Subgroups — #28372658

Order 13952.

496 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16812730	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#13182013	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20295537	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20295282	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20295274	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20295265	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20295257	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20295066	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20295035	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#20295025	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×C₂²⋊Q₈×C₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#13182029	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#16812730	—	2	4	no	—
14	C₂×#13182019	C₂²	1	2	yes	complemented
15	C₂×#13182016	C₂²	1	2	yes	complemented
16	C₂×#13182013	—	2	4	no	—
17	C₂×#13182013	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13182013	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#13182013	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#11724784	C₂²	1	2	yes	—
21	#16812682	—	2	1	no	—
22	#16812678	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#16812678	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#16812673	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#16812673	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#16812668	—	2	1	no	—
27	C₄×C₂²⋊D₁₀₉	—	2	1	no	—
28	C₄×C₂²⋊D₁₀₉	—	2	1	no	—
29	#16812658	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16812632	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#16812630	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#16812623	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#16812623	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#16812622	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#16812619	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂²×Q₈×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₄×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂²⋊Q₈×C₁₀₉	—	2	1	no	—
39	C₂²⋊Q₈×C₁₀₉	—	2	1	no	—
40	C₂²⋊Q₈×C₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²⋊Q₈×C₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×C₄⋊C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
43	C₂×C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₂²⋊C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
45	#13182029	—	2	2	no	—
46	#13182029	—	2	2	no	—
47	C₂×Dic₂₁₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×D₄₃₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	—	2	1	no	—
50	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	—	2	1	no	—
51	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄×D₁₀₉	—	2	1	no	—
53	#13182019	—	2	4	no	—
54	#13182016	—	2	4	no	—
55	#13182013	—	2	2	no	—
56	#13182013	—	2	4	no	—
57	#13182013	D₄	1	4	yes	complemented
58	C₂×#11724784	—	2	4	no	—
59	C₂×#11724784	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×#11724784	C₂³	1	2	yes	—
61	C₄⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₄⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#13182008	—	2	1	no	—
64	#13182008	—	2	1	no	—
65	C₂²⋊Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
66	C₂²⋊Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
67	C₂²⋊Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
68	#13182006	—	2	1	no	—
69	#13182006	—	2	1	no	—
70	C₄×Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
71	C₂⁴×C₁₀₉	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×Q₈×C₁₀₉	—	2	1	no	—
73	C₂×Q₈×C₁₀₉	—	2	2	no	—
74	C₂×Q₈×C₁₀₉	—	2	2	no	—
75	C₂×Q₈×C₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
79	C₂²×C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
80	C₂²×C₄×C₁₀₉	D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄×C₁₀₉	D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₄×C₁₀₉	D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₄⋊C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
87	C₄⋊C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
88	C₄⋊C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
89	C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂²⋊C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
91	C₂²⋊C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
92	C₂³×C₁₀₉	—	2	2	no	—
93	C₂³×C₁₀₉	—	2	2	no	—
94	C₂³×C₁₀₉	—	4	1	no	—
