅₃	—	2	3	no	—
97	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
98	C₂³×C₅₃	—	2	24	no	—
99	C₂³×C₅₃	—	2	6	no	—
100	C₂³×C₅₃	—	2	6	no	—
101	C₂³×C₅₃	—	2	24	no	—
102	C₂³×C₅₃	—	2	3	no	—
103	C₂³×C₅₃	—	2	3	no	—
104	C₂³×C₅₃	C₄×D₄	1	6	yes	—
105	C₂³×C₅₃	C₂²×C₈	1	6	yes	—
106	C₂³×C₅₃	C₂²×C₈	1	2	yes	complemented
107	C₂³×C₅₃	#131	1	6	yes	—
108	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
109	D₄×C₅₃	—	2	24	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	3	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	3	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×C₈	1	6	yes	complemented
113	C₂×Dic₅₃	—	2	24	no	—
114	C₂×Dic₅₃	—	2	6	no	—
115	C₂×Dic₅₃	—	2	6	no	—
116	C₂×Dic₅₃	—	2	6	no	—
117	C₂×Dic₅₃	—	2	12	no	—
118	C₂×Dic₅₃	—	2	3	no	—
119	C₂×Dic₅₃	—	2	3	no	—
120	C₂×Dic₅₃	—	2	6	no	—
121	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
122	C₂×Dic₅₃	—	4	3	no	—
123	C₂×Dic₅₃	C₄×D₄	1	6	yes	—
124	C₂×Dic₅₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
125	C₂×Dic₅₃	C₂×#41	1	3	yes	—
126	#88324	—	2	6	no	—
127	#88324	—	4	1	no	—
128	#88324	—	4	3	no	—
129	#88324	#120	1	4	yes	direct product factor
130	C₈×#120	—	53	1	no	maximal, Sylow
131	C₂²×C₅₃	—	2	32	no	—
132	C₂²×C₅₃	—	2	12	no	—
133	C₂²×C₅₃	—	2	6	no	—
134	C₂²×C₅₃	—	2	12	no	—
135	C₂²×C₅₃	—	2	6	no	—
136	C₂²×C₅₃	—	2	6	no	—
137	C₂²×C₅₃	—	4	3	no	—
138	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
139	C₂²×C₅₃	C₈×D₄	1	12	yes	complemented
140	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	3	yes	—
141	C₂²×C₅₃	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	3	yes	—
143	C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
144	Dic₅₃	—	2	6	no	—
145	Dic₅₃	—	4	3	no	—
146	Dic₅₃	—	4	1	no	—
147	Dic₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
148	Dic₅₃	#525	1	3	yes	—
149	C₂⁴×C₈	—	53	1	no	—
150	C₂×C₈×D₄	—	53	3	no	—
151	C₄×#120	—	53	1	no	—
152	#1869	—	53	3	no	—
153	#1850	—	53	3	no	—
154	#1779	—	53	1	no	—
155	C₈×C₂²⋊C₄	—	53	3	no	—
156	C₂×C₅₃	—	2	12	no	—
157	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
158	C₂×C₅₃	C₄×#120	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₅₃	C₂×C₈×D₄	1	3	yes	—
160	C₂×C₅₃	#2929	1	3	yes	—
161	C₂⁴×C₄	—	53	1	no	—
162	C₂³×C₈	—	53	3	no	—
163	C₂³×C₈	—	53	3	no	—
164	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
165	C₂³×C₈	—	106	12	no	—
166	C₂×#120	#6157	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄×D₄	—	53	3	no	—
168	C₈×D₄	—	106	12	no	—
169	C₂×C₄⋊C₈	—	53	3	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	3	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	3	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	3	no	—
173	C₂×C₄×C₈	—	53	3	no	—
174	#386	—	53	3	no	—
175	#385	—	53	3	no	—
