Subgroups — C₂²×(C₂×#6157)⋊Q₈ #28328656

Order 13568.

6174 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 340 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₄⋊#6157	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂³×C₄×#6157	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×(C₂×#6157)⋊Q₈	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×(C₂×#6157)⋊C₄	C₂	1	4	yes	maximal
5	C₂³×Q₈×D₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂⁴×#6157	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂⁴×#6157	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×C₄⋊#6157	—	2	8	no	—
9	C₂²×C₄⋊#6157	C₂²	1	12	yes	—
10	C₂²×C₄×#6157	—	2	8	no	—
11	C₂²×C₄×#6157	C₂²	1	12	yes	—
12	(C₂×#6157)⋊Q₈	C₂²	1	64	yes	direct product factor
13	C₂×(C₂×#6157)⋊C₄	C₂²	1	48	yes	—
14	C₂³×Dic₁₀₆	C₄	1	2	yes	complemented
15	C₂³×Dic₁₀₆	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
16	C₂²×Q₈×D₅₃	—	2	8	no	—
17	C₂²×Q₈×D₅₃	—	2	8	no	—
18	C₂²×Q₈×D₅₃	C₄	1	12	yes	complemented
19	C₂²×Q₈×D₅₃	C₂²	1	12	yes	—
20	C₂³×C₄×D₅₃	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂³×C₄×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂³×Q₈×C₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
23	C₂³×#6157	—	2	8	no	—
24	C₂³×#6157	—	2	8	no	—
25	C₂³×#6157	—	2	8	no	—
26	C₂³×#6157	—	2	16	no	—
27	C₂³×#6157	Q₈	1	16	yes	complemented
28	C₂³×#6157	C₂³	1	12	yes	—
29	C₂³×#6157	C₂³	1	12	yes	—
30	C₂×C₄⋊#6157	—	2	48	no	—
31	C₂×C₄⋊#6157	C₂³	1	16	yes	—
32	C₂×C₄×#6157	—	2	48	no	—
33	C₂×C₄×#6157	C₂³	1	16	yes	—
34	(C₂×#6157)⋊C₄	C₂³	1	64	yes	—
35	C₂⁴×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
37	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
38	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
39	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
40	C₂×Q₈×D₅₃	—	2	96	no	—
41	C₂×Q₈×D₅₃	—	2	48	no	—
42	C₂×Q₈×D₅₃	—	2	48	no	—
43	C₂×Q₈×D₅₃	C₂×C₄	1	48	yes	complemented
44	C₂×Q₈×D₅₃	C₂³	1	16	yes	—
45	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
48	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
49	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	12	yes	—
50	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	6	yes	—
51	C₂²×C₄×D₅₃	D₄	1	8	yes	—
52	C₂²×C₄×D₅₃	D₄	1	8	yes	—
53	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	12	yes	—
54	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	6	yes	—
55	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
56	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
57	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	3	yes	—
61	C₂³×D₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
62	C₂³×D₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
63	C₂³×D₅₃	C₂×Q₈	1	8	yes	—
64	C₂³×D₅₃	#41	1	8	yes	—
65	C₂³×D₅₃	C₂⁴	1	3	yes	—
66	C₂²×#6157	—	2	64	no	—
67	C₂²×#6157	—	2	24	no	—
68	C₂²×#6157	—	2	24	no	—
69	C₂²×#6157	—	2	24	no	—
70	C₂²×#6157	—	2	48	no	—
71	C₂²×#6157	—	4	32	no	—
72	C₂²×#6157	C₂×Q₈	1	48	yes	complemented
73	C₂²×#6157	C₂⁴	1	8	yes	—
74	C₂²×#6157	C₂⁴	1	8	yes	—
75	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	48	no	—
76	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	12	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	6	yes	—
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
83	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	12	yes	—
84	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	6	yes	—
