Subgroups — #28365974

Order 13952.

588 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 274 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×C₂²⋊D₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20294916	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20294907	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20294903	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20294893	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20294888	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²⋊C₄×Dic₁₀₉	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20294873	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20294871	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#16812606	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#380×C₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×C₂²⋊D₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×Dic₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×D₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₄×C₂²⋊D₁₀₉	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×#13182008	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#13182006	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13182006	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#13182006	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×Dic₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×Dic₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×Dic₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#16812606	C₂²	1	2	yes	—
25	#16812606	C₂²	1	2	yes	—
26	#16812606	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#16812606	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#16812606	C₂²	1	2	yes	—
29	#16812606	C₂²	1	2	yes	—
30	#16812606	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂³×C₄×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₂²⋊C₄×C₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
34	#95×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#95×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×D₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	—	2	2	no	—
38	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	—	2	2	no	—
39	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂²×Dic₁₀₉	—	2	4	no	—
41	C₂²×Dic₁₀₉	—	2	4	no	—
42	C₂²×Dic₁₀₉	—	4	2	no	—
43	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×D₁₀₉	—	4	2	no	—
49	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
50	#13182008	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
51	C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	#13182006	—	2	4	no	—
53	#13182006	—	4	2	no	—
54	#13182006	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
55	C₄×Dic₁₀₉	—	2	4	no	—
56	C₄×Dic₁₀₉	—	4	2	no	—
57	C₄×Dic₁₀₉	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
58	C₂⁴×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄×C₁₀₉	—	4	2	no	—
60	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₄⋊C₄×C₁₀₉	—	4	2	no	—
66	C₂²⋊C₄×C₁₀₉	—	2	4	no	—
67	C₂³×C₁₀₉	—	2	2	no	—
68	C₂³×C₁₀₉	—	2	2	no	—
69	C₂³×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
70	C₂³×C₁₀₉	#41	1	2	yes	—
71	C₂³×C₁₀₉	#41	1	2	yes	—
72	C₂³×C₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×D₁₀₉	—	2	2	no	—
74	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
75	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
76	C₂²×D₁₀₉	—	2	2	no	—
77	C₂²×D₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄×C₁₀₉	—	4	4	no	—
87	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂²⋊D₁₀₉	—	2	8	no	—
90	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
91	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
92	C₂×Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
93	C₂×Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
94	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
95	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
96	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
97	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
98	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
99	C₂×Dic₁₀₉	—	4	8	no	—
100	C₂×Dic₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂×Dic₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂×Dic₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂×Dic₁₀₉	#41	1	4	yes	—
104	C₄×D₁₀₉	—	4	4	no	—
105	C₂²×C₁₀₉	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₁₀₉	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₁₀₉	—	2	4	no	—
108	C₂²×C₁₀₉	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₁₀₉	#117	1	4	yes	—
110	C₂²×C₁₀₉	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₁₀₉	C₂×#41	1	2	yes	—
112	C₂²×C₁₀₉	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₁₀₉	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₁₀₉	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
115	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
116	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
117	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
118	C₂×D₁₀₉	—	4	2	no	—
119	C₂×D₁₀₉	—	4	2	no	—
120	C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
121	C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
122	C₄×C₁₀₉	—	4	2	no	—
123	C₄×C₁₀₉	—	4	2	no	—
124	Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
125	Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
