Subgroups — #28365928

Order 13952.

776 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 334 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×C₂²⋊D₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16812659	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂²×C₄⋊Dic₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×C₄⋊C₄×D₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20294923	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20294900	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20294898	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20294895	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20294883	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₄⋊C₄×Dic₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#380×C₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×C₂²⋊D₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×Dic₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×D₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄×D₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₄×C₂²⋊D₁₀₉	C₄	1	8	yes	complemented
17	#16812659	—	2	8	no	—
18	C₂×C₄⋊Dic₁₀₉	—	2	4	no	—
19	C₂×C₄⋊Dic₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄⋊Dic₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄⋊Dic₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#13182008	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#13182008	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#13182008	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#13182008	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄⋊C₄×D₁₀₉	—	2	4	no	—
27	C₂×C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#13182006	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#13182006	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄×Dic₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×Dic₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#16812606	C₂²	1	2	yes	—
33	#16812606	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂³×C₄×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₂²⋊C₄×C₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
38	#95×C₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂³×D₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	D₄	1	4	yes	—
42	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	Q₈	1	4	yes	—
43	C₂²×Dic₁₀₉	—	2	4	no	—
44	C₂²×Dic₁₀₉	—	2	4	no	—
45	C₂²×Dic₁₀₉	—	4	2	no	—
46	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×D₁₀₉	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄×D₁₀₉	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄×D₁₀₉	—	4	2	no	—
56	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
57	C₄⋊Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
58	C₄⋊Dic₁₀₉	—	2	4	no	—
59	C₄⋊Dic₁₀₉	D₄	1	4	yes	complemented
60	#13182008	—	2	4	no	—
61	#13182008	—	2	4	no	—
62	#13182008	—	4	2	no	—
63	#13182008	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
64	C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
65	#13182006	—	2	4	no	—
66	#13182006	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
67	C₄×Dic₁₀₉	—	2	4	no	—
68	C₄×Dic₁₀₉	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
69	C₂⁴×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
71	C₂²×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
73	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₄⋊C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
78	C₄⋊C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
79	C₂²⋊C₄×C₁₀₉	—	2	4	no	—
80	C₂³×C₁₀₉	—	2	1	no	—
81	C₂³×C₁₀₉	—	2	1	no	—
82	C₂³×C₁₀₉	—	2	1	no	—
83	C₂³×C₁₀₉	—	2	1	no	—
84	C₂³×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
85	C₂³×C₁₀₉	C₂×D₄	1	2	yes	—
86	C₂³×C₁₀₉	C₂×Q₈	1	2	yes	—
87	C₂³×C₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
89	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
90	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
91	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
92	C₂²×D₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂²×D₁₀₉	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂²×D₁₀₉	C₂×Q₈	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
96	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
97	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	8	no	—
98	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
101	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
103	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
104	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₄×C₁₀₉	#41	1	2	yes	—
108	C₂²⋊D₁₀₉	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
109	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
