Subgroups — #413×D₁₀₉ #28371503

Order 13952.

756 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 368 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#41×D₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×M₁₆×D₁₀₉	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20295010	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20295009	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20295008	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20295007	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#101×D₁₀₉	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#100×D₁₀₉	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#413×C₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#13182030	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#13182029	C₄	1	2	yes	—
12	C₂×#13182029	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#13182028	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×#13182028	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#41×D₁₀₉	—	2	2	no	—
16	#41×D₁₀₉	—	2	2	no	—
17	#41×D₁₀₉	—	2	2	no	—
18	#41×D₁₀₉	—	2	2	no	—
19	C₂×Q₈×D₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×D₄×D₁₀₉	C₄	1	2	yes	—
21	C₂×D₄×D₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₄×D₁₀₉	C₄	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄×D₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#13182013	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₂×#13182012	—	2	2	no	—
26	M₁₆×D₁₀₉	—	2	2	no	—
27	M₁₆×D₁₀₉	—	2	2	no	—
28	M₁₆×D₁₀₉	C₂²	1	4	yes	—
29	M₁₆×D₁₀₉	C₂²	1	4	yes	complemented
30	C₂×C₈×D₁₀₉	—	2	2	no	—
31	#16812618	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#16812617	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#16812616	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#16812615	C₂²	1	4	yes	complemented
35	C₂×#41×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×M₁₆×C₁₀₉	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#101×C₁₀₉	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#100×C₁₀₉	C₂²	1	2	yes	complemented
39	C₂³×D₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂³×D₁₀₉	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	#13182030	—	2	2	no	—
42	#13182030	—	2	2	no	—
43	#13182029	—	2	2	no	—
44	#13182029	—	2	2	no	—
45	#13182029	—	2	4	no	—
46	#13182029	—	2	4	no	—
47	#13182028	—	2	4	no	—
48	#13182028	—	2	4	no	—
49	#13182028	—	2	2	no	—
50	#13182028	—	2	2	no	—
51	C₂×Dic₂₁₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×Dic₂₁₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	Q₈×D₁₀₉	—	2	2	no	—
54	Q₈×D₁₀₉	—	2	2	no	—
55	C₂×D₄₃₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×D₄₃₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	D₄×D₁₀₉	—	2	4	no	—
61	D₄×D₁₀₉	—	2	4	no	—
62	D₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
63	D₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
64	C₂²×Dic₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂²×Dic₁₀₉	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×D₁₀₉	D₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×D₁₀₉	D₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×D₁₀₉	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×D₁₀₉	D₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	#13182013	—	2	2	no	—
82	#13182013	C₂³	1	4	yes	—
83	#13182012	—	2	4	no	—
84	#13182012	—	2	4	no	—
85	C₂×#11724784	—	2	2	no	—
86	C₈×D₁₀₉	—	2	4	no	—
87	C₈×D₁₀₉	—	2	4	no	—