126	Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
127	Dic₁₀₉	—	2	4	no	—
128	Dic₁₀₉	—	4	2	no	—
129	C₂×C₁₀₉	—	2	4	no	—
130	C₂×C₁₀₉	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₁₀₉	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₁₀₉	#518	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₁₀₉	#551	1	2	yes	—
134	C₂×C₁₀₉	#553	1	2	yes	—
135	D₁₀₉	—	4	2	no	—
136	#2353	—	109	1	no	maximal, Sylow
137	C₁₀₉	#2353	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
138	C₂×C₄×D₄	—	109	1	no	—
139	#388	—	109	2	no	—
140	#387	—	109	2	no	—
141	#386	—	109	2	no	—
142	#383	—	109	1	no	—
143	#381	—	109	1	no	—
144	#380	D₁₀₉	1	1	yes	characteristic, complemented
145	C₄×C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
146	C₄×C₂²⋊C₄	—	109	1	no	—
147	#376	—	109	1	no	—
148	C₂×#95	—	109	1	no	—
149	C₂²×D₄	—	109	1	no	—
150	C₂³×C₄	—	109	1	no	—
151	C₂³×C₄	—	109	2	no	—
152	C₂³×C₄	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
153	C₄×D₄	—	109	8	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₁₀₉	1	2	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	1	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	1	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₁₀₉	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	—	109	1	no	—
162	C₂×C₄²	—	109	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	109	2	no	—
164	#95	—	109	1	no	—
165	#95	—	109	1	no	—
166	#95	—	109	2	no	—
167	#95	—	109	2	no	—
168	#95	—	109	2	no	—
169	#95	—	109	2	no	—
170	#95	—	109	2	no	—
171	#95	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
172	#95	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
173	C₂⁴	—	109	1	no	—
174	C₂⁴	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
175	C₂×D₄	—	109	4	no	—
176	C₂×D₄	—	218	2	no	—
177	C₂×D₄	—	218	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
180	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
182	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
183	C₂²×C₄	—	109	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	436	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	436	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	218	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	218	4	no	—
189	C₂²×C₄	C₄×D₁₀₉	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
194	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
195	C₄⋊C₄	—	109	4	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	109	4	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	109	4	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	436	2	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	218	4	no	—
201	C₄²	—	109	4	no	—
202	C₄²	—	436	2	no	—
203	C₄²	—	218	4	no	—
204	C₂³	—	2	2	no	—
205	C₂³	—	2	2	no	—
206	C₂³	—	109	2	no	—
207	C₂³	—	218	2	no	—
208	C₂³	—	218	1	no	—
209	C₂³	—	218	1	no	—
210	C₂³	—	218	2	no	—
211	C₂³	C₂×C₄×D₁₀₉	1	2	yes	—
212	C₂³	#13182028	1	2	yes	—
213	C₂³	#13182030	1	2	yes	—
214	C₂³	C₂³×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
215	D₄	—	218	8	no	—
216	C₂×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂×C₄	—	109	2	no	—
226	C₂×C₄	—	109	2	no	—
227	C₂×C₄	—	109	2	no	—
228	C₂×C₄	—	109	4	no	—
229	C₂×C₄	—	436	4	no	—
230	C₂×C₄	—	436	8	no	—
231	C₂×C₄	—	218	2	no	—
232	C₂×C₄	—	218	2	no	—
233	C₂×C₄	—	218	2	no	—
234	C₂×C₄	—	218	2	no	—
235	C₂×C₄	—	218	1	no	—
236	C₂×C₄	—	218	2	no	—
237	C₂×C₄	—	218	1	no	—
238	C₂×C₄	—	218	2	no	—
239	C₂×C₄	—	218	2	no	—
240	C₂×C₄	C₂×C₄×D₁₀₉	1	2	yes	—
241	C₂×C₄	C₂×C₄×D₁₀₉	1	2	yes	—
242	C₂²	—	2	4	no	—
243	C₂²	—	2	4	no	—
244	C₂²	—	2	2	no	—
245	C₂²	—	2	2	no	—
246	C₂²	—	436	2	no	—
247	C₂²	—	436	2	no	—
248	C₂²	—	218	2	no	—
249	C₂²	—	218	2	no	—
250	C₂²	—	218	2	no	—
251	C₂²	#16812657	1	4	yes	—
252	C₂²	C₂²×C₄×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
253	C₂²	#41×D₁₀₉	1	2	yes	—
254	C₂²	C₂×#13182028	1	1	yes	characteristic
255	C₂²	C₂×#13182030	1	1	yes	characteristic
256	C₂²	#16812744	1	2	yes	—
257	C₄	—	2	2	no	—
258	C₄	—	2	2	no	—
259	C₄	—	4	2	no	—
260	C₄	—	4	2	no	—
261	C₄	—	436	2	no	—
262	C₄	—	218	4	no	—
263	C₄	—	218	2	no	—
264	C₄	—	218	2	no	—
265	C₄	—	218	2	no	—
266	C₂	—	2	4	no	—
267	C₂	—	436	2	no	—
268	C₂	C₂×#16812657	1	1	yes	characteristic
269	C₂	#20295494	1	1	yes	characteristic
270	C₂	#20295499	1	1	yes	characteristic
271	C₂	#20295703	1	2	yes	—
272	C₂	#20295719	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×D₁₀₉
commutator	C₂²×C₁₀₉	C₂³×C₄
Fitting	#380×C₁₀₉	C₂
socle, cosocle	C₂³×C₁₀₉	C₂⁴
prime radical	C₂²×C₂²⋊D₁₀₉	C₂²
hypercenter	#380	D₁₀₉
hypocenter	C₁₀₉	#2353
LCS	G ▷ C₂²×C₁₀₉ ▷ C₁₀₉
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #380

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20294916	C₂	semidirect
3. #20294907	C₂	semidirect
5. #20294893	C₂	semidirect
6. #20294888	C₂	semidirect
7. C₂²⋊C₄×Dic₁₀₉	C₂	semidirect
8. #20294873	C₂	semidirect
9. #20294871	C₂	semidirect
10. C₂×#16812606	C₂	semidirect
11. #380×C₁₀₉	C₂	semidirect
15. C₄×C₂²⋊D₁₀₉	C₄	semidirect
49. C₂×C₄×D₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
50. #13182008	C₂×C₄	semidirect
54. #13182006	C₂×C₄	semidirect
57. C₄×Dic₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
137. C₁₀₉	#2353	semidirect
144. #380	D₁₀₉	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×C₂²⋊D₁₀₉	2
#20294916	2
#20294907	2
#20294903	2
#20294893	2
#20294888	2
C₂²⋊C₄×Dic₁₀₉	2
#20294873	2
#20294871	2
C₂×#16812606	2
#380×C₁₀₉	2
#2353	109