Subgroups — #28323401

Order 13568.

938 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20291207	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20291206	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20290847	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20290846	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20290711	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20290708	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20290637	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20290433	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#492×D₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×Q₈×#6157	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×D₄×#6157	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#13133280	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#13133279	C₂²	1	4	yes	—
14	#16811582	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	(C₂×#6157)⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	#16811575	C₂²	1	2	yes	—
17	#16811572	—	2	4	no	—
18	#16811571	—	2	4	no	—
19	#16811567	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#16811567	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#16811559	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16811497	C₂²	1	4	yes	—
23	(C₂×#6157)⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
24	(C₂×#6157)⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×SD₁₆×D₅₃	C₂²	1	4	yes	—
26	C₄⋊Q₈×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#127×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#16810997	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
29	#16810996	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
30	#16810995	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
31	#16810994	C₄	1	4	yes	complemented
32	C₄×C₈×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₅₃×#492	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
34	C₂³×#6157	—	2	2	no	—
35	C₂×D₅₃⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
36	Q₈×#6157	—	4	4	no	—
37	D₄×#6157	—	4	4	no	—
38	C₂×C₄⋊#6157	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄⋊#6157	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂×C₄⋊#6157	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×C₂²⋊#6157	—	2	2	no	—
42	C₂×C₂²⋊#6157	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄×#6157	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×#6157	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×#6157	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	#13133280	—	4	4	no	—
47	#13133279	—	4	4	no	—
48	#13133272	—	2	2	no	—
49	(C₂×#6157)⋊C₄	—	2	4	no	—
50	(C₂×#6157)⋊C₄	—	2	2	no	—
51	(C₂×#6157)⋊C₄	—	2	2	no	—
52	(C₂×#6157)⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
53	C₂×Q₈×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×D₄×D₅₃	—	2	2	no	—
55	C₂×D₄×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#11719913	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
57	C₂×#11719923	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
58	C₂×#11719924	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
59	SD₁₆×D₅₃	—	4	4	no	—
60	SD₁₆×D₅₃	—	4	4	no	—
61	C₂×C₈×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
62	#13133217	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
63	#13133216	—	2	2	no	—
64	#13133215	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
65	#13133214	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	#13133213	—	2	2	no	—
67	#13133213	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₄⋊C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
69	C₄²×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₄×#88322	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
71	C₈×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
72	C₂×SD₁₆×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
73	C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
74	#127×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
76	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂²×#6157	—	2	2	no	—
78	C₂²×#6157	—	2	2	no	—
79	C₂²×#6157	—	4	4	no	—
80	C₂²×#6157	—	8	4	no	—
81	C₂²×#6157	C₂×D₄	1	2	yes	—
82	C₂²×#6157	C₂×D₄	1	2	yes	—
83	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂×D₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	4	no	—
87	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
88	Q₈×D₅₃	—	2	4	no	—
89	Q₈×D₅₃	—	2	4	no	—
90	D₄×D₅₃	—	2	4	no	—
91	D₄×D₅₃	—	2	4	no	—
92	D₄×D₅₃	—	8	4	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
94	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂×C₄×D₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
98	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂²⋊#6157	—	4	4	no	—
101	C₂²⋊#6157	—	8	4	no	—
102	C₂×#88324	—	2	2	no	—
103	C₄⋊#6157	—	2	4	no	—
104	C₄⋊#6157	—	2	4	no	—
105	C₄⋊#6157	—	4	4	no	—
106	C₄×#6157	—	2	2	no	—
107	C₄×#6157	—	2	2	no	—
108	C₄×#6157	—	4	4	no	—
109	D₅₃⋊C₈	—	2	2	no	—
110	D₅₃⋊C₈	—	2	2	no	—
111	SD₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
112	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	#11719924	—	4	4	no	—
