Subgroups — #28366393

Order 13952.

840 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×Q₈×D₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#16812678	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×C₄×C₂²⋊D₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20294946	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20294938	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20294933	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20294931	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20294902	C₂	1	2	yes	maximal
9	#20294897	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#20294883	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×C₂²⋊Q₈×C₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×Dic₂₁₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×Dic₂₁₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×Q₈×D₁₀₉	—	2	4	no	—
15	C₂×Q₈×D₁₀₉	—	2	4	no	—
16	C₂×Q₈×D₁₀₉	—	2	4	no	—
17	C₂²×C₂²⋊D₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄×D₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄×D₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#16812678	—	2	4	no	—
21	C₄×C₂²⋊D₁₀₉	—	2	4	no	—
22	C₂×C₄⋊Dic₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#13182008	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#13182008	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#13182006	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#13182006	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×Dic₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16812606	C₂²	1	2	yes	—
31	#16812606	C₂²	1	2	yes	—
32	#16812606	C₂²	1	2	yes	—
33	#16812606	C₂²	1	2	yes	—
34	#16812606	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×Q₈×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₄×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²⋊Q₈×C₁₀₉	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×C₂²⋊C₄×C₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂³×D₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂×Dic₂₁₈	—	2	2	no	—
43	C₂×Dic₂₁₈	—	2	4	no	—
44	C₂×Dic₂₁₈	—	2	2	no	—
45	C₂×Dic₂₁₈	—	2	4	no	—
46	C₂×Dic₂₁₈	—	2	4	no	—
47	C₂×Dic₂₁₈	D₄	1	4	yes	complemented
48	Q₈×D₁₀₉	—	2	32	no	—
49	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	—	2	2	no	—
50	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	—	2	2	no	—
51	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	Q₈	1	4	yes	complemented
52	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄×D₁₀₉	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×D₁₀₉	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×D₁₀₉	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄×D₁₀₉	D₄	1	4	yes	—
63	C₄⋊Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
64	#13182008	—	2	2	no	—
65	#13182008	—	2	4	no	—
66	C₂²⋊Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
67	C₂²⋊Dic₁₀₉	—	2	4	no	—
68	#13182006	—	2	2	no	—
69	#13182006	—	2	4	no	—
70	C₄×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
71	C₂⁴×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×Q₈×C₁₀₉	—	2	2	no	—
73	C₂×Q₈×C₁₀₉	—	2	2	no	—
74	C₂×Q₈×C₁₀₉	D₄	1	4	yes	complemented
75	C₂²×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₄⋊C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
83	C₄⋊C₄×C₁₀₉	—	2	4	no	—
84	C₂²⋊C₄×C₁₀₉	—	2	4	no	—
85	C₂³×C₁₀₉	—	2	1	no	—
86	C₂³×C₁₀₉	—	2	1	no	—
87	C₂³×C₁₀₉	—	2	1	no	—
88	C₂³×C₁₀₉	—	2	1	no	—
89	C₂³×C₁₀₉	—	2	1	no	—
90	C₂³×C₁₀₉	—	2	1	no	—
91	C₂³×C₁₀₉	C₂×Q₈	1	2	yes	complemented
92	C₂³×C₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
94	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
95	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
96	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
97	C₂²×D₁₀₉	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₂²×D₁₀₉	C₂×Q₈	1	2	yes	—
99	C₂²×D₁₀₉	#41	1	2	yes	—
100	Q₈×C₁₀₉	—	2	8	no	—
101	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
103	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
104	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
105	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
106	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
107	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄×C₁₀₉	—	4	4	no	—
110	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂²⋊D₁₀₉	—	2	8	no	—
115	C₂×Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
116	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