110	C₂×Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
111	C₂×Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
112	C₂×Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
113	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
114	C₂×Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
115	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
116	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
117	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
118	C₂×Dic₁₀₉	—	4	8	no	—
119	C₂×Dic₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂×Dic₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂×Dic₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂×Dic₁₀₉	C₂×D₄	1	4	yes	—
123	C₂×Dic₁₀₉	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂×Dic₁₀₉	C₂×Q₈	1	2	yes	—
125	C₄×D₁₀₉	—	2	8	no	—
126	C₄×D₁₀₉	—	4	8	no	—
127	C₂²×C₁₀₉	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₁₀₉	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₁₀₉	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₁₀₉	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₁₀₉	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₁₀₉	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₁₀₉	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	complemented
134	C₂²×C₁₀₉	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₁₀₉	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₁₀₉	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₁₀₉	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₁₀₉	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₁₀₉	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₁₀₉	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
141	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
142	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
143	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
144	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
145	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
146	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
147	C₂×D₁₀₉	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	complemented
148	C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
149	C₄×C₁₀₉	—	4	2	no	—
150	C₄×C₁₀₉	—	4	2	no	—
151	C₄×C₁₀₉	C₄×D₄	1	4	yes	complemented
152	Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
153	Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
154	Dic₁₀₉	—	2	4	no	—
155	Dic₁₀₉	—	4	2	no	—
156	Dic₁₀₉	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	complemented
157	C₂×C₁₀₉	—	2	4	no	—
158	C₂×C₁₀₉	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₁₀₉	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₁₀₉	#520	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₁₀₉	D₄²	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₁₀₉	#547	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₁₀₉	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₁₀₉	#554	1	1	yes	characteristic
165	D₁₀₉	—	2	4	no	—
166	D₄×C₄⋊C₄	—	109	1	no	maximal, Sylow
167	C₁₀₉	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
168	C₂×C₄×D₄	—	109	1	no	—
169	C₂×C₄×D₄	—	109	2	no	—
170	C₂²×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
171	C₂²×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
172	#389	—	109	2	no	—
173	#385	—	109	2	no	—
174	#385	—	109	2	no	—
175	#384	—	109	1	no	—
176	#380	—	109	1	no	—
177	#380	D₁₀₉	1	1	yes	characteristic, complemented
178	C₄×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
179	C₂²×D₄	—	109	1	no	—
180	C₂³×C₄	—	109	1	no	—
181	C₂³×C₄	—	109	2	no	—
182	C₂³×C₄	—	109	2	no	—
183	C₂³×C₄	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
184	C₄×D₄	—	109	8	no	—
185	C₄×D₄	—	218	8	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	218	4	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	218	4	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	1	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	1	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₁₀₉	1	2	yes	—
201	C₂×C₄²	—	109	1	no	—
202	C₂×C₄²	—	109	2	no	—
203	#95	—	109	2	no	—
204	#95	—	109	2	no	—
205	#95	C₂×D₁₀₉	1	2	yes	—
206	C₂⁴	—	109	1	no	—
207	C₂⁴	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
208	C₂×D₄	—	109	4	no	—
209	C₂×D₄	—	109	4	no	—
210	C₂×D₄	—	109	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	109	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	436	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	436	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	218	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	218	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	218	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	218	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	218	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	218	2	no	—
