Subgroups — #28328809

Order 13568.

5318 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811691	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20291220	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
3	#20291188	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
4	#20291159	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	C₂²×#41×D₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#16811691	—	2	16	no	—
7	C₂×Q₈×#6157	C₂²	1	16	yes	complemented
8	C₂×#13133296	C₂²	1	12	yes	—
9	#16811575	C₂²	1	48	yes	complemented
10	#16811566	C₂²	1	4	yes	—
11	#16811565	C₂²	1	24	yes	complemented
12	#16811564	C₂²	1	12	yes	—
13	C₄×C₂²⋊#6157	C₂²	1	24	yes	complemented
14	C₂²×#11719949	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
15	C₂²×#11719945	C₄	1	3	yes	complemented
16	C₂²×#11719947	C₄	1	3	yes	complemented
17	C₂×#41×D₅₃	—	2	16	no	—
18	C₂×#41×D₅₃	C₄	1	8	yes	complemented
19	C₂×#41×D₅₃	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂²×Q₈×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×D₄×D₅₃	C₂²	1	3	yes	—
22	C₂³×C₄×D₅₃	C₂²	1	3	yes	—
23	C₂²×#41×C₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
24	Q₈×#6157	—	2	64	no	—
25	#13133296	—	2	48	no	—
26	C₂×C₄⋊#6157	C₂³	1	24	yes	—
27	C₂×C₂²⋊#6157	C₂³	1	8	yes	—
28	C₂×C₂²⋊#6157	C₂³	1	48	yes	—
29	C₂×C₄×#6157	C₂³	1	24	yes	—
30	(C₂×#6157)⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
31	C₂⁴×D₅₃	C₂³	1	3	yes	—
32	C₂×#11719949	—	2	8	no	—
33	C₂×#11719949	C₂×C₄	1	8	yes	—
34	C₂×#11719945	—	2	24	no	—
35	C₂×#11719945	C₂×C₄	1	24	yes	—
36	C₂×#11719947	—	2	24	no	—
37	C₂×#11719947	C₂×C₄	1	24	yes	—
38	#41×D₅₃	—	2	64	no	—
39	#41×D₅₃	—	2	64	no	—
40	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	3	yes	—
41	C₂×Q₈×D₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂×Q₈×D₅₃	D₄	1	16	yes	—
43	C₂×Q₈×D₅₃	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	3	yes	—
45	C₂²×C₂²⋊D₅₃	C₂×C₄	1	6	yes	—
46	C₂×D₄×D₅₃	—	2	24	no	—
47	C₂×D₄×D₅₃	C₂×C₄	1	12	yes	—
48	C₂×D₄×D₅₃	C₂³	1	12	yes	—
49	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	3	yes	—
50	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	24	no	—
51	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	12	yes	—
52	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	3	yes	—
53	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	3	yes	—
54	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	12	yes	—
55	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	3	yes	—
57	C₂×#41×C₅₃	—	2	8	no	—
58	C₂×#41×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×D₄×C₅₃	C₂×C₄	1	3	yes	—
61	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	3	yes	—
62	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	3	yes	—
63	C₂³×D₅₃	—	2	12	no	—
64	C₂³×D₅₃	—	4	12	no	—
65	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	6	yes	—
66	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	3	yes	—
67	C₂³×D₅₃	C₂⁴	1	6	yes	—
68	C₂³×D₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×#6157	C₂⁴	1	16	yes	—
70	#41×C₅₃	—	2	32	no	—
71	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	complemented
72	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
73	C₂×D₄×C₅₃	—	2	12	no	—
74	C₂×D₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	12	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	12	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	3	yes	—
