Subgroups — #124×#88324 #28321426

Order 13568.

974 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 368 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈×#88324	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×D₄×#88324	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20290884	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20290836	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20290784	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20290630	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²⋊C₄×#88324	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₄²×#88324	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#124×Dic₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂³×#88324	C₂²	1	2	yes	—
11	Q₈×#88324	—	2	4	no	—
12	D₄×#88324	—	2	4	no	—
13	C₂×C₄⋊#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄⋊#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄⋊#88324	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₂²⋊#88324	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×C₂²⋊#88324	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#16811489	C₂²	1	4	yes	—
24	#16811489	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×Q₈×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×D₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#16810530	C₄	1	1	yes	characteristic
28	#16810526	C₄	1	1	yes	characteristic
29	#16810516	C₄	1	4	yes	—
30	#16810489	C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂²⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
32	C₄²×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#124×C₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×#88324	—	2	4	no	—
35	C₂²×#88324	—	2	8	no	—
36	C₂²×#88324	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×#88324	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×#88324	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×#88324	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×#88324	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₄⋊#88324	—	2	2	no	—
42	C₄⋊#88324	—	2	2	no	—
43	C₄⋊#88324	—	2	4	no	—
44	C₂²⋊#88324	—	2	4	no	—
45	C₂²⋊#88324	—	2	8	no	—
46	C₄×#88324	—	2	2	no	—
47	C₄×#88324	—	2	4	no	—
48	C₄×#88324	—	2	4	no	—
49	C₄×#88324	—	2	4	no	—
50	C₄×#88324	D₄	1	4	yes	—
51	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
52	Q₈×Dic₅₃	—	2	2	no	—
53	Q₈×Dic₅₃	—	2	2	no	—
54	D₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
55	D₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×D₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	#124×C₅₃	C₈	1	8	yes	complemented
71	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
77	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂×D₄×C₅₃	C₂×C₈	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
86	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
87	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
91	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
92	C₂×#88324	—	2	2	no	—
93	C₂×#88324	—	2	2	no	—
94	C₂×#88324	—	2	2	no	—
95	C₂×#88324	—	2	2	no	—
96	C₂×#88324	—	2	2	no	—
97	C₂×#88324	—	2	4	no	—
98	C₂×#88324	—	2	4	no	—
99	C₂×#88324	—	4	8	no	—
100	C₂×#88324	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂×#88324	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂×#88324	#41	1	4	yes	—
103	C₂×#88324	#41	1	4	yes	—
104	C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
105	C₄²×C₅₃	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
106	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
107	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
108	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
109	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
111	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
113	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
114	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
115	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
117	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₄×Dic₅₃	#41	1	2	yes	—
119	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
121	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
123	C₂³×C₅₃	C₂²×C₈	1	4	yes	—
124	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
125	Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
126	D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×C₈	1	4	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×C₈	1	4	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×C₈	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	2	yes	—
136	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
146	C₂×Dic₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
147	C₂×Dic₅₃	#131	1	4	yes	—
148	C₂×Dic₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×Dic₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
150	C₂×Dic₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
151	C₂×Dic₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
152	#88324	—	2	4	no	—
153	#88324	—	2	2	no	—
154	#88324	—	4	2	no	—
155	#88324	—	4	2	no	—
156	#88324	#124	1	4	yes	direct product factor
157	C₈×#124	—	53	1	no	maximal, Sylow
158	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
161	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
162	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
163	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₅₃	C₄×#41	1	2	yes	—
165	C₂²×C₅₃	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
168	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
169	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
170	C₄×C₅₃	C₈×D₄	1	4	yes	—
171	Dic₅₃	—	2	2	no	—
172	Dic₅₃	—	2	4	no	—
173	Dic₅₃	—	4	2	no	—
174	Dic₅₃	—	4	2	no	—
175	Dic₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
176	Dic₅₃	#529	1	2	yes	—
177	Dic₅₃	#532	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₈×Q₈	—	53	1	no	—
179	C₂×C₈×D₄	—	53	1	no	—
180	C₄×#124	—	53	1	no	—
181	#1984	—	53	1	no	—
182	#1954	—	53	1	no	—
183	#1923	—	53	4	no	—
184	#1831	—	53	1	no	—
185	C₈×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
186	C₄²×C₈	—	53	1	no	—
187	C₂×C₅₃	—	4	4	no	—
188	C₂×C₅₃	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₅₃	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₅₃	#2931	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₅₃	C₈×#41	1	2	yes	—
192	C₂×C₅₃	#2966	1	2	yes	—
193	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
194	C₂×#124	#6157	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
196	C₂×C₄×D₄	—	53	1	no	—
197	C₈×Q₈	—	106	4	no	—
198	C₈×D₄	—	106	4	no	—
199	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