176	#379	—	53	1	no	—
177	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	3	no	—
178	#336	—	53	6	no	—
179	C₅₃	C₈×#120	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
180	C₂⁵	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×D₄	C₂×#6157	1	3	yes	—
182	C₂³×C₄	—	53	3	no	—
183	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
184	C₂³×C₄	—	53	3	no	—
185	C₂³×C₄	—	106	6	no	—
186	C₂³×C₄	—	106	6	no	—
187	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
188	C₂²×C₈	—	53	3	no	—
189	C₂²×C₈	—	53	12	no	—
190	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
191	C₂²×C₈	—	53	3	no	—
192	C₂²×C₈	—	106	12	no	—
193	C₂²×C₈	—	106	12	no	—
194	C₂²×C₈	—	106	6	no	—
195	C₂²×C₈	—	106	6	no	—
196	C₂²×C₈	—	106	32	no	—
197	#120	#88324	1	8	yes	direct product factor
198	C₄×D₄	—	106	6	no	—
199	C₄×D₄	—	106	6	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	53	3	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	3	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	3	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	3	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×#6157	1	3	yes	—
205	C₂×C₄²	—	53	3	no	—
206	C₄⋊C₈	—	106	6	no	—
207	C₂²⋊C₈	—	106	6	no	—
208	C₂²⋊C₈	—	106	6	no	—
209	C₂²⋊C₈	—	106	6	no	—
210	C₄×C₈	—	106	6	no	—
211	#95	—	53	6	no	—
212	C₂⁴	—	2	6	no	—
213	C₂⁴	—	2	6	no	—
214	C₂⁴	C₂×#88324	1	4	yes	complemented
215	C₂⁴	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
216	C₂⁴	C₂²×#6157	1	3	yes	—
217	C₂×D₄	—	2	6	no	—
218	C₂×D₄	—	2	6	no	—
219	C₂×D₄	C₂×#88324	1	12	yes	complemented
220	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	53	6	no	—
222	C₂²×C₄	—	53	6	no	—
223	C₂²×C₄	—	53	3	no	—
224	C₂²×C₄	—	53	3	no	—
225	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	106	6	no	—
227	C₂²×C₄	—	106	6	no	—
228	C₂²×C₄	—	106	12	no	—
229	C₂²×C₄	—	106	3	no	—
230	C₂²×C₄	—	106	3	no	—
231	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
232	C₂²×C₄	—	106	24	no	—
233	C₂²×C₄	—	106	6	no	—
234	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	3	yes	—
235	C₂×C₈	—	53	6	no	—
236	C₂×C₈	—	53	6	no	—
237	C₂×C₈	—	106	24	no	—
238	C₂×C₈	—	106	6	no	—
239	C₂×C₈	—	106	24	no	—
240	C₂×C₈	—	106	3	no	—
241	C₂×C₈	—	106	3	no	—
242	C₂×C₈	—	106	6	no	—
243	C₂×C₈	—	212	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	106	6	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	106	6	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	106	6	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	106	6	no	—
248	C₂²⋊C₄	C₂×#88324	1	12	yes	complemented
249	C₄²	—	106	3	no	—
250	C₄²	—	106	3	no	—
251	C₂³	—	2	8	no	—
252	C₂³	—	2	24	no	—
253	C₂³	—	2	24	no	—
254	C₂³	—	2	6	no	—
255	C₂³	—	2	6	no	—
256	C₂³	—	2	3	no	—