79	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	24	no	—
80	C₂×C₂²⋊D₅₃	C₂²×C₄	1	24	yes	—
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	12	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	12	yes	—
84	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	3	yes	—
85	#11719949	—	2	32	no	—
86	Q₈×D₅₃	C₂²⋊C₄	1	32	yes	complemented
87	Q₈×D₅₃	C₂×D₄	1	32	yes	—
88	#11719947	—	2	96	no	—
89	D₄×D₅₃	—	2	48	no	—
90	D₄×D₅₃	—	2	48	no	—
91	#11719945	—	2	96	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	2	12	no	—
93	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	12	yes	—
94	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
95	C₂×C₄×D₅₃	—	2	12	no	—
96	C₂×C₄×D₅₃	—	2	12	no	—
97	C₂×C₄×D₅₃	—	2	48	no	—
98	C₂×C₄×D₅₃	—	2	48	no	—
99	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	12	yes	—
101	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	12	yes	—
102	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	6	yes	—
103	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	24	yes	—
104	C₂×C₄×D₅₃	C₂⁴	1	2	yes	—
105	C₂×C₄×D₅₃	C₂⁴	1	6	yes	—
106	C₂×Dic₁₀₆	C₂²⋊C₄	1	24	yes	complemented
107	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	12	yes	—
108	C₂²⋊#6157	—	2	16	no	—
109	C₂²⋊#6157	—	4	48	no	—
110	C₄⋊#6157	—	2	48	no	—
111	C₄×#6157	—	2	48	no	—
112	C₂³×C₅₃	—	2	6	no	—
113	C₂³×C₅₃	—	4	6	no	—
114	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	6	yes	—
115	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
117	C₂²×D₅₃	—	2	6	no	—
118	C₂²×D₅₃	—	2	12	no	—
119	C₂²×D₅₃	—	2	12	no	—
120	C₂²×D₅₃	—	2	24	no	—
121	C₂²×D₅₃	—	4	12	no	—
122	C₂²×D₅₃	—	4	6	no	—
123	C₂²×D₅₃	—	4	48	no	—
124	C₂²×D₅₃	C₂³×C₄	1	6	yes	—
125	C₂²×D₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×D₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
127	C₂²×D₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
128	C₂×#6157	—	2	16	no	—
129	C₂×#6157	—	2	32	no	—
130	Q₈×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
131	D₄×C₅₃	—	2	24	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	6	yes	—
137	C₂²⋊D₅₃	—	2	48	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	2	24	no	—
140	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
141	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
142	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	6	yes	—
143	D₂₁₂	—	2	24	no	—
144	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
145	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
146	C₄×D₅₃	—	2	24	no	—
147	C₄×D₅₃	—	2	24	no	—
148	C₄×D₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
149	C₄×D₅₃	C₂²×D₄	1	24	yes	—
150	Dic₁₀₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
151	#34174	—	53	1	no	maximal, Sylow
152	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₅₃	—	2	6	no	—
154	C₂²×C₅₃	—	2	12	no	—
155	C₂²×C₅₃	—	4	12	no	—
156	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
157	C₂²×C₅₃	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
159	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
160	C₂×D₅₃	—	2	6	no	—
161	C₂×D₅₃	—	2	12	no	—
162	C₂×D₅₃	—	4	24	no	—
163	C₂×D₅₃	—	4	12	no	—
164	C₂×D₅₃	—	4	24	no	—
165	C₂×D₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
166	C₂×D₅₃	C₂³×D₄	1	2	yes	—
167	C₂×D₅₃	#585	1	4	yes	—