85	Q₈×D₅₃	—	2	192	no	—
86	Q₈×D₅₃	—	2	32	no	—
87	Q₈×D₅₃	—	2	32	no	—
88	C₂×C₄×D₅₃	—	2	48	no	—
89	C₂×C₄×D₅₃	—	2	24	no	—
90	C₂×C₄×D₅₃	—	2	24	no	—
91	C₂×C₄×D₅₃	C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
92	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	24	yes	—
93	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	12	yes	—
94	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	24	yes	—
95	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	24	yes	—
96	C₂×C₄×D₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
97	C₂×C₄×D₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	2	48	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	—	2	96	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
101	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
102	C₄⋊#6157	—	2	32	no	—
103	C₄×#6157	—	2	32	no	—
104	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
105	C₂³×C₅₃	C₄×Q₈	1	8	yes	—
106	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	3	yes	—
107	C₂²×D₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
108	C₂²×D₅₃	C₄×Q₈	1	24	yes	—
109	C₂²×D₅₃	C₂²⋊Q₈	1	32	yes	—
110	C₂²×D₅₃	#124	1	16	yes	—
111	C₂²×D₅₃	C₄⋊Q₈	1	16	yes	—
112	C₂²×D₅₃	C₂³×C₄	1	3	yes	—
113	C₂²×D₅₃	C₂²×D₄	1	6	yes	—
114	C₂²×D₅₃	C₂²×D₄	1	6	yes	—
115	C₂²×D₅₃	C₂²×Q₈	1	12	yes	—
116	C₂²×D₅₃	C₂×#41	1	12	yes	—
117	C₂²×D₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
118	C₂×#6157	—	2	96	no	—
119	C₂×#6157	—	2	8	no	—
120	C₂×#6157	—	2	8	no	—
121	C₂×#6157	—	2	8	no	—
122	C₂×#6157	—	2	16	no	—
123	C₂×#6157	—	4	48	no	—
124	C₂×#6157	C₂²×Q₈	1	16	yes	complemented
125	Q₈×C₅₃	—	2	32	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	8	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	4	yes	—
130	C₂×Dic₅₃	—	2	24	no	—
131	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
132	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	8	yes	—
133	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	4	yes	—
134	C₄×D₅₃	—	2	48	no	—
135	C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
136	C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
137	C₄×D₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
138	C₄×D₅₃	C₂²×D₄	1	8	yes	—
139	C₄×D₅₃	C₂²×D₄	1	8	yes	—
140	Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
141	Dic₁₀₆	—	2	64	no	—
142	C₂²×#391	—	53	1	no	maximal, Sylow
143	C₂²×C₅₃	#391	1	16	yes	complemented
144	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
145	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	12	yes	—
146	C₂²×C₅₃	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×D₅₃	#391	1	48	yes	complemented
148	C₂×D₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
149	C₂×D₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	12	yes	—
150	C₂×D₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	24	yes	—
151	C₂×D₅₃	C₂×#124	1	12	yes	—
152	C₂×D₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	12	yes	—
153	C₂×D₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×D₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×D₅₃	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
156	C₂×D₅₃	C₂²×#41	1	2	yes	—
157	#6157	—	2	16	no	—
158	#6157	—	4	8	no	—
159	C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
160	C₄×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
161	Dic₅₃	—	2	8	no	—
162	Dic₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
163	C₂⁴×Q₈	—	53	1	no	—
