Subgroups — #28323570

Order 13568.

666 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 376 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20290889	C₂	1	2	yes	maximal
2	#20290884	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20290817	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20290775	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20290768	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20290631	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#20290515	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20290432	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₄⋊Q₈×Dic₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#13133284	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#13133284	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄⋊#88324	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133272	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#13133272	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#13133272	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×#88324	C₂²	1	2	yes	—
17	#16811489	C₂²	1	2	yes	—
18	#16811489	C₂²	1	2	yes	—
19	#16811489	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#16811489	C₂²	1	2	yes	—
21	#16811489	C₂²	1	2	yes	—
22	#16811489	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#16811489	C₂²	1	2	yes	—
24	#16811489	C₂²	1	2	yes	—
25	#16811489	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×Q₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
27	#16810530	C₄	1	2	yes	—
28	#16810522	C₄	1	1	yes	characteristic
29	#16810522	C₄	1	2	yes	—
30	#16810522	C₄	1	1	yes	characteristic
31	#16810493	C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₄⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₄⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₄²×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×#88324	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×#88324	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×#88324	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×#88324	C₂³	1	2	yes	—
41	#13133284	—	2	4	no	—
42	#13133284	—	4	2	no	—
43	C₄⋊#88324	—	4	2	no	—
44	#13133272	—	2	2	no	—
45	#13133272	—	4	2	no	—
46	#13133272	Q₈	1	4	yes	complemented
47	C₄×#88324	—	4	2	no	—
48	Q₈×Dic₅₃	—	4	2	no	—
49	Q₈×Dic₅₃	—	4	2	no	—
50	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
75	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
84	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
85	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
88	C₂×#88324	—	2	2	no	—
89	C₂×#88324	—	2	2	no	—
90	C₂×#88324	—	2	2	no	—
91	C₂×#88324	—	2	2	no	—
92	C₂×#88324	—	2	2	no	—
93	C₂×#88324	—	2	2	no	—
94	C₂×#88324	—	2	2	no	—
95	C₂×#88324	—	2	2	no	—
96	C₂×#88324	—	2	2	no	—
97	C₂×#88324	—	2	2	no	—
98	C₂×#88324	—	2	2	no	—
99	C₂×#88324	C₂×Q₈	1	4	yes	—
100	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
101	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₄⋊C₄×C₅₃	M₁₆	1	4	yes	—
103	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
106	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
107	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
108	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
109	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
110	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
113	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
114	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
115	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
117	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
118	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
119	C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
120	C₄×Dic₅₃	#41	1	2	yes	—
121	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
122	Q₈×C₅₃	—	4	8	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₄×Q₈	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	2	yes	—
138	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
152	C₂×Dic₅₃	C₄×Q₈	1	2	yes	—
153	C₂×Dic₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
154	C₂×Dic₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
155	C₂×Dic₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
156	C₂×Dic₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
157	#88324	—	2	4	no	—
158	#88324	—	4	2	no	—
159	#88324	—	4	2	no	—
160	#88324	—	4	2	no	—
161	#22313	—	53	1	no	maximal, Sylow
162	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₅₃	#519	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₅₃	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₅₃	#568	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₅₃	#568	1	1	yes	characteristic
169	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
170	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
171	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
172	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
173	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
174	Dic₅₃	—	2	2	no	—
175	Dic₅₃	—	4	2	no	—
176	Dic₅₃	—	4	2	no	—
177	Dic₅₃	—	4	1	no	—
178	Dic₅₃	—	4	1	no	—
179	Dic₅₃	#542	1	2	yes	—
180	Dic₅₃	#544	1	2	yes	—
181	C₄×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
182	#1985	—	53	2	no	—
183	#1984	—	53	2	no	—
184	#1940	—	53	2	no	—
185	#1917	—	53	2	no	—
186	#1916	—	53	2	no	—
187	#1831	—	53	1	no	—
188	#1771	—	53	2	no	—
189	#1745	—	53	1	no	—
190	C₂×C₅₃	#2331	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₅₃	#2962	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₅₃	Q₈×M₁₆	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₅₃	#2974	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₅₃	#2980	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₅₃	#2983	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₅₃	#2985	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄⋊Q₈	#6157	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
199	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