168	#6157	—	4	16	no	—
169	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
170	C₄×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
171	Dic₅₃	—	2	2	no	—
172	Dic₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
173	C₂³×#41	—	53	1	no	—
174	C₂×#519	—	53	2	no	—
175	#2341	—	53	16	no	—
176	#2309	—	53	6	no	—
177	#2280	—	53	6	no	—
178	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
179	C₂×C₅₃	—	4	6	no	—
180	C₂×C₅₃	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₅₃	#3428	1	2	yes	—
182	D₅₃	—	2	2	no	—
183	D₅₃	—	4	6	no	—
184	D₅₃	#3487	1	4	yes	—
185	C₂²×#41	—	53	8	no	—
186	C₂²×#41	—	53	8	no	—
187	C₂²×#41	—	53	1	no	—
188	C₂²×#41	—	53	3	no	—
189	C₂²×#41	—	53	3	no	—
190	C₂²×#41	—	106	16	no	—
191	C₂²×#41	#6157	1	1	yes	characteristic, complemented
192	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
193	C₂³×D₄	—	53	3	no	—
194	C₂⁴×C₄	—	53	3	no	—
195	#519	—	106	16	no	—
196	C₂×C₄×Q₈	—	53	16	no	—
197	C₂×#117	—	53	12	no	—
198	#390	—	53	48	no	—
199	#381	—	53	4	no	—
200	#380	—	53	24	no	—
201	#379	—	53	12	no	—
202	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	24	no	—
203	C₅₃	#34174	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
204	C₂⁵	—	53	3	no	—
205	C₂×#41	—	2	8	no	—
206	C₂×#41	—	53	8	no	—
207	C₂×#41	—	53	24	no	—
208	C₂×#41	—	53	24	no	—
209	C₂×#41	—	106	24	no	—
210	C₂×#41	—	106	24	no	—
211	C₂×#41	—	106	64	no	—
212	C₂×#41	—	106	64	no	—
213	C₂×#41	—	106	8	no	—
214	C₂×#41	C₂×#6157	1	8	yes	—
215	C₂²×Q₈	—	53	16	no	—
216	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
217	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
218	C₂²×Q₈	—	53	3	no	—
219	C₂²×Q₈	C₂×#6157	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×D₄	—	53	6	no	—
221	C₂²×D₄	—	53	12	no	—
222	C₂²×D₄	—	53	12	no	—
223	C₂²×D₄	—	53	3	no	—
224	C₂²×D₄	—	106	24	no	—
225	C₂²×D₄	C₂×#6157	1	3	yes	—
226	C₂³×C₄	—	53	3	no	—
227	C₂³×C₄	—	53	3	no	—
228	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
229	C₂³×C₄	—	53	12	no	—
230	C₂³×C₄	—	53	3	no	—
231	C₂³×C₄	—	53	12	no	—
232	C₂³×C₄	—	53	3	no	—
233	C₂³×C₄	—	106	24	no	—
234	C₂³×C₄	C₂×#6157	1	3	yes	—
235	C₄×Q₈	—	106	64	no	—
236	#117	—	106	48	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	53	24	no	—
238	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
239	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	48	no	—
240	C₂×C₄²	—	53	24	no	—
241	#95	—	53	16	no	—
242	C₂⁴	—	53	1	no	—
243	C₂⁴	—	53	6	no	—
244	C₂⁴	—	53	6	no	—
245	C₂⁴	—	53	3	no	—
246	C₂⁴	—	106	12	no	—
247	C₂⁴	—	212	12	no	—
248	C₂⁴	C₂²×#6157	1	3	yes	—
249	#41	—	2	32	no	—
250	#41	—	106	96	no	—
251	#41	—	106	96	no	—
252	#41	—	106	32	no	—
253	C₂×Q₈	—	53	32	no	—
254	C₂×Q₈	—	53	32	no	—
255	C₂×Q₈	—	53	24	no	—
256	C₂×Q₈	—	53	12	no	—
257	C₂×Q₈	C₂²⋊#6157	1	8	yes	complemented
258	C₂×Q₈	C₂²×#6157	1	4	yes	—
259	C₂×D₄	—	2	12	no	—
260	C₂×D₄	—	53	24	no	—
261	C₂×D₄	—	53	12	no	—
262	C₂×D₄	—	106	48	no	—
263	C₂×D₄	—	106	48	no	—
264	C₂×D₄	—	106	24	no	—
265	C₂×D₄	—	106	12	no	—
266	C₂×D₄	C₂²×#6157	1	12	yes	—
267	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
268	C₂²×C₄	—	53	3	no	—
269	C₂²×C₄	—	53	24	no	—
270	C₂²×C₄	—	53	6	no	—
271	C₂²×C₄	—	53	6	no	—
272	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
273	C₂²×C₄	—	53	12	no	—
274	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	53	12	no	—
276	C₂²×C₄	—	53	12	no	—