164	C₂³×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
165	C₂³×C₄²	—	53	1	no	—
166	C₂×#391	—	53	24	no	—
167	C₂²×#95	—	53	4	no	—
168	C₂×C₅₃	C₂×#391	1	12	yes	complemented
169	C₂×C₅₃	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₅₃	C₂²×C₄×Q₈	1	2	yes	—
171	D₅₃	C₂×#391	1	12	yes	complemented
172	D₅₃	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
173	D₅₃	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
174	D₅₃	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
175	C₂³×Q₈	—	53	12	no	—
176	C₂³×Q₈	—	53	12	no	—
177	C₂³×Q₈	—	53	2	no	—
178	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
179	C₂³×Q₈	—	106	8	no	—
180	C₂³×Q₈	—	106	8	no	—
181	C₂³×Q₈	#6157	1	1	yes	characteristic, complemented
182	C₂⁴×C₄	—	53	1	no	—
183	C₂⁴×C₄	—	53	2	no	—
184	C₂⁴×C₄	—	53	2	no	—
185	C₂⁴×C₄	—	53	2	no	—
186	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	12	no	—
187	C₂²×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
188	C₂²×C₄²	—	53	12	no	—
189	C₂²×C₄²	—	106	8	no	—
190	#391	—	53	64	no	—
191	C₂×#95	—	53	48	no	—
192	C₅₃	C₂²×#391	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
193	C₂⁵	—	53	1	no	—
194	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
195	C₂²×Q₈	—	53	16	no	—
196	C₂²×Q₈	—	53	48	no	—
197	C₂²×Q₈	—	53	24	no	—
198	C₂²×Q₈	—	53	12	no	—
199	C₂²×Q₈	—	106	16	no	—
200	C₂²×Q₈	—	106	96	no	—
201	C₂²×Q₈	—	106	48	no	—
202	C₂²×Q₈	—	106	48	no	—
203	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
204	C₂²×Q₈	C₂×#6157	1	12	yes	complemented
205	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
206	C₂³×C₄	—	53	8	no	—
207	C₂³×C₄	—	53	8	no	—
208	C₂³×C₄	—	53	6	no	—
209	C₂³×C₄	—	53	6	no	—
210	C₂³×C₄	—	53	12	no	—
211	C₂³×C₄	—	53	16	no	—
212	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
213	C₂³×C₄	—	53	12	no	—
214	C₂³×C₄	—	53	12	no	—
215	C₂³×C₄	—	53	12	no	—
216	C₂³×C₄	—	106	8	no	—
217	C₂³×C₄	—	106	8	no	—
218	C₂³×C₄	—	106	8	no	—
219	C₂³×C₄	—	106	8	no	—
220	C₂³×C₄	—	106	8	no	—
221	C₂³×C₄	—	106	16	no	—
222	C₂³×C₄	C₂×#6157	1	2	yes	—
223	C₂³×C₄	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄⋊C₄	—	53	16	no	—
225	C₂×C₄⋊C₄	—	106	48	no	—
226	C₂×C₄²	—	53	16	no	—
227	C₂×C₄²	—	106	48	no	—
228	#95	—	53	64	no	—
229	C₂⁴	—	53	4	no	—
230	C₂⁴	—	53	4	no	—
231	C₂⁴	—	53	8	no	—
232	C₂⁴	—	53	8	no	—
233	C₂⁴	—	53	3	no	—
234	C₂⁴	—	53	3	no	—
235	C₂⁴	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
236	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
237	C₂×Q₈	—	53	32	no	—
238	C₂×Q₈	—	53	16	no	—
239	C₂×Q₈	—	106	96	no	—
240	C₂×Q₈	—	106	192	no	—
241	C₂×Q₈	—	106	32	no	—
242	C₂×Q₈	—	106	32	no	—
243	C₂×Q₈	—	106	48	no	—
244	C₂×Q₈	C₂²×#6157	1	16	yes	complemented
245	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
247	C₂²×C₄	—	53	6	no	—
248	C₂²×C₄	—	53	48	no	—
249	C₂²×C₄	—	53	24	no	—
250	C₂²×C₄	—	53	24	no	—
251	C₂²×C₄	—	53	12	no	—
252	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	53	48	no	—
254	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	53	12	no	—
256	C₂²×C₄	—	53	24	no	—
257	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
259	C₂²×C₄	—	106	48	no	—
260	C₂²×C₄	—	106	24	no	—
261	C₂²×C₄	—	106	24	no	—
262	C₂²×C₄	—	106	24	no	—
263	C₂²×C₄	—	106	64	no	—
264	C₂²×C₄	—	106	24	no	—
265	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
266	C₂²×C₄	—	106	24	no	—
267	C₂²×C₄	—	106	48	no	—
268	C₂²×C₄	—	212	32	no	—