116	#11719923	—	4	4	no	—
117	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
118	#11719919	—	2	4	no	—
119	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₄×Dic₅₃	#41	1	2	yes	—
121	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	#11719913	—	4	4	no	—
123	C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
124	C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
129	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
130	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
131	C₂²×D₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×#6157	—	2	2	no	—
133	C₂×#6157	—	2	2	no	—
134	C₂×#6157	—	2	4	no	—
135	C₂×#6157	—	2	4	no	—
136	C₂×#6157	—	4	2	no	—
137	C₂×#6157	—	4	2	no	—
138	C₂×#6157	—	4	4	no	—
139	C₂×#6157	—	4	4	no	—
140	C₂×#6157	—	8	8	no	—
141	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
142	D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
143	D₄×C₅₃	—	8	2	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
148	C₂²⋊D₅₃	—	8	4	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂×Dic₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×Dic₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
152	D₂₁₂	—	2	4	no	—
153	D₂₁₂	—	8	2	no	—
154	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
155	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
156	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
157	C₄×D₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
158	C₄×D₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
159	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
160	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
161	#88324	—	4	2	no	—
162	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
163	#88322	—	2	2	no	—
164	#22275	—	53	1	no	maximal, Sylow
165	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
166	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
167	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
169	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
170	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
171	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
172	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
173	C₂×D₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
174	C₂×D₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
175	C₂×D₅₃	#577	1	4	yes	—
176	#6157	—	4	2	no	—
177	#6157	—	4	2	no	—
178	#6157	—	8	2	no	—
179	#6157	—	8	2	no	—
180	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
181	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
182	C₄×C₅₃	#518	1	2	yes	—
183	Dic₅₃	—	2	2	no	—
184	Dic₅₃	—	4	2	no	—
185	Dic₅₃	#540	1	2	yes	—
186	C₂×#492	—	53	1	no	—
187	#2328	—	53	1	no	—
188	#2327	—	53	1	no	—
189	#1961	—	53	1	no	—
190	#1960	—	53	1	no	—
191	#1880	—	53	4	no	—
192	#1877	—	53	4	no	—
193	#1835	—	53	1	no	—
194	#1746	—	53	1	no	—
195	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
196	C₂×C₅₃	#2328	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₅₃	#2949	1	2	yes	—
198	D₅₃	—	8	2	no	—
199	D₅₃	#3221	1	2	yes	—
200	D₅₃	#3222	1	2	yes	—
201	C₂²×SD₁₆	—	53	4	no	—
202	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
203	C₂×#127	—	53	1	no	—
204	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
205	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
206	#492	—	53	4	no	—
207	#492	—	53	1	no	—
208	#492	—	53	1	no	—
209	#492	—	53	1	no	—
210	#492	#6157	1	1	yes	characteristic, complemented
211	C₂×#103	—	53	4	no	—
212	C₂×#102	—	53	4	no	—
213	C₂×#97	—	53	1	no	—
214	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
215	#391	—	53	2	no	—
216	#390	—	53	2	no	—
217	#387	—	106	4	no	—
218	#386	—	106	4	no	—
219	#382	—	53	1	no	—
220	#382	—	53	1	no	—
221	#376	—	53	1	no	—
222	#340	—	53	4	no	—
223	#336	—	53	2	no	—
224	#336	—	53	2	no	—
225	C₅₃	#22275	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
226	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
227	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
228	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
229	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
230	C₂×SD₁₆	—	53	4	no	—
231	C₂×SD₁₆	—	53	4	no	—
232	C₂×SD₁₆	—	53	4	no	—
233	C₂×SD₁₆	—	212	4	no	—
234	C₂×SD₁₆	—	212	4	no	—
235	C₂×SD₁₆	C₂×#6157	1	4	yes	complemented
236	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
237	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
238	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
239	C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
240	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
241	C₄⋊Q₈	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic, complemented
242	#127	—	53	2	no	—
243	#127	—	53	1	no	—
244	#127	—	106	2	no	—
245	#127	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
246	C₄×Q₈	—	212	4	no	—
247	C₄×D₄	—	212	4	no	—
248	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
249	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
250	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
251	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
252	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
