Subgroups — #28323548

Order 13568.

714 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20290886	C₂	1	2	yes	maximal
2	#20290884	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20290814	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20290770	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20290769	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20290631	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#20290507	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20290430	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#20277284	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#13133284	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#13133284	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄⋊#88324	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#16811489	C₂²	1	2	yes	—
18	#16811489	C₂²	1	2	yes	—
19	#16811489	C₂²	1	2	yes	—
20	#16811489	C₂²	1	2	yes	—
21	#16811489	C₂²	1	2	yes	—
22	#16811489	C₂²	1	2	yes	—
23	#16811489	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#16811489	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#16811489	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#13133215	C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂×Q₈×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#13133182	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#16810529	C₄	1	1	yes	characteristic
30	#16810520	C₄	1	2	yes	—
31	#16810520	C₄	1	2	yes	—
32	#16810492	C₄	1	1	yes	characteristic
33	#16810474	C₂²	1	2	yes	—
34	#16810474	C₂²	1	2	yes	—
35	C₄²×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₅₃×#391	C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×#88324	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×#88324	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×#88324	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×#88324	C₂³	1	2	yes	—
41	#13133284	—	2	4	no	—
42	#13133284	—	4	2	no	—
43	C₄⋊#88324	—	4	2	no	—
44	C₄×#88324	—	2	2	no	—
45	C₄×#88324	—	4	2	no	—
46	C₄×#88324	—	4	2	no	—
47	C₄×#88324	Q₈	1	4	yes	complemented
48	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	#13133215	C₈	1	8	yes	complemented
50	Q₈×Dic₅₃	—	4	2	no	—
51	#13133182	—	4	2	no	—
52	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
75	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
76	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×C₈	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
85	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
88	C₂×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
89	C₂×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	C₂×C₈	1	4	yes	—
91	C₂×#88324	—	2	2	no	—
92	C₂×#88324	—	2	2	no	—
93	C₂×#88324	—	2	2	no	—
94	C₂×#88324	—	2	2	no	—
95	C₂×#88324	—	2	2	no	—
96	C₂×#88324	—	2	2	no	—
97	C₂×#88324	—	2	2	no	—
98	C₂×#88324	—	2	2	no	—
99	C₂×#88324	—	2	2	no	—
100	C₂×#88324	—	2	2	no	—
101	C₂×#88324	—	2	2	no	—
102	C₂×#88324	C₂×Q₈	1	4	yes	—
103	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
104	C₄²×C₅₃	—	4	1	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
106	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
107	#11719919	—	2	4	no	—
108	#11719919	—	4	2	no	—
109	#11719919	—	4	2	no	—
110	#11719919	C₂×C₈	1	8	yes	—
111	#11719919	C₂×C₈	1	8	yes	—
112	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
113	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
114	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
115	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
117	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
118	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
119	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
120	C₄×Dic₅₃	C₂×C₈	1	4	yes	—
121	C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
122	C₄×Dic₅₃	#41	1	2	yes	—
123	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
124	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₄×Q₈	1	2	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×C₈	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×C₈	1	4	yes	—
140	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂×Dic₅₃	C₄×Q₈	1	2	yes	—
151	C₂×Dic₅₃	C₂²×C₈	1	4	yes	—
152	C₂×Dic₅₃	C₂²×C₈	1	2	yes	—
153	C₂×Dic₅₃	C₂²×C₈	1	2	yes	—
154	C₂×Dic₅₃	#131	1	2	yes	—
155	C₂×Dic₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
156	C₂×Dic₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
157	C₂×Dic₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
158	C₂×Dic₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
159	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
160	#88324	—	2	4	no	—
161	#88324	—	4	2	no	—
162	#88324	—	4	2	no	—
163	#88324	—	4	2	no	—
164	#22307	—	53	1	no	maximal, Sylow
165	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₅₃	#519	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₅₃	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₅₃	#568	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₅₃	#568	1	1	yes	characteristic
172	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
173	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
174	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
175	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
176	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
177	Dic₅₃	—	2	4	no	—
178	Dic₅₃	—	2	2	no	—
179	Dic₅₃	—	4	1	no	—
180	Dic₅₃	—	4	2	no	—
181	Dic₅₃	C₈×Q₈	1	4	yes	—
182	Dic₅₃	#542	1	2	yes	—
183	Dic₅₃	#544	1	2	yes	—
184	C₄×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
185	#1984	—	53	2	no	—
186	#1984	—	53	2	no	—
187	#1939	—	53	2	no	—
188	#1916	—	53	2	no	—
189	#1916	—	53	2	no	—
190	#1831	—	53	1	no	—
191	C₈×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
192	#1744	—	53	1	no	—
193	C₂×C₅₃	#2331	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₅₃	C₂×C₈×Q₈	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₅₃	#2961	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₅₃	#2972	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₅₃	#2981	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₅₃	#2982	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₅₃	#2985	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
201	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
202	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
203	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
