Subgroups — #28365728

Order 13952.

668 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 326 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16812670	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×D₄×Dic₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16812656	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20294926	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20294924	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20294914	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20294903	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20294898	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#20294883	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₄⋊C₄×Dic₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#390×C₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×C₂²⋊D₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×Dic₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×D₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#16812670	C₄	1	8	yes	complemented
16	D₄×Dic₁₀₉	—	2	4	no	—
17	#16812656	—	2	4	no	—
18	C₂×C₄⋊Dic₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄⋊Dic₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#13182008	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#13182008	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#13182008	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#13182006	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#13182006	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#13182006	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×Dic₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×Dic₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16812606	C₂²	1	2	yes	—
31	#16812606	C₂²	1	2	yes	—
32	#16812606	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×D₄×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₂²⋊C₄×C₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₂²⋊C₄×C₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×C₄²×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×D₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	—	4	2	no	—
40	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	—	4	2	no	—
41	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
42	C₂²×Dic₁₀₉	—	2	4	no	—
43	C₂²×Dic₁₀₉	—	4	2	no	—
44	C₂²×Dic₁₀₉	—	4	2	no	—
45	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
53	C₄⋊Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
54	C₄⋊Dic₁₀₉	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
55	#13182008	—	2	2	no	—
56	#13182008	—	2	2	no	—
57	#13182008	—	4	2	no	—
58	C₂²⋊Dic₁₀₉	—	2	4	no	—
59	C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
60	#13182006	—	2	2	no	—
61	#13182006	—	2	2	no	—
62	#13182006	—	4	2	no	—
63	C₄×Dic₁₀₉	—	4	2	no	—
64	C₄×Dic₁₀₉	D₄	1	4	yes	complemented
65	C₂⁴×C₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×D₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
67	C₂×D₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
68	C₂×D₄×C₁₀₉	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₄⋊C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
74	C₂²⋊C₄×C₁₀₉	—	4	2	no	—
75	C₂²⋊C₄×C₁₀₉	—	4	2	no	—
76	C₄²×C₁₀₉	—	2	2	no	—
77	C₂³×C₁₀₉	—	2	2	no	—
78	C₂³×C₁₀₉	—	2	2	no	—
79	C₂³×C₁₀₉	—	2	2	no	—
80	C₂³×C₁₀₉	—	2	2	no	—
81	C₂³×C₁₀₉	—	2	2	no	—
82	C₂³×C₁₀₉	—	2	2	no	—
83	C₂³×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	4	yes	—
84	C₂³×C₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
86	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
87	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
88	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
89	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
90	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
91	C₂²×D₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	D₄×C₁₀₉	—	2	8	no	—
93	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
94	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
95	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
97	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
98	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
101	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
102	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₄×C₁₀₉	#41	1	2	yes	—