88	#41×C₁₀₉	—	2	2	no	—
89	#41×C₁₀₉	—	2	2	no	—
90	C₂×Q₈×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×D₄×C₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	C₂×D₄×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	M₁₆×C₁₀₉	—	2	2	no	—
96	M₁₆×C₁₀₉	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×C₈×C₁₀₉	—	2	2	no	—
98	C₂³×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂³×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×D₁₀₉	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₁₀₉	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₁₀₉	—	4	2	no	—
103	C₂²×D₁₀₉	—	4	4	no	—
104	C₂²×D₁₀₉	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
105	C₂²×D₁₀₉	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
106	C₂²×D₁₀₉	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×D₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂²×D₁₀₉	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	Q₈×C₁₀₉	—	2	2	no	—
110	D₄×C₁₀₉	—	2	4	no	—
111	D₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	C₂²⋊D₁₀₉	—	2	4	no	—
120	C₂²⋊D₁₀₉	—	2	4	no	—
121	C₂²⋊D₁₀₉	—	2	4	no	—
122	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
123	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
124	C₂×Dic₁₀₉	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
125	C₂×Dic₁₀₉	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
126	C₂×Dic₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂×Dic₁₀₉	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂×Dic₁₀₉	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	D₄₃₆	—	2	4	no	—
130	D₄₃₆	—	2	2	no	—
131	C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
132	C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
133	C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
134	C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
135	C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
136	C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
137	C₄×D₁₀₉	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₄×D₁₀₉	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₄×D₁₀₉	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₄×D₁₀₉	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₄×D₁₀₉	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
142	C₄×D₁₀₉	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
143	C₄×D₁₀₉	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₄×D₁₀₉	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₄×D₁₀₉	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₄×D₁₀₉	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	Dic₂₁₈	—	2	2	no	—
148	Dic₂₁₈	—	2	4	no	—
149	C₈×C₁₀₉	—	2	4	no	—
150	#11724784	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₁₀₉	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₁₀₉	—	4	1	no	—
153	C₂²×C₁₀₉	—	4	2	no	—
154	C₂²×C₁₀₉	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₂²×C₁₀₉	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
157	C₂×D₁₀₉	—	2	4	no	—
158	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
159	C₂×D₁₀₉	—	4	2	no	—
160	C₂×D₁₀₉	—	4	1	no	—
161	C₂×D₁₀₉	—	4	4	no	—
162	C₂×D₁₀₉	—	4	4	no	—
163	C₂×D₁₀₉	—	4	2	no	—
164	C₂×D₁₀₉	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×D₁₀₉	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
166	C₂×D₁₀₉	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
168	C₄×C₁₀₉	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₄×C₁₀₉	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₄×C₁₀₉	C₂²×D₄	1	2	yes	—