257	C₂³	—	2	3	no	—
258	C₂³	D₄×#6157	1	6	yes	—
259	C₂³	C₂²×#88324	1	6	yes	—
260	C₂³	C₂²×#88324	1	2	yes	complemented
261	C₂³	#13133304	1	6	yes	—
262	C₂³	C₂³×#6157	1	1	yes	characteristic
263	D₄	—	2	24	no	—
264	C₂×C₄	—	2	3	no	—
265	C₂×C₄	—	2	3	no	—
266	C₂×C₄	—	53	3	no	—
267	C₂×C₄	—	53	3	no	—
268	C₂×C₄	—	53	6	no	—
269	C₂×C₄	—	106	6	no	—
270	C₂×C₄	—	106	6	no	—
271	C₂×C₄	—	106	12	no	—
272	C₂×C₄	—	106	24	no	—
273	C₂×C₄	—	106	6	no	—
274	C₂×C₄	—	106	3	no	—
275	C₂×C₄	—	106	3	no	—
276	C₂×C₄	—	106	6	no	—
277	C₂×C₄	—	212	1	no	—
278	C₂×C₄	—	212	3	no	—
279	C₂×C₄	C₂²×#88324	1	6	yes	complemented
280	C₈	—	53	4	no	—
281	C₈	—	106	6	no	—
282	C₈	—	212	3	no	—
283	C₈	—	212	1	no	—
284	C₂²	—	2	32	no	—
285	C₂²	—	2	12	no	—
286	C₂²	—	2	6	no	—
287	C₂²	—	2	12	no	—
288	C₂²	—	2	6	no	—
289	C₂²	—	2	6	no	—
290	C₂²	—	4	3	no	—
291	C₂²	—	4	1	no	—
292	C₂²	D₄×#88324	1	12	yes	complemented
293	C₂²	C₂×D₄×#6157	1	3	yes	—
294	C₂²	C₂³×#88324	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	C₂×#13133304	1	3	yes	—
296	C₄	—	2	6	no	—
297	C₄	—	53	1	no	—
298	C₄	—	53	3	no	—
299	C₄	—	106	6	no	—
300	C₄	—	212	3	no	—
301	C₄	—	212	1	no	—
302	C₂	—	2	12	no	—
303	C₂	—	4	2	no	—
304	C₂	#120×#6157	1	1	yes	characteristic
305	C₂	C₂×D₄×#88324	1	3	yes	—
306	C₂	#20291430	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×#6157
commutator	C₂²×C₅₃	C₂³×C₈
Fitting, prime radical	C₂×#120×C₅₃	C₄
socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
cosocle	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×#120	#6157
hypocenter	C₅₃	C₈×#120
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#120

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂⁴×#88324	C₂	semidirect
2. C₂×D₄×#88324	C₂	semidirect
3. #20290688	C₂	semidirect
4. #20290658	C₂	semidirect
5. #20290537	C₂	semidirect
6. C₂²⋊C₄×#88324	C₂	semidirect
11. C₂³×#88324	C₂²	semidirect
13. C₂×C₄⋊#88324	C₂²	semidirect
16. C₂×C₂²⋊#88324	C₂²	semidirect
17. C₂×C₄×#88324	C₂²	semidirect
18. #16811489	C₂²	semidirect
31. C₂²×#88324	D₄	semidirect
56. #120×C₅₃	C₈	semidirect
60. C₂⁴×C₅₃	C₂×C₈	semidirect
65. C₂×D₄×C₅₃	C₂×C₈	semidirect
90. C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₈	semidirect
106. C₂³×C₅₃	C₂²×C₈	semidirect
112. C₂×C₄×C₅₃	C₂²×C₈	semidirect
129. #88324	#120	direct (N × H)
139. C₂²×C₅₃	C₈×D₄	semidirect
179. C₅₃	C₈×#120	semidirect
197. #120	#88324	direct (N × H)
214. C₂⁴	C₂×#88324	semidirect
219. C₂×D₄	C₂×#88324	semidirect
248. C₂²⋊C₄	C₂×#88324	semidirect
260. C₂³	C₂²×#88324	semidirect
279. C₂×C₄	C₂²×#88324	semidirect
292. C₂²	D₄×#88324	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×#88324	2
C₂×D₄×#88324	2
#20290688	2
#20290658	2
#20290537	2
C₂²⋊C₄×#88324	2
#120×Dic₅₃	2
C₈×#120	53