117	C₂×Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
118	C₂×Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
119	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
120	C₂×Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
121	C₂×Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
122	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
123	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
124	C₂×Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
125	C₂×Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
126	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
127	C₂×Dic₁₀₉	C₂×D₄	1	4	yes	—
128	C₂×Dic₁₀₉	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂×Dic₁₀₉	C₂×Q₈	1	2	yes	complemented
130	C₄×D₁₀₉	—	2	16	no	—
131	C₄×D₁₀₉	—	2	8	no	—
132	Dic₂₁₈	—	2	16	no	—
133	Dic₂₁₈	—	2	8	no	—
134	C₂²×C₁₀₉	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₁₀₉	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₁₀₉	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₁₀₉	—	4	1	no	—
138	C₂²×C₁₀₉	—	4	1	no	—
139	C₂²×C₁₀₉	—	4	1	no	—
140	C₂²×C₁₀₉	—	4	1	no	—
141	C₂²×C₁₀₉	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₁₀₉	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₁₀₉	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₁₀₉	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₁₀₉	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₁₀₉	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₁₀₉	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
148	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
149	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
150	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
151	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
152	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
153	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
154	C₂×D₁₀₉	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	complemented
155	C₄×C₁₀₉	—	2	4	no	—
156	C₄×C₁₀₉	—	4	1	no	—
157	C₄×C₁₀₉	—	4	2	no	—
158	C₄×C₁₀₉	#120	1	4	yes	—
159	Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
160	Dic₁₀₉	—	2	4	no	—
161	Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
162	Dic₁₀₉	—	4	1	no	—
163	Dic₁₀₉	—	4	2	no	—
164	C₂×C₁₀₉	—	4	2	no	—
165	C₂×C₁₀₉	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₁₀₉	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₁₀₉	#536	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₁₀₉	#548	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₁₀₉	#548	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₁₀₉	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₁₀₉	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
172	D₁₀₉	—	2	4	no	—
173	#2409	—	109	1	no	maximal, Sylow
174	C₁₀₉	#2409	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
175	C₂³×Q₈	—	109	1	no	—
176	C₂×C₂²⋊Q₈	—	109	1	no	—
177	C₂×C₂²⋊Q₈	D₁₀₉	1	1	yes	characteristic, complemented
178	C₂×C₄×D₄	—	109	1	no	—
179	#395	—	109	2	no	—
180	#393	—	109	2	no	—
181	#391	—	109	1	no	—
182	#391	—	109	1	no	—
183	#386	—	109	2	no	—
184	#385	—	109	2	no	—
185	#380	—	109	1	no	—
186	C₂²×Q₈	—	109	1	no	—
187	C₂²×Q₈	—	109	2	no	—
188	C₂²×Q₈	—	218	4	no	—
189	C₂²×Q₈	—	218	4	no	—
190	C₂²×Q₈	—	218	4	no	—
191	C₂²×Q₈	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×D₄	—	109	1	no	—
193	C₂³×C₄	—	109	1	no	—
194	C₂³×C₄	—	109	2	no	—
195	C₂³×C₄	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
196	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
197	C₂²⋊Q₈	—	218	4	no	—
198	C₄×D₄	—	218	4	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₁₀₉	1	2	yes	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	1	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	1	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₁₀₉	1	2	yes	—
209	C₂×C₄²	—	109	1	no	—
210	#95	—	109	2	no	—
211	#95	—	109	2	no	—
212	#95	—	109	2	no	—
213	#95	—	109	2	no	—
214	#95	—	109	2	no	—
215	C₂⁴	—	109	1	no	—
216	C₂⁴	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
217	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	109	4	no	—
220	C₂×Q₈	—	218	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	218	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	218	32	no	—
223	C₂×Q₈	—	218	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	218	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	218	2	no	—
226	C₂×Q₈	C₂²⋊D₁₀₉	1	4	yes	complemented