200	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
201	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
202	C₂×#97	—	53	1	no	—
203	C₂×#97	—	53	1	no	—
204	C₂×#97	—	53	2	no	—
205	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
206	#391	—	53	2	no	—
207	#389	—	53	1	no	—
208	#389	—	53	2	no	—
209	#389	—	53	1	no	—
210	#384	—	53	1	no	—
211	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
212	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
213	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
214	C₄³	—	53	1	no	—
215	#336	—	53	2	no	—
216	#336	—	53	1	no	—
217	#336	—	53	1	no	—
218	#336	—	53	2	no	—
219	#336	—	53	2	no	—
220	#336	—	53	2	no	—
221	#336	—	53	2	no	—
222	#336	—	53	2	no	—
223	#336	—	53	2	no	—
224	C₅₃	#22313	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
225	C₂²×Q₈	C₂×#6157	1	2	yes	—
226	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
227	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
228	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
229	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
230	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
231	C₄×Q₈	—	212	2	no	—
232	C₄×Q₈	—	212	2	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
234	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
235	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
236	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
239	C₂×C₄⋊C₄	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₄⋊C₄	C₂×#6157	1	2	yes	—
241	C₂×C₄⋊C₄	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
243	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
244	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
245	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
246	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
247	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
248	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
249	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
250	C₂×C₄²	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
251	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
252	C₄⋊C₈	—	212	2	no	—
253	C₄⋊C₈	—	212	2	no	—
254	#97	—	53	4	no	—
255	#97	—	106	2	no	—
256	#97	—	212	2	no	—
257	C₄×C₈	—	212	2	no	—
258	#95	—	53	2	no	—
259	#95	—	53	2	no	—
260	#95	—	53	2	no	—
261	#95	—	53	2	no	—
262	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
263	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
264	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
266	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
267	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
268	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
271	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₈	—	53	4	no	—
277	C₂×C₈	—	106	2	no	—
278	C₂×C₈	—	106	2	no	—
279	C₂×C₈	—	106	2	no	—
280	C₂×C₈	—	106	2	no	—
281	C₂×C₈	—	106	2	no	—
282	C₂×C₈	—	106	2	no	—
283	C₂×C₈	—	106	2	no	—
284	C₂×C₈	—	106	2	no	—
285	C₂×C₈	—	106	2	no	—
286	C₂×C₈	—	106	2	no	—
287	C₂×C₈	—	106	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
294	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
295	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
296	C₄⋊C₄	#11719940	1	4	yes	—
297	C₄²	—	2	2	no	—
298	C₄²	—	53	2	no	—
299	C₄²	—	53	2	no	—
300	C₄²	—	106	2	no	—
301	C₄²	—	106	2	no	—
302	C₄²	—	106	2	no	—
303	C₄²	—	106	2	no	—
304	C₄²	—	106	2	no	—
305	C₄²	—	106	2	no	—
306	C₄²	—	106	2	no	—
307	C₄²	—	212	1	no	—
308	C₄²	—	212	1	no	—
309	C₂³	C₂³×#6157	1	1	yes	characteristic
310	Q₈	—	4	8	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	1	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	1	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	53	1	no	—
323	C₂×C₄	—	53	1	no	—
324	C₂×C₄	—	53	2	no	—
325	C₂×C₄	—	53	2	no	—
326	C₂×C₄	—	53	2	no	—
327	C₂×C₄	—	106	1	no	—
328	C₂×C₄	—	106	1	no	—
329	C₂×C₄	—	106	1	no	—
330	C₂×C₄	—	106	2	no	—
331	C₂×C₄	—	106	2	no	—
332	C₂×C₄	—	106	1	no	—
333	C₂×C₄	—	106	1	no	—
334	C₂×C₄	—	106	1	no	—
335	C₂×C₄	—	106	1	no	—
336	C₂×C₄	—	106	1	no	—
337	C₂×C₄	—	106	2	no	—
338	C₂×C₄	—	106	2	no	—
339	C₂×C₄	—	106	2	no	—
340	C₂×C₄	—	106	2	no	—
341	C₂×C₄	Q₈×#6157	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#11719940	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×#11719940	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	#13133304	1	2	yes	—
345	C₈	—	106	4	no	—
346	C₈	—	212	2	no	—
347	C₈	—	212	2	no	—
348	C₈	—	212	2	no	—
349	C₂²	C₂×Q₈×#6157	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#16811690	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#16811691	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂²×#11719940	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂×#13133304	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#16811703	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#16811703	1	1	yes	characteristic
356	C₄	—	2	2	no	—
357	C₄	—	2	2	no	—
358	C₄	—	2	4	no	—
359	C₄	—	2	2	no	—
360	C₄	—	4	2	no	—
361	C₄	—	53	2	no	—
362	C₄	—	53	2	no	—
363	C₄	—	106	2	no	—
364	C₄	—	212	1	no	—
365	C₄	—	212	2	no	—
366	C₄	—	212	2	no	—
367	C₄	—	212	1	no	—
368	C₂	#20291210	1	1	yes	characteristic
369	C₂	#20291509	1	1	yes	characteristic
370	C₂	Q₈×#11719940	1	1	yes	characteristic
371	C₂	#20291571	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#20291602	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#20291611	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#20291620	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×#6157
commutator, socle, prime radical	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₄
cosocle	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×C₄⋊Q₈	#6157
hypocenter	C₅₃	#22313
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
46. #13133272	Q₈	semidirect
224. C₅₃	#22313	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20290889	2
#20290884	2
#20290817	2
#20290775	2
#20290768	2
#20290631	2
#20290515	2
#20290432	2
C₄⋊Q₈×Dic₅₃	2
#22313	53