277	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	53	16	no	—
279	C₂²×C₄	—	106	12	no	—
280	C₂²×C₄	—	106	48	no	—
281	C₂²×C₄	—	106	48	no	—
282	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
283	C₂²×C₄	—	106	12	no	—
284	C₂²×C₄	—	106	12	no	—
285	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	1	yes	characteristic
286	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	12	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂²×#6157	1	3	yes	—
288	C₄⋊C₄	—	106	48	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	212	48	no	—
291	C₄²	—	106	48	no	—
292	C₂³	—	2	6	no	—
293	C₂³	—	4	6	no	—
294	C₂³	—	53	1	no	—
295	C₂³	—	53	4	no	—
296	C₂³	—	53	1	no	—
297	C₂³	—	53	6	no	—
298	C₂³	—	106	4	no	—
299	C₂³	—	106	24	no	—
300	C₂³	—	106	12	no	—
301	C₂³	—	106	12	no	—
302	C₂³	—	106	6	no	—
303	C₂³	—	212	6	no	—
304	C₂³	—	212	12	no	—
305	C₂³	—	212	48	no	—
306	C₂³	C₂³×#6157	1	6	yes	—
307	C₂³	C₂³×#6157	1	1	yes	characteristic
308	Q₈	—	53	48	no	—
309	Q₈	C₂×C₂²⋊#6157	1	16	yes	—
310	D₄	—	2	24	no	—
311	D₄	—	106	48	no	—
312	D₄	—	106	24	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	24	no	—
315	C₂×C₄	—	53	12	no	—
316	C₂×C₄	—	53	6	no	—
317	C₂×C₄	—	53	24	no	—
318	C₂×C₄	—	53	24	no	—
319	C₂×C₄	—	53	2	no	—
320	C₂×C₄	—	106	24	no	—
321	C₂×C₄	—	106	4	no	—
322	C₂×C₄	—	106	4	no	—
323	C₂×C₄	—	106	24	no	—
324	C₂×C₄	—	106	2	no	—
325	C₂×C₄	—	106	24	no	—
326	C₂×C₄	—	106	16	no	—
327	C₂×C₄	—	106	32	no	—
328	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊#6157	1	12	yes	—
329	C₂×C₄	C₂³×#6157	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂³×#6157	1	6	yes	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	2	6	no	—
333	C₂²	—	2	12	no	—
334	C₂²	—	4	12	no	—
335	C₂²	—	53	2	no	—
336	C₂²	—	53	4	no	—
337	C₂²	—	53	2	no	—
338	C₂²	—	106	8	no	—
339	C₂²	—	106	2	no	—
340	C₂²	—	106	6	no	—
341	C₂²	—	106	12	no	—
342	C₂²	—	212	12	no	—
343	C₂²	—	212	24	no	—
344	C₂²	—	212	24	no	—
345	C₂²	C₂²×C₂²⋊#6157	1	2	yes	—
346	C₂²	C₂⁴×#6157	1	1	yes	characteristic
347	C₄	—	2	2	no	—
348	C₄	—	53	12	no	—
349	C₄	—	106	2	no	—
350	C₄	—	212	16	no	—
351	C₄	C₂²×C₂²⋊#6157	1	12	yes	—
352	C₂	—	2	2	no	—
353	C₂	—	4	6	no	—
354	C₂	—	53	4	no	—
355	C₂	—	106	2	no	—
356	C₂	—	212	6	no	—
357	C₂	C₂³×C₂²⋊#6157	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#20291695	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²	C₂⁴×#6157
commutator, socle	C₂²×C₅₃	C₂⁴×C₄
Fitting	C₂²×#41×C₅₃	C₄
prime radical	C₂²×#41×D₅₃	C₂
cosocle	C₂²×D₅₃	C₂⁵
hypercenter	C₂²×#41	#6157
hypocenter	C₅₃	#34174
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×#41

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16811691	C₂	semidirect
2. #20291220	C₂	semidirect
3. #20291188	C₂	semidirect
4. #20291159	C₂	semidirect
7. C₂×Q₈×#6157	C₂²	semidirect
9. #16811575	C₂²	semidirect
11. #16811565	C₂²	semidirect
13. C₄×C₂²⋊#6157	C₂²	semidirect
14. C₂²×#11719949	C₄	semidirect
15. C₂²×#11719945	C₄	semidirect
16. C₂²×#11719947	C₄	semidirect
18. C₂×#41×D₅₃	C₄	semidirect
23. C₂²×#41×C₅₃	C₄	semidirect
71. C₂×Q₈×C₅₃	C₂²⋊C₄	semidirect
86. Q₈×D₅₃	C₂²⋊C₄	semidirect
106. C₂×Dic₁₀₆	C₂²⋊C₄	semidirect
191. C₂²×#41	#6157	semidirect
203. C₅₃	#34174	semidirect
257. C₂×Q₈	C₂²⋊#6157	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811691	2
#20291220	2
#20291188	2
#20291159	2
C₂²×#41×D₅₃	2
#34174	53