204	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
205	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
206	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
207	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
208	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
209	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
210	#391	—	53	1	no	—
211	#391	#6157	1	1	yes	characteristic
212	#389	—	53	2	no	—
213	#389	—	53	2	no	—
214	#384	—	53	1	no	—
215	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
216	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
217	C₄³	—	53	1	no	—
218	#336	—	53	1	no	—
219	#336	—	53	1	no	—
220	#336	—	53	2	no	—
221	#336	—	53	2	no	—
222	#336	—	53	2	no	—
223	#336	—	53	2	no	—
224	#336	—	53	2	no	—
225	#336	—	53	2	no	—
226	#336	—	53	2	no	—
227	C₅₃	#22307	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
228	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
229	C₂²×Q₈	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
231	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
232	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
233	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
234	C₄⋊Q₈	—	53	8	no	—
235	C₄×Q₈	—	212	2	no	—
236	C₄×Q₈	—	212	2	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
239	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
240	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
244	C₂×C₄⋊C₄	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
246	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
247	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
248	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
249	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
250	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
251	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
252	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
253	C₂×C₄²	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
254	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
255	C₄⋊C₈	—	212	2	no	—
256	C₄⋊C₈	—	212	2	no	—
257	C₄×C₈	—	53	4	no	—
258	C₄×C₈	—	106	2	no	—
259	C₄×C₈	—	212	2	no	—
260	C₄×C₈	—	212	2	no	—
261	#95	—	53	2	no	—
262	#95	—	53	2	no	—
263	#95	C₂×#6157	1	2	yes	—
264	#95	C₂×#6157	1	2	yes	—
265	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
266	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
267	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
268	C₂×Q₈	—	212	1	no	—
269	C₂×Q₈	—	212	1	no	—
270	C₂×Q₈	D₅₃⋊C₈	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
272	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
273	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
275	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
277	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₈	—	53	4	no	—
283	C₂×C₈	—	106	2	no	—
284	C₂×C₈	—	106	2	no	—
285	C₂×C₈	—	106	2	no	—
286	C₂×C₈	—	106	2	no	—
287	C₂×C₈	—	106	2	no	—
288	C₂×C₈	—	106	2	no	—
289	C₂×C₈	—	106	2	no	—
290	C₂×C₈	—	106	2	no	—
291	C₂×C₈	—	106	2	no	—
292	C₂×C₈	—	106	2	no	—
293	C₂×C₈	—	106	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
295	C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
297	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
300	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
302	C₄²	—	4	1	no	—
303	C₄²	—	53	2	no	—
304	C₄²	—	53	2	no	—
305	C₄²	—	53	4	no	—
306	C₄²	—	106	2	no	—
307	C₄²	—	106	2	no	—
308	C₄²	—	106	2	no	—
309	C₄²	—	106	2	no	—
310	C₄²	—	106	2	no	—
311	C₄²	—	106	2	no	—
312	C₄²	—	106	2	no	—
313	C₄²	—	212	1	no	—
314	C₂³	C₂³×#6157	1	1	yes	characteristic
315	Q₈	—	4	4	no	—
316	Q₈	—	212	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	1	no	—
320	C₂×C₄	—	2	1	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	1	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	1	no	—
325	C₂×C₄	—	2	1	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	1	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	53	2	no	—
330	C₂×C₄	—	53	1	no	—
331	C₂×C₄	—	53	1	no	—
332	C₂×C₄	—	53	2	no	—
333	C₂×C₄	—	53	2	no	—
334	C₂×C₄	—	53	2	no	—
335	C₂×C₄	—	53	2	no	—
336	C₂×C₄	—	53	2	no	—
337	C₂×C₄	—	53	4	no	—
338	C₂×C₄	—	106	2	no	—
339	C₂×C₄	—	106	1	no	—
340	C₂×C₄	—	106	2	no	—
341	C₂×C₄	—	106	1	no	—
342	C₂×C₄	—	106	1	no	—
343	C₂×C₄	—	106	2	no	—
344	C₂×C₄	—	106	1	no	—
345	C₂×C₄	—	106	2	no	—
346	C₂×C₄	—	106	1	no	—
347	C₂×C₄	—	106	2	no	—
348	C₂×C₄	Q₈×#6157	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×D₅₃⋊C₈	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×D₅₃⋊C₈	1	4	yes	—
351	C₈	—	106	4	no	—
352	C₈	—	212	2	no	—
353	C₈	—	212	2	no	—
354	C₈	—	212	2	no	—
355	C₂²	C₂×Q₈×#6157	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	#16811690	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#16811691	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂²×D₅₃⋊C₈	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	D₅₃⋊#131	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#16811701	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	#16811702	1	1	yes	characteristic
362	C₄	—	2	2	no	—
363	C₄	—	2	4	no	—
364	C₄	—	2	2	no	—
365	C₄	—	4	2	no	—
366	C₄	—	4	1	no	—
367	C₄	—	53	2	no	—
368	C₄	—	53	2	no	—
369	C₄	—	53	4	no	—
370	C₄	—	106	2	no	—
371	C₄	—	106	4	no	—
372	C₄	—	212	1	no	—
373	C₄	—	212	2	no	—
374	C₂	#20291210	1	1	yes	characteristic
375	C₂	Q₈×D₅₃⋊C₈	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#20291506	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#20291564	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#20291606	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#20291609	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#20291621	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×#6157
commutator	C₂²×C₅₃	C₂³×C₈
Fitting	C₅₃×#391	C₄
socle, prime radical	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
cosocle	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴
hypercenter	#391	#6157
hypocenter	C₅₃	#22307
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #391

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
47. C₄×#88324	Q₈	semidirect
49. #13133215	C₈	semidirect
227. C₅₃	#22307	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20290886	2
#20290884	2
#20290814	2
#20290770	2
#20290769	2
#20290631	2
#20290507	2
#20290430	2
#20277284	2
#22307	53