227	C₂²×C₄	C₄×D₁₀₉	1	4	yes	complemented
228	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
232	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	109	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	109	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	436	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	218	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	218	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	218	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	218	2	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	109	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	109	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	218	4	no	—
245	C₄²	—	109	4	no	—
246	C₄²	—	218	4	no	—
247	C₂³	—	2	1	no	—
248	C₂³	—	2	1	no	—
249	C₂³	—	2	1	no	—
250	C₂³	—	2	1	no	—
251	C₂³	—	109	2	no	—
252	C₂³	—	109	2	no	—
253	C₂³	—	109	2	no	—
254	C₂³	—	218	1	no	—
255	C₂³	—	218	1	no	—
256	C₂³	—	218	1	no	—
257	C₂³	—	218	1	no	—
258	C₂³	C₂×C₄×D₁₀₉	1	2	yes	—
259	C₂³	D₄×D₁₀₉	1	2	yes	—
260	C₂³	Q₈×D₁₀₉	1	2	yes	—
261	C₂³	C₂³×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
262	D₄	—	109	16	no	—
263	C₂×C₄	—	2	1	no	—
264	C₂×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	109	2	no	—
273	C₂×C₄	—	109	2	no	—
274	C₂×C₄	—	109	2	no	—
275	C₂×C₄	—	109	2	no	—
276	C₂×C₄	—	109	2	no	—
277	C₂×C₄	—	109	4	no	—
278	C₂×C₄	—	436	8	no	—
279	C₂×C₄	—	436	8	no	—
280	C₂×C₄	—	218	2	no	—
281	C₂×C₄	—	218	2	no	—
282	C₂×C₄	—	218	2	no	—
283	C₂×C₄	—	218	2	no	—
284	C₂×C₄	—	218	1	no	—
285	C₂×C₄	—	218	1	no	—
286	C₂×C₄	—	218	1	no	—
287	C₂×C₄	—	218	2	no	—
288	C₂×C₄	—	218	1	no	—
289	C₂×C₄	—	218	8	no	—
290	C₂×C₄	C₂×C₄×D₁₀₉	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₂×C₄×D₁₀₉	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	D₄×D₁₀₉	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	#13182028	1	2	yes	—
294	C₂²	—	2	2	no	—
295	C₂²	—	2	2	no	—
296	C₂²	—	2	2	no	—
297	C₂²	—	2	2	no	—
298	C₂²	—	2	2	no	—
299	C₂²	—	2	2	no	—
300	C₂²	—	109	4	no	—
301	C₂²	—	218	2	no	—
302	C₂²	—	218	2	no	—
303	C₂²	—	218	2	no	—
304	C₂²	—	218	2	no	—
305	C₂²	—	218	2	no	—
306	C₂²	—	218	2	no	—
307	C₂²	C₄⋊C₄×D₁₀₉	1	4	yes	complemented
308	C₂²	C₂²×C₄×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	C₂×D₄×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	C₂×D₄×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	C₂×Q₈×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	C₂×#13182028	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	#16812745	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	#16812746	1	1	yes	characteristic
315	C₄	—	2	2	no	—
316	C₄	—	4	2	no	—
317	C₄	—	4	2	no	—
318	C₄	—	109	4	no	—
319	C₄	—	436	2	no	—
320	C₄	—	218	2	no	—
321	C₄	—	218	2	no	—
322	C₄	—	218	4	no	—
323	C₄	#16812659	1	4	yes	complemented
324	C₂	—	2	4	no	—
325	C₂	—	218	4	no	—
326	C₂	C₂×C₄⋊C₄×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
327	C₂	C₂×#16812659	1	1	yes	characteristic
328	C₂	#20295506	1	1	yes	characteristic
329	C₂	#20295660	1	1	yes	characteristic
330	C₂	#20295676	1	1	yes	characteristic
331	C₂	#20295689	1	1	yes	characteristic
332	C₂	#20295734	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×D₁₀₉
commutator	C₂²×C₁₀₉	C₂³×C₄
Fitting	#380×C₁₀₉	C₂
socle, cosocle	C₂³×C₁₀₉	C₂⁴
prime radical	C₂²×C₂²⋊D₁₀₉	C₂²
hypercenter	#380	D₁₀₉
hypocenter	C₁₀₉	D₄×C₄⋊C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₁₀₉ ▷ C₁₀₉
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #380

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂²×C₄⋊Dic₁₀₉	C₂	semidirect
4. C₂×C₄⋊C₄×D₁₀₉	C₂	semidirect
5. #20294923	C₂	semidirect
6. #20294900	C₂	semidirect
7. #20294898	C₂	semidirect
8. #20294895	C₂	semidirect
9. #20294883	C₂	semidirect
10. C₄⋊C₄×Dic₁₀₉	C₂	semidirect
11. #380×C₁₀₉	C₂	semidirect
16. C₄×C₂²⋊D₁₀₉	C₄	semidirect
56. C₂×C₄×D₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
59. C₄⋊Dic₁₀₉	D₄	semidirect
63. #13182008	C₂×C₄	semidirect
64. C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
66. #13182006	C₂×C₄	semidirect
68. C₄×Dic₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
72. C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
108. C₂²⋊D₁₀₉	C₄⋊C₄	semidirect
133. C₂²×C₁₀₉	C₂×C₄⋊C₄	semidirect
147. C₂×D₁₀₉	C₂×C₄⋊C₄	semidirect
151. C₄×C₁₀₉	C₄×D₄	semidirect
156. Dic₁₀₉	C₂×C₄⋊C₄	semidirect
167. C₁₀₉	D₄×C₄⋊C₄	semidirect
177. #380	D₁₀₉	semidirect
227. C₂²×C₄	C₄×D₁₀₉	semidirect
307. C₂²	C₄⋊C₄×D₁₀₉	semidirect
323. C₄	#16812659	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×C₂²⋊D₁₀₉	2
C₂×#16812659	2
C₂²×C₄⋊Dic₁₀₉	2
C₂×C₄⋊C₄×D₁₀₉	2
#20294923	2
#20294900	2
#20294898	2
#20294895	2
#20294883	2
C₄⋊C₄×Dic₁₀₉	2
#380×C₁₀₉	2
D₄×C₄⋊C₄	109