105	C₂²⋊D₁₀₉	—	4	8	no	—
106	C₂×Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
107	C₂×Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
108	C₂×Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
109	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
110	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
111	C₂×Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
112	C₂×Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
113	C₂×Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
114	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
115	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
116	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
117	C₂×Dic₁₀₉	—	4	8	no	—
118	C₂×Dic₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂×Dic₁₀₉	C₂²×C₄	1	4	yes	—
120	C₂×Dic₁₀₉	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂×Dic₁₀₉	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₄×D₁₀₉	—	2	8	no	—
123	C₂²×C₁₀₉	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₁₀₉	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₁₀₉	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₁₀₉	—	4	2	no	—
127	C₂²×C₁₀₉	—	4	2	no	—
128	C₂²×C₁₀₉	—	4	2	no	—
129	C₂²×C₁₀₉	—	4	2	no	—
130	C₂²×C₁₀₉	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₁₀₉	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₁₀₉	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₁₀₉	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₁₀₉	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₁₀₉	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₁₀₉	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
137	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
138	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
139	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
140	C₂×D₁₀₉	—	4	1	no	—
141	C₂×D₁₀₉	—	4	1	no	—
142	C₂×D₁₀₉	—	4	1	no	—
143	C₂×D₁₀₉	—	4	1	no	—
144	C₄×C₁₀₉	—	4	1	no	—
145	C₄×C₁₀₉	—	4	1	no	—
146	C₄×C₁₀₉	—	4	2	no	—
147	C₄×C₁₀₉	C₄×D₄	1	4	yes	—
148	Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
149	Dic₁₀₉	—	2	4	no	—
150	Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
151	Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
152	Dic₁₀₉	—	4	2	no	—
153	C₂×C₁₀₉	—	4	4	no	—
154	C₂×C₁₀₉	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₁₀₉	#518	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₁₀₉	#520	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₁₀₉	#535	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₁₀₉	#537	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₁₀₉	#540	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₁₀₉	#542	1	1	yes	characteristic
161	D₁₀₉	—	4	2	no	—
162	#2324	—	109	1	no	maximal, Sylow
163	C₁₀₉	#2324	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
164	C₂×#121	—	109	1	no	—
165	C₂×C₄×D₄	—	109	1	no	—
166	C₂×#117	—	109	1	no	—
167	#390	—	109	2	no	—
168	#390	D₁₀₉	1	1	yes	characteristic, complemented
169	#389	—	109	1	no	—
170	#388	—	109	2	no	—
171	#386	—	109	2	no	—
172	#385	—	109	2	no	—
173	#380	—	109	1	no	—
174	C₄×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
175	C₂²×D₄	—	109	2	no	—
176	C₂²×D₄	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
177	C₂³×C₄	—	109	1	no	—
178	C₂³×C₄	—	109	2	no	—
179	#121	—	109	8	no	—
180	C₄×D₄	—	218	4	no	—
181	#117	—	218	4	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	1	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	1	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₁₀₉	1	2	yes	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₁₀₉	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	—	109	1	no	—
196	C₂×C₄²	—	109	2	no	—
197	C₂×C₄²	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
198	#95	—	109	2	no	—
199	#95	—	109	2	no	—
200	#95	—	109	2	no	—
201	C₂⁴	—	109	1	no	—
202	C₂⁴	C₂²×D₁₀₉	1	2	yes	—
203	C₂×D₄	—	2	2	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂×D₄	—	109	8	no	—
206	C₂×D₄	—	436	2	no	—
207	C₂×D₄	—	436	2	no	—
208	C₂×D₄	C₄×D₁₀₉	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	109	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	436	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	436	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	218	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	218	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	218	2	no	—