95	C₂³×C₁₀₉	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₁₀₉	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₁₀₉	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
99	Q₈×C₁₀₉	—	2	2	no	—
100	Q₈×C₁₀₉	—	2	2	no	—
101	Q₈×C₁₀₉	—	4	2	no	—
102	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
103	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
104	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
105	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
106	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
107	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
108	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
109	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄×C₁₀₉	—	4	2	no	—
112	C₂×C₄×C₁₀₉	—	4	2	no	—
113	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄×C₁₀₉	#41	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	C₂²⋊D₁₀₉	—	4	2	no	—
120	C₂²⋊D₁₀₉	—	4	2	no	—
121	C₂²⋊D₁₀₉	—	4	2	no	—
122	C₂×Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
123	C₂×Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
124	C₂×Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
125	D₄₃₆	—	2	1	no	—
126	D₄₃₆	—	2	1	no	—
127	C₄×D₁₀₉	—	4	2	no	—
128	Dic₂₁₈	—	2	1	no	—
129	Dic₂₁₈	—	2	1	no	—
130	#11724784	—	2	2	no	—
131	#11724784	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂²×C₁₀₉	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₁₀₉	—	2	1	no	—
134	C₂²×C₁₀₉	—	2	1	no	—
135	C₂²×C₁₀₉	—	2	1	no	—
136	C₂²×C₁₀₉	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₁₀₉	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₁₀₉	—	2	1	no	—
139	C₂²×C₁₀₉	—	4	4	no	—
140	C₂²×C₁₀₉	#121	1	2	yes	—
141	C₂²×C₁₀₉	#137	1	2	yes	complemented
142	C₂²×C₁₀₉	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×D₁₀₉	—	4	1	no	—
144	C₂×D₁₀₉	—	4	1	no	—
145	C₂×D₁₀₉	—	4	1	no	—
146	C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
147	C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
148	C₄×C₁₀₉	—	4	2	no	—
149	C₄×C₁₀₉	—	4	2	no	—
150	C₄×C₁₀₉	#121	1	2	yes	—
151	C₄×C₁₀₉	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₄×C₁₀₉	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
153	Dic₁₀₉	—	4	1	no	—
154	Dic₁₀₉	—	4	1	no	—
155	Dic₁₀₉	—	4	1	no	—
156	C₂×C₁₀₉	—	2	2	no	—
157	C₂×C₁₀₉	—	2	2	no	—
158	C₂×C₁₀₉	—	4	1	no	—
159	C₂×C₁₀₉	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₁₀₉	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₁₀₉	#575	1	1	yes	characteristic
162	D₁₀₉	—	8	1	no	—
163	#3056	—	109	1	no	maximal, Sylow
164	C₁₀₉	#3056	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
165	C₂×#137	—	109	1	no	—
166	C₂²×M₁₆	—	109	1	no	—
167	#525	—	109	1	no	—
168	C₂×C₂²⋊Q₈	D₁₀₉	1	1	yes	characteristic, complemented
169	#470	—	109	2	no	—
170	#468	—	109	2	no	—
171	#467	—	109	2	no	—
172	#465	—	109	2	no	—
173	#428	—	109	1	no	—
174	#419	—	109	1	no	—
175	#417	—	109	1	no	—
176	C₂×#41	—	109	1	no	—
177	C₂²×Q₈	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
178	C₂³×C₄	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
179	#137	—	218	4	no	—
180	C₂×Q₁₆	—	109	2	no	—
181	C₂×SD₁₆	—	109	2	no	—
182	C₂×M₁₆	—	109	1	no	—
183	C₂×M₁₆	—	109	1	no	—
184	C₂×M₁₆	—	109	2	no	—
185	C₂×M₁₆	—	218	4	no	—
186	C₂²×C₈	—	109	2	no	—
187	#123	—	218	1	no	—
188	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
189	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
190	C₂²⋊Q₈	—	109	1	no	—
191	C₂²⋊Q₈	—	109	1	no	—
192	C₂²⋊Q₈	C₂×D₁₀₉	1	2	yes	—
193	C₂²⋊Q₈	C₂×D₁₀₉	1	2	yes	—
194	#121	—	109	1	no	—
195	#121	—	109	1	no	—
196	#120	—	218	1	no	—
197	C₄×D₄	—	218	1	no	—
198	C₄×D₄	—	218	1	no	—
199	#117	—	109	1	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
203	#107	—	109	2	no	—
204	#106	—	109	2	no	—
205	#103	—	109	2	no	—
206	#103	—	109	2	no	—
207	#103	—	109	2	no	—
208	#102	—	109	2	no	—
209	C₂⁴	C₂²⋊D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
210	#41	—	218	2	no	—
211	#41	—	218	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	109	1	no	—
216	C₂×Q₈	C₂²×D₁₀₉	1	2	yes	—
217	C₂×D₄	—	109	1	no	—
218	C₂×D₄	—	218	1	no	—
219	C₂×D₄	—	218	1	no	—
220	C₂×D₄	—	218	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	218	1	no	—
226	C₂²×C₄	C₂²⋊D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂²⋊D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂²⋊D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
232	Q₁₆	—	218	4	no	—
233	SD₁₆	—	218	4	no	—
234	M₁₆	—	109	4	no	—
235	M₁₆	—	218	4	no