227	C₂×D₄	—	109	4	no	—
228	C₂×D₄	—	218	2	no	—
229	C₂×D₄	—	218	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
234	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	109	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	218	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	218	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	218	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	218	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	218	2	no	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
248	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	218	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	218	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	218	2	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	218	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	218	2	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	218	2	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	218	4	no	—
258	C₄²	—	218	2	no	—
259	C₂³	—	2	1	no	—
260	C₂³	—	2	1	no	—
261	C₂³	—	2	1	no	—
262	C₂³	—	2	1	no	—
263	C₂³	—	2	1	no	—
264	C₂³	—	2	1	no	—
265	C₂³	—	109	2	no	—
266	C₂³	—	109	2	no	—
267	C₂³	—	109	2	no	—
268	C₂³	—	218	1	no	—
269	C₂³	—	218	1	no	—
270	C₂³	—	218	1	no	—
271	C₂³	—	218	1	no	—
272	C₂³	Q₈×D₁₀₉	1	2	yes	complemented
273	C₂³	C₂³×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
274	Q₈	—	2	8	no	—
275	Q₈	—	218	16	no	—
276	Q₈	—	218	8	no	—
277	D₄	—	218	8	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	109	2	no	—
288	C₂×C₄	—	109	4	no	—
289	C₂×C₄	—	109	2	no	—
290	C₂×C₄	—	218	16	no	—
291	C₂×C₄	—	218	1	no	—
292	C₂×C₄	—	218	2	no	—
293	C₂×C₄	—	218	2	no	—
294	C₂×C₄	—	218	1	no	—
295	C₂×C₄	—	218	2	no	—
296	C₂×C₄	—	218	1	no	—
297	C₂×C₄	—	218	1	no	—
298	C₂×C₄	—	218	1	no	—
299	C₂×C₄	—	218	2	no	—
300	C₂×C₄	—	218	1	no	—
301	C₂×C₄	—	218	2	no	—
302	C₂×C₄	—	218	1	no	—
303	C₂×C₄	—	218	8	no	—
304	C₂×C₄	D₄×D₁₀₉	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	D₄×D₁₀₉	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	1	2	yes	—
308	C₂²	—	2	2	no	—
309	C₂²	—	2	2	no	—
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	—	4	1	no	—
312	C₂²	—	4	1	no	—
313	C₂²	—	4	1	no	—
314	C₂²	—	4	1	no	—
315	C₂²	—	109	4	no	—
316	C₂²	—	218	2	no	—
317	C₂²	—	218	2	no	—
318	C₂²	—	218	2	no	—
319	C₂²	—	218	2	no	—
320	C₂²	—	218	2	no	—
321	C₂²	—	218	2	no	—
322	C₂²	C₂×D₄×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	C₂×D₄×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	C₂²×C₂²⋊D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂×Q₈×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	#41×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#16812746	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	#16812747	1	1	yes	characteristic
329	C₄	—	2	4	no	—
330	C₄	—	4	2	no	—
331	C₄	—	4	1	no	—
332	C₄	—	436	2	no	—
333	C₄	—	436	1	no	—
334	C₄	—	218	2	no	—
335	C₄	—	218	4	no	—
336	C₄	—	218	2	no	—
337	C₄	#16812667	1	4	yes	—
338	C₂	—	4	2	no	—
339	C₂	—	218	4	no	—
340	C₂	C₂×#16812667	1	1	yes	characteristic
341	C₂	C₂²⋊Q₈×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#20295599	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#20295683	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#20295686	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#20295689	1	1	yes	characteristic
346	C₂	Q₈×C₂²⋊D₁₀₉	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×D₁₀₉
commutator, socle, cosocle	C₂³×C₁₀₉	C₂⁴
Fitting	C₂×C₂²⋊Q₈×C₁₀₉	C₂
prime radical	C₂²×C₂²⋊D₁₀₉	C₂²
hypercenter	C₂×C₂²⋊Q₈	D₁₀₉
hypocenter	C₁₀₉	#2409
LCS	G ▷ C₂³×C₁₀₉ ▷ C₁₀₉
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₂²⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×Q₈×D₁₀₉	C₂	semidirect
2. C₂×#16812678	C₂	semidirect
4. #20294946	C₂	semidirect
5. #20294938	C₂	semidirect
6. #20294933	C₂	semidirect
7. #20294931	C₂	semidirect
9. #20294897	C₂	semidirect
10. #20294883	C₂	semidirect
11. C₂×C₂²⋊Q₈×C₁₀₉	C₂	semidirect
47. C₂×Dic₂₁₈	D₄	semidirect
51. C₂×C₂²⋊D₁₀₉	Q₈	semidirect
74. C₂×Q₈×C₁₀₉	D₄	semidirect
91. C₂³×C₁₀₉	C₂×Q₈	semidirect
129. C₂×Dic₁₀₉	C₂×Q₈	semidirect
154. C₂×D₁₀₉	C₂²⋊Q₈	semidirect
174. C₁₀₉	#2409	semidirect
177. C₂×C₂²⋊Q₈	D₁₀₉	semidirect
226. C₂×Q₈	C₂²⋊D₁₀₉	semidirect
272. C₂³	Q₈×D₁₀₉	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×Q₈×D₁₀₉	2
C₂×#16812678	2
C₂×C₄×C₂²⋊D₁₀₉	2
#20294946	2
#20294938	2
#20294933	2
#20294931	2
#20294902	2
#20294897	2
#20294883	2
C₂×C₂²⋊Q₈×C₁₀₉	2
#2409	109