220	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
224	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
225	C₄⋊C₄	—	109	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	436	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	218	2	no	—
228	C₄⋊C₄	—	218	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	218	2	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	109	8	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	436	2	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	218	2	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	218	2	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	218	4	no	—
237	C₄²	—	2	2	no	—
238	C₄²	—	109	4	no	—
239	C₄²	—	436	2	no	—
240	C₂³	—	2	2	no	—
241	C₂³	—	2	2	no	—
242	C₂³	—	2	2	no	—
243	C₂³	—	2	2	no	—
244	C₂³	—	2	2	no	—
245	C₂³	—	2	2	no	—
246	C₂³	—	109	2	no	—
247	C₂³	—	218	1	no	—
248	C₂³	—	218	1	no	—
249	C₂³	—	218	1	no	—
250	C₂³	—	218	1	no	—
251	C₂³	—	218	1	no	—
252	C₂³	—	218	1	no	—
253	C₂³	C₂×C₄×D₁₀₉	1	4	yes	—
254	C₂³	C₂³×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
255	D₄	—	2	8	no	—
256	D₄	—	436	8	no	—
257	C₂×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂×C₄	—	2	1	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂×C₄	—	109	2	no	—
267	C₂×C₄	—	109	4	no	—
268	C₂×C₄	—	109	2	no	—
269	C₂×C₄	—	109	2	no	—
270	C₂×C₄	—	436	8	no	—
271	C₂×C₄	—	218	2	no	—
272	C₂×C₄	—	218	2	no	—
273	C₂×C₄	—	218	2	no	—
274	C₂×C₄	—	218	1	no	—
275	C₂×C₄	—	218	1	no	—
276	C₂×C₄	—	218	1	no	—
277	C₂×C₄	—	218	2	no	—
278	C₂×C₄	—	218	1	no	—
279	C₂×C₄	—	218	2	no	—
280	C₂×C₄	—	218	1	no	—
281	C₂×C₄	—	218	1	no	—
282	C₂×C₄	—	218	8	no	—
283	C₂×C₄	C₂×C₄×D₁₀₉	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	D₄×D₁₀₉	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	#13182028	1	2	yes	—
286	C₂²	—	2	4	no	—
287	C₂²	—	2	4	no	—
288	C₂²	—	2	4	no	—
289	C₂²	—	4	2	no	—
290	C₂²	—	4	2	no	—
291	C₂²	—	4	2	no	—
292	C₂²	—	4	2	no	—
293	C₂²	—	436	1	no	—
294	C₂²	—	436	1	no	—
295	C₂²	—	436	1	no	—
296	C₂²	—	436	1	no	—
297	C₂²	—	218	2	no	—
298	C₂²	—	218	2	no	—
299	C₂²	—	218	2	no	—
300	C₂²	C₂²×C₄×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	C₂×D₄×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	C₂×#13182028	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	#16812744	1	1	yes	characteristic
304	C₂²	#16812744	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	#16812745	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	#16812746	1	1	yes	characteristic
307	C₄	—	4	1	no	—
308	C₄	—	4	1	no	—
309	C₄	—	4	2	no	—
310	C₄	—	436	2	no	—
311	C₄	—	218	2	no	—
312	C₄	—	218	4	no	—
313	C₄	—	218	2	no	—
314	C₄	—	218	2	no	—
315	C₄	#16812659	1	4	yes	—
316	C₂	—	4	4	no	—
317	C₂	—	436	2	no	—
318	C₂	C₂×#16812659	1	1	yes	characteristic
319	C₂	#20295498	1	1	yes	characteristic
320	C₂	#20295505	1	1	yes	characteristic
321	C₂	#20295592	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#20295605	1	1	yes	characteristic
323	C₂	#20295630	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#20295645	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×D₁₀₉
commutator	C₂²×C₁₀₉	C₂³×C₄
Fitting	#390×C₁₀₉	C₂
socle, cosocle	C₂³×C₁₀₉	C₂⁴
prime radical	C₂×#16812670	C₂
hypercenter	#390	D₁₀₉
hypocenter	C₁₀₉	#2324
LCS	G ▷ C₂²×C₁₀₉ ▷ C₁₀₉
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #390

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×D₄×Dic₁₀₉	C₂	semidirect
3. C₂×#16812656	C₂	semidirect
4. #20294926	C₂	semidirect
5. #20294924	C₂	semidirect
6. #20294914	C₂	semidirect
7. #20294903	C₂	semidirect
8. #20294898	C₂	semidirect
9. #20294883	C₂	semidirect
10. C₄⋊C₄×Dic₁₀₉	C₂	semidirect
11. #390×C₁₀₉	C₂	semidirect
15. #16812670	C₄	semidirect
41. C₂×C₂²⋊D₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
52. C₂×C₄×D₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
54. C₄⋊Dic₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
59. C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
64. C₄×Dic₁₀₉	D₄	semidirect
163. C₁₀₉	#2324	semidirect
168. #390	D₁₀₉	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16812670	2
C₂×D₄×Dic₁₀₉	2
C₂×#16812656	2
#20294926	2
#20294924	2
#20294914	2
#20294903	2
#20294898	2
#20294883	2
C₄⋊C₄×Dic₁₀₉	2
#390×C₁₀₉	2
#2324	109