253	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
254	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
255	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
256	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
257	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
258	#103	—	212	4	no	—
259	#102	—	212	4	no	—
260	#97	—	106	2	no	—
261	C₄×C₈	—	53	2	no	—
262	C₄×C₈	—	53	1	no	—
263	C₄×C₈	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic, complemented
264	#95	—	53	4	no	—
265	#95	—	106	2	no	—
266	#95	—	106	2	no	—
267	#95	—	106	4	no	—
268	C₂⁴	—	106	2	no	—
269	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
270	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
271	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
272	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
273	C₂×Q₈	C₂²×#6157	1	2	yes	—
274	C₂×D₄	—	2	2	no	—
275	C₂×D₄	—	53	2	no	—
276	C₂×D₄	—	106	4	no	—
277	C₂×D₄	—	106	4	no	—
278	C₂×D₄	—	106	4	no	—
279	C₂×D₄	—	106	2	no	—
280	C₂×D₄	—	106	2	no	—
281	C₂×D₄	—	424	4	no	—
282	C₂×D₄	C₂²×#6157	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
284	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
285	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
286	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
287	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
288	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
289	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
290	C₂²×C₄	—	424	4	no	—
291	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
292	SD₁₆	—	4	4	no	—
293	SD₁₆	—	212	4	no	—
294	SD₁₆	—	212	4	no	—
295	SD₁₆	—	212	4	no	—
296	C₂×C₈	—	53	2	no	—
297	C₂×C₈	—	106	2	no	—
298	C₂×C₈	—	106	2	no	—
299	C₂×C₈	—	106	2	no	—
300	C₂×C₈	—	106	2	no	—
301	C₂×C₈	—	106	2	no	—
302	C₂×C₈	C₂²×#6157	1	2	yes	—
303	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
306	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	424	4	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
311	C₄²	—	53	2	no	—
312	C₄²	—	53	1	no	—
313	C₄²	—	106	2	no	—
314	C₄²	—	106	2	no	—
315	C₄²	—	212	4	no	—
316	C₄²	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	—	2	2	no	—
318	C₂³	—	53	1	no	—
319	C₂³	—	106	2	no	—
320	C₂³	—	212	4	no	—
321	C₂³	—	212	2	no	—
322	C₂³	—	212	4	no	—
323	C₂³	—	212	2	no	—
324	Q₈	—	2	4	no	—
325	Q₈	—	106	4	no	—
326	Q₈	—	212	4	no	—
327	D₄	—	2	4	no	—
328	D₄	—	8	2	no	—
329	D₄	—	106	4	no	—
330	D₄	—	424	2	no	—
331	D₄	—	424	4	no	—
332	D₄	—	212	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	53	1	no	—
335	C₂×C₄	—	53	2	no	—
336	C₂×C₄	—	53	2	no	—
337	C₂×C₄	—	53	2	no	—
338	C₂×C₄	—	106	4	no	—
339	C₂×C₄	—	106	2	no	—
340	C₂×C₄	—	106	2	no	—
341	C₂×C₄	—	106	4	no	—
342	C₂×C₄	—	106	4	no	—
343	C₂×C₄	—	106	2	no	—
344	C₂×C₄	—	424	8	no	—
345	C₂×C₄	—	212	2	no	—
346	C₂×C₄	—	212	2	no	—
347	C₂×C₄	—	212	2	no	—
348	C₂×C₄	—	212	4	no	—
349	C₂×C₄	—	212	2	no	—
350	C₂×C₄	—	212	4	no	—
351	C₂×C₄	D₄×#6157	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	C₂³×#6157	1	1	yes	characteristic
353	C₈	—	2	2	no	—
354	C₈	—	106	2	no	—
355	C₈	—	212	2	no	—
356	C₂²	—	4	2	no	—
357	C₂²	—	4	4	no	—
358	C₂²	—	53	1	no	—
359	C₂²	—	53	1	no	—
360	C₂²	—	53	4	no	—
361	C₂²	—	424	2	no	—
362	C₂²	—	424	4	no	—
363	C₂²	—	424	2	no	—
364	C₂²	—	212	2	no	—
365	C₂²	—	212	4	no	—
366	C₂²	C₂×D₄×#6157	1	1	yes	characteristic
367	C₄	—	2	2	no	—
368	C₄	—	4	2	no	—
369	C₄	—	53	2	no	—
370	C₄	—	106	2	no	—
371	C₄	—	424	2	no	—
372	C₄	—	424	2	no	—
373	C₄	—	212	2	no	—
374	C₄	—	212	2	no	—
375	C₄	—	212	2	no	—
376	C₄	#16811690	1	2	yes	—
377	C₂	—	8	2	no	—
378	C₂	—	53	2	no	—
379	C₂	—	53	2	no	—
380	C₂	—	424	2	no	—
381	C₂	#20291207	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#20291475	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×D₄×#6157
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂×C₄	C₂³×#6157
Fitting	C₅₃×#492	C₄
socle	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄
prime radical	#127×D₅₃	C₂²
cosocle	C₂×C₄×D₅₃	C₂⁴
hypercenter	#492	#6157
hypocenter	C₅₃	#22275
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄² ◁ #492

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20291206	C₂	semidirect
4. #20290846	C₂	semidirect
5. #20290711	C₂	semidirect
6. #20290708	C₂	semidirect
7. #20290637	C₂	semidirect
8. #20290433	C₂	semidirect
28. #16810997	C₄	semidirect
29. #16810996	C₄	semidirect
30. #16810995	C₄	semidirect
31. #16810994	C₄	semidirect
33. C₅₃×#492	C₄	semidirect
56. C₂×#11719913	C₂×C₄	semidirect
57. C₂×#11719923	C₂×C₄	semidirect
58. C₂×#11719924	C₂×C₄	semidirect
62. #13133217	C₂×C₄	semidirect
64. #13133215	C₂×C₄	semidirect
70. C₄×#88322	C₂×C₄	semidirect
71. C₈×Dic₅₃	C₂×C₄	semidirect
72. C₂×SD₁₆×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
73. C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
75. C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
210. #492	#6157	semidirect
225. C₅₃	#22275	semidirect
235. C₂×SD₁₆	C₂×#6157	semidirect
241. C₄⋊Q₈	C₂×#6157	semidirect
263. C₄×C₈	C₂×#6157	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20291207	2
#20291206	2
#20290847	2
#20290846	2
#20290711	2
#20290708	2
#20290637	2
#20290433	2
#492×D₅₃	2
#22275	53