200	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
201	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
204	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
205	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
206	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
207	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
208	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
209	#391	—	53	1	no	—
210	#390	—	53	1	no	—
211	#388	—	53	4	no	—
212	#382	—	53	1	no	—
213	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
214	C₄³	—	53	1	no	—
215	#336	—	53	4	no	—
216	#336	—	53	4	no	—
217	C₅₃	C₈×#124	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
218	C₂²×Q₈	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×D₄	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
220	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
221	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
222	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
223	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
224	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
225	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
226	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
227	C₂²×C₈	—	106	8	no	—
228	#124	#88324	1	8	yes	direct product factor
229	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
230	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
231	C₄×D₄	—	106	2	no	—
232	C₄×D₄	—	106	2	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
234	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
235	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
236	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
237	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
238	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×#6157	1	4	yes	—
239	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
240	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
241	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
242	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
243	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
244	C₂×C₄²	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
245	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
246	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
247	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
248	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
249	C₂²⋊C₈	—	106	8	no	—
250	C₄×C₈	—	53	4	no	—
251	C₄×C₈	—	106	2	no	—
252	C₄×C₈	—	106	4	no	—
253	C₄×C₈	—	106	4	no	—
254	C₄×C₈	—	106	4	no	—
255	#95	—	53	4	no	—
256	#95	—	53	4	no	—
257	C₂⁴	C₂²×#6157	1	2	yes	—
258	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
259	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
260	C₂×Q₈	C₂×#88324	1	4	yes	complemented
261	C₂×D₄	—	2	2	no	—
262	C₂×D₄	—	2	2	no	—
263	C₂×D₄	C₂×#88324	1	4	yes	—
264	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
265	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
267	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
273	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₈	—	53	2	no	—
277	C₂×C₈	—	53	4	no	—
278	C₂×C₈	—	53	2	no	—
279	C₂×C₈	—	53	4	no	—
280	C₂×C₈	—	106	2	no	—
281	C₂×C₈	—	106	2	no	—
282	C₂×C₈	—	106	2	no	—
283	C₂×C₈	—	106	2	no	—
284	C₂×C₈	—	106	2	no	—
285	C₂×C₈	—	106	4	no	—
286	C₂×C₈	—	106	4	no	—
287	C₂×C₈	—	212	8	no	—
288	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
293	C₂²⋊C₄	C₂×#88324	1	16	yes	complemented
294	C₄²	—	53	2	no	—
295	C₄²	—	53	2	no	—
296	C₄²	—	106	2	no	—
297	C₄²	—	106	2	no	—
298	C₄²	—	106	2	no	—
299	C₄²	—	106	2	no	—
300	C₄²	—	106	4	no	—
301	C₄²	—	106	2	no	—
302	C₄²	C₂×#88324	1	4	yes	complemented
303	C₂³	—	2	2	no	—
304	C₂³	—	2	4	no	—
305	C₂³	—	2	2	no	—
306	C₂³	—	2	4	no	—
307	C₂³	C₂²×#88324	1	4	yes	—
308	C₂³	C₂³×#6157	1	1	yes	characteristic
309	Q₈	—	2	8	no	—
310	D₄	—	2	8	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	53	1	no	—
316	C₂×C₄	—	53	1	no	—
317	C₂×C₄	—	53	2	no	—
318	C₂×C₄	—	53	2	no	—
319	C₂×C₄	—	53	2	no	—
320	C₂×C₄	—	53	4	no	—
321	C₂×C₄	—	106	2	no	—
322	C₂×C₄	—	106	2	no	—
323	C₂×C₄	—	106	2	no	—
324	C₂×C₄	—	106	2	no	—
325	C₂×C₄	—	106	2	no	—
326	C₂×C₄	—	106	4	no	—
327	C₂×C₄	—	106	4	no	—
328	C₂×C₄	—	212	2	no	—
329	C₂×C₄	—	212	2	no	—
330	C₂×C₄	—	212	4	no	—
331	C₂×C₄	D₄×#6157	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂²×#88324	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	C₂²×#88324	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	C₂²×#88324	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#13133304	1	2	yes	—
336	C₈	—	53	4	no	—
337	C₈	—	106	2	no	—
338	C₈	—	106	4	no	—
339	C₈	—	212	2	no	—
340	C₈	—	212	2	no	—
341	C₂²	—	2	4	no	—
342	C₂²	—	2	8	no	—
343	C₂²	—	4	2	no	—
344	C₂²	—	4	2	no	—
345	C₂²	—	4	4	no	—
346	C₂²	C₂×D₄×#6157	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#41×#6157	1	2	yes	—
348	C₂²	C₂³×#88324	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂×#13133304	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	D₅₃⋊#131	1	2	yes	—
351	C₄	—	2	4	no	—
352	C₄	—	2	4	no	—
353	C₄	—	53	1	no	—
354	C₄	—	53	1	no	—
355	C₄	—	53	2	no	—
356	C₄	—	106	2	no	—
357	C₄	—	106	4	no	—
358	C₄	—	212	2	no	—
359	C₄	—	212	2	no	—
360	C₄	D₄×#88324	1	4	yes	—
361	C₂	—	4	4	no	—
362	C₂	#124×#6157	1	1	yes	characteristic
363	C₂	C₂×D₄×#88324	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#20291439	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#41×#88324	1	2	yes	—
366	C₂	#20291529	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×#6157
commutator	C₂²×C₅₃	C₂³×C₈
Fitting	C₂×#124×C₅₃	C₄
socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
prime radical	C₂²×D₄×C₅₃	C₂×C₄
cosocle	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×#124	#6157
hypocenter	C₅₃	C₈×#124
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#124

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×Q₈×#88324	C₂	semidirect
3. #20290884	C₂	semidirect
5. #20290784	C₂	semidirect
6. #20290630	C₂	semidirect
7. C₂²⋊C₄×#88324	C₂	semidirect
8. C₄²×#88324	C₂	semidirect
70. #124×C₅₃	C₈	semidirect
76. C₂×Q₈×C₅₃	C₂×C₈	semidirect
104. C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₈	semidirect
105. C₄²×C₅₃	C₂×C₈	semidirect
156. #88324	#124	direct (N × H)
217. C₅₃	C₈×#124	semidirect
228. #124	#88324	direct (N × H)
260. C₂×Q₈	C₂×#88324	semidirect
293. C₂²⋊C₄	C₂×#88324	semidirect
302. C₄²	C₂×#88324	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈×#88324	2
C₂×D₄×#88324	2
#20290884	2
#20290836	2
#20290784	2
#20290630	2
C₂²⋊C₄×#88324	2
C₄²×#88324	2
#124×Dic₅₃	2
C₈×#124	53