171	Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
172	Dic₁₀₉	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
173	Dic₁₀₉	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
174	Dic₁₀₉	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₁₀₉	—	2	1	no	—
176	C₂×C₁₀₉	—	2	2	no	—
177	C₂×C₁₀₉	—	4	2	no	—
178	C₂×C₁₀₉	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
179	D₁₀₉	—	2	1	no	—
180	D₁₀₉	—	2	2	no	—
181	D₁₀₉	—	4	2	no	—
182	D₁₀₉	#413	1	2	yes	direct product factor
183	C₂×#413	—	109	1	no	maximal, Sylow
184	C₁₀₉	C₂×#413	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
185	C₂²×#41	—	109	1	no	—
186	C₂²×M₁₆	—	109	2	no	—
187	#413	—	109	1	no	—
188	#413	—	109	2	no	—
189	#413	—	109	2	no	—
190	#413	—	109	2	no	—
191	#413	D₁₀₉	1	1	yes	characteristic, direct product factor
192	C₂×#101	—	109	2	no	—
193	C₂×#100	—	109	2	no	—
194	C₂×#41	—	109	1	no	—
195	C₂×#41	—	109	2	no	—
196	C₂×#41	—	109	1	no	—
197	C₂×#41	—	109	2	no	—
198	C₂×#41	—	109	1	no	—
199	C₂×#41	—	218	2	no	—
200	C₂×#41	—	218	2	no	—
201	C₂×#41	—	218	2	no	—
202	C₂×#41	—	218	2	no	—
203	C₂×#41	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×Q₈	—	109	1	no	—
205	C₂²×D₄	—	109	2	no	—
206	C₂²×D₄	—	109	1	no	—
207	C₂³×C₄	—	109	1	no	—
208	C₂³×C₄	—	109	2	no	—
209	C₂×M₁₆	—	109	2	no	—
210	C₂×M₁₆	—	109	4	no	—
211	C₂×M₁₆	—	109	4	no	—
212	C₂×M₁₆	—	218	2	no	—
213	C₂×M₁₆	—	218	2	no	—
214	C₂×M₁₆	—	218	2	no	—
215	C₂×M₁₆	C₂×D₁₀₉	1	2	yes	complemented
216	C₂²×C₈	—	218	2	no	—
217	#101	—	109	2	no	—
218	#101	—	109	4	no	—
219	#101	C₂×D₁₀₉	1	2	yes	complemented
220	#100	—	109	2	no	—
221	#100	—	109	4	no	—
222	#100	C₂×D₁₀₉	1	2	yes	complemented
223	C₂⁴	—	109	1	no	—
224	C₂⁴	—	109	2	no	—
225	#41	—	2	2	no	—
226	#41	—	2	2	no	—
227	#41	—	218	4	no	—
228	#41	—	218	4	no	—
229	#41	—	218	4	no	—
230	#41	—	218	4	no	—
231	#41	—	218	2	no	—
232	#41	—	218	2	no	—
233	#41	—	218	2	no	—
234	#41	—	218	2	no	—
235	#41	—	218	2	no	—
236	#41	—	218	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	109	2	no	—
238	C₂×Q₈	—	109	1	no	—
239	C₂×Q₈	—	218	2	no	—
240	C₂×Q₈	—	218	2	no	—
241	C₂×Q₈	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
242	C₂×D₄	—	109	2	no	—
243	C₂×D₄	—	109	2	no	—
244	C₂×D₄	—	109	2	no	—
245	C₂×D₄	—	109	2	no	—
246	C₂×D₄	—	109	1	no	—
247	C₂×D₄	—	218	2	no	—
248	C₂×D₄	—	218	2	no	—
249	C₂×D₄	—	218	4	no	—
250	C₂×D₄	—	218	4	no	—
251	C₂×D₄	C₄×D₁₀₉	1	2	yes	—
252	C₂×D₄	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
254	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
256	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
261	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
262	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	218	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	218	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	218	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	218	2	no	—
270	C₂²×C₄	C₄×D₁₀₉	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
272	M₁₆	—	2	2	no	—
273	M₁₆	—	109	4	no	—
274	M₁₆	—	218	4	no	—
275	M₁₆	—	218	4	no	—
276	M₁₆	—	218	2	no	—
277	M₁₆	C₂²×D₁₀₉	1	4	yes	—
278	C₂×C₈	—	2	2	no	—
279	C₂×C₈	—	218	4	no	—
280	C₂×C₈	—	218	4	no	—
281	C₂×C₈	—	218	2	no	—
282	C₂³	—	109	2	no	—
283	C₂³	—	109	1	no	—
284	C₂³	—	109	2	no	—
285	C₂³	—	109	1	no	—
286	C₂³	—	109	2	no	—
287	C₂³	—	436	4	no	—
288	C₂³	—	436	2	no	—
289	C₂³	—	218	2	no	—
290	C₂³	—	218	2	no	—
291	C₂³	C₂×C₄×D₁₀₉	1	2	yes	—