269	C₂²×C₄	C₂²⋊#6157	1	8	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	12	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	6	yes	—
272	C₄⋊C₄	—	106	32	no	—
273	C₄²	—	106	32	no	—
274	C₂³	—	53	32	no	—
275	C₂³	—	53	16	no	—
276	C₂³	—	53	16	no	—
277	C₂³	—	53	12	no	—
278	C₂³	—	53	6	no	—
279	C₂³	—	53	6	no	—
280	C₂³	—	53	24	no	—
281	C₂³	—	53	12	no	—
282	C₂³	—	53	12	no	—
283	C₂³	—	53	3	no	—
284	C₂³	—	53	1	no	—
285	C₂³	C₂×C₂²⋊#6157	1	4	yes	—
286	C₂³	Q₈×#6157	1	8	yes	—
287	C₂³	C₂³×#6157	1	3	yes	—
288	Q₈	—	2	32	no	—
289	Q₈	—	106	64	no	—
290	Q₈	—	106	32	no	—
291	C₂×C₄	—	2	24	no	—
292	C₂×C₄	—	53	24	no	—
293	C₂×C₄	—	53	4	no	—
294	C₂×C₄	—	53	48	no	—
295	C₂×C₄	—	53	8	no	—
296	C₂×C₄	—	53	8	no	—
297	C₂×C₄	—	53	16	no	—
298	C₂×C₄	—	53	8	no	—
299	C₂×C₄	—	106	8	no	—
300	C₂×C₄	—	106	8	no	—
301	C₂×C₄	—	106	48	no	—
302	C₂×C₄	—	106	8	no	—
303	C₂×C₄	—	106	96	no	—
304	C₂×C₄	—	106	8	no	—
305	C₂×C₄	—	106	24	no	—
306	C₂×C₄	—	106	8	no	—
307	C₂×C₄	—	106	16	no	—
308	C₂×C₄	—	212	48	no	—
309	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊#6157	1	24	yes	—
310	C₂×C₄	C₂³×#6157	1	8	yes	—
311	C₂×C₄	C₂³×#6157	1	4	yes	—
312	C₂²	—	53	24	no	—
313	C₂²	—	53	12	no	—
314	C₂²	—	53	12	no	—
315	C₂²	—	53	48	no	—
316	C₂²	—	53	1	no	—
317	C₂²	—	53	1	no	—
318	C₂²	—	53	6	no	—
319	C₂²	—	53	2	no	—
320	C₂²	—	53	2	no	—
321	C₂²	—	53	12	no	—
322	C₂²	(C₂×#6157)⋊Q₈	1	16	yes	direct product factor
323	C₂²	C₂²×C₂²⋊#6157	1	6	yes	—
324	C₂²	C₂×Q₈×#6157	1	12	yes	—
325	C₂²	C₂⁴×#6157	1	1	yes	characteristic
326	C₄	—	2	8	no	—
327	C₄	—	53	8	no	—
328	C₄	—	106	16	no	—
329	C₄	—	106	8	no	—
330	C₄	—	212	8	no	—
331	C₄	C₂²×C₂²⋊#6157	1	8	yes	—
332	C₂	—	53	2	no	—
333	C₂	—	53	1	no	—
334	C₂	—	53	1	no	—
335	C₂	—	53	12	no	—
336	C₂	C₂×(C₂×#6157)⋊Q₈	1	12	yes	direct product factor
337	C₂	C₂³×C₂²⋊#6157	1	1	yes	characteristic
338	C₂	C₂²×Q₈×#6157	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂²×#6157
commutator	C₂²×C₅₃	C₂⁴×C₄
Frattini	C₂²	C₂⁴×#6157
Fitting	C₂³×Q₈×C₅₃	C₄
socle	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄
prime radical	C₂⁴×D₅₃	C₂³
cosocle	C₂²×D₅₃	C₂⁵
hypercenter	C₂³×Q₈	#6157
hypocenter	C₅₃	C₂²×#391
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×(C₂×#6157)⋊Q₈	C₂	direct (N × H)
12. (C₂×#6157)⋊Q₈	C₂²	direct (N × H)
14. C₂³×Dic₁₀₆	C₄	semidirect
15. C₂³×Dic₁₀₆	C₄	semidirect
18. C₂²×Q₈×D₅₃	C₄	semidirect
22. C₂³×Q₈×C₅₃	C₄	semidirect
27. C₂³×#6157	Q₈	semidirect
38. C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	semidirect
39. C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	semidirect
43. C₂×Q₈×D₅₃	C₂×C₄	semidirect
56. C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
72. C₂²×#6157	C₂×Q₈	semidirect
76. C₂×Q₈×C₅₃	C₂²×C₄	semidirect
100. C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	semidirect
101. C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	semidirect
124. C₂×#6157	C₂²×Q₈	semidirect
143. C₂²×C₅₃	#391	semidirect
147. C₂×D₅₃	#391	semidirect
168. C₂×C₅₃	C₂×#391	semidirect
171. D₅₃	C₂×#391	semidirect
181. C₂³×Q₈	#6157	semidirect
192. C₅₃	C₂²×#391	semidirect
204. C₂²×Q₈	C₂×#6157	semidirect
244. C₂×Q₈	C₂²×#6157	semidirect
322. C₂²	(C₂×#6157)⋊Q₈	direct (N × H)
336. C₂	C₂×(C₂×#6157)⋊Q₈	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₄⋊#6157	2
C₂³×C₄×#6157	2
C₂×(C₂×#6157)⋊Q₈	2
C₂²×(C₂×#6157)⋊C₄	2
C₂³×Q₈×D₅₃	2
C₂²×#391	53

Subgroups — C22×(C2×#6157)⋊Q8 #28328656

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×(C₂×#6157)⋊Q₈ #28328656