292	C₂³	C₂×C₄×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
293	Q₈	—	2	2	no	—
294	Q₈	—	218	4	no	—
295	Q₈	—	218	2	no	—
296	D₄	—	2	4	no	—
297	D₄	—	2	2	no	—
298	D₄	—	218	4	no	—
299	D₄	—	218	4	no	—
300	D₄	—	218	4	no	—
301	D₄	—	218	4	no	—
302	D₄	—	218	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	109	2	no	—
306	C₂×C₄	—	109	2	no	—
307	C₂×C₄	—	109	1	no	—
308	C₂×C₄	—	109	1	no	—
309	C₂×C₄	—	109	1	no	—
310	C₂×C₄	—	109	1	no	—
311	C₂×C₄	—	109	2	no	—
312	C₂×C₄	—	109	1	no	—
313	C₂×C₄	—	109	1	no	—
314	C₂×C₄	—	109	2	no	—
315	C₂×C₄	—	109	2	no	—
316	C₂×C₄	—	109	2	no	—
317	C₂×C₄	—	109	2	no	—
318	C₂×C₄	—	109	2	no	—
319	C₂×C₄	—	109	2	no	—
320	C₂×C₄	—	218	2	no	—
321	C₂×C₄	—	218	2	no	—
322	C₂×C₄	—	218	2	no	—
323	C₂×C₄	—	218	2	no	—
324	C₂×C₄	—	218	2	no	—
325	C₂×C₄	—	218	2	no	—
326	C₂×C₄	—	218	2	no	—
327	C₂×C₄	—	218	2	no	—
328	C₂×C₄	C₂×C₄×D₁₀₉	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×C₄×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	D₄×D₁₀₉	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	D₄×D₁₀₉	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂³×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
333	C₈	—	2	4	no	—
334	C₈	—	218	4	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	4	1	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	—	109	1	no	—
339	C₂²	—	109	1	no	—
340	C₂²	—	109	2	no	—
341	C₂²	—	436	2	no	—
342	C₂²	—	436	1	no	—
343	C₂²	—	436	2	no	—
344	C₂²	—	436	4	no	—
345	C₂²	—	436	4	no	—
346	C₂²	—	218	2	no	—
347	C₂²	—	218	4	no	—
348	C₂²	—	218	2	no	—
349	C₂²	C₂²⋊C₄×D₁₀₉	1	2	yes	—
350	C₂²	C₂²×C₄×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	109	1	no	—
353	C₄	—	109	1	no	—
354	C₄	—	109	2	no	—
355	C₄	—	218	2	no	—
356	C₄	C₂²⋊C₄×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
357	C₄	C₂²⋊C₄×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
358	C₄	C₂×D₄×D₁₀₉	1	2	yes	—
359	C₂	—	2	1	no	—
360	C₂	—	2	2	no	—
361	C₂	—	4	2	no	—
362	C₂	—	109	2	no	—
363	C₂	—	436	2	no	—
364	C₂	—	218	1	no	—
365	C₂	—	218	2	no	—
366	C₂	C₂×C₂²⋊C₄×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	C₂²⋊C₄×D₁₀₉
commutator	C₂²×C₁₀₉	C₂³×C₄
Frattini	C₂×C₄	C₂³×D₁₀₉
Fitting	#413×C₁₀₉	C₂
socle	C₂×C₁₀₉	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#41×D₁₀₉	C₂
cosocle	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂⁴
hypercenter	#413	D₁₀₉
hypocenter	C₁₀₉	C₂×#413
LCS	G ▷ C₂²×C₁₀₉ ▷ C₂×C₁₀₉ ▷ C₁₀₉
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂²×C₄ ◁ #413

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×M₁₆×D₁₀₉	C₂	semidirect
3. #20295010	C₂	semidirect
4. #20295009	C₂	semidirect
5. #20295008	C₂	semidirect
6. #20295007	C₂	semidirect
7. #101×D₁₀₉	C₂	semidirect
8. #100×D₁₀₉	C₂	semidirect
9. #413×C₁₀₉	C₂	semidirect
24. C₂×#13182013	C₂²	semidirect
29. M₁₆×D₁₀₉	C₂²	semidirect
31. #16812618	C₂²	semidirect
32. #16812617	C₂²	semidirect
33. #16812616	C₂²	semidirect
34. #16812615	C₂²	semidirect
36. C₂×M₁₆×C₁₀₉	C₂²	semidirect
37. #101×C₁₀₉	C₂²	semidirect
38. #100×C₁₀₉	C₂²	semidirect
182. D₁₀₉	#413	direct (N × H)
184. C₁₀₉	C₂×#413	semidirect
191. #413	D₁₀₉	direct (N × H)
215. C₂×M₁₆	C₂×D₁₀₉	semidirect
219. #101	C₂×D₁₀₉	semidirect
222. #100	C₂×D₁₀₉	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#41×D₁₀₉	2
C₂×M₁₆×D₁₀₉	2
#20295010	2
#20295009	2
#20295008	2
#20295007	2
#101×D₁₀₉	2
#100×D₁₀₉	2
#413×C₁₀₉	2
C₂×#413	109

Subgroups — #413×D109 #28371503

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — #413×D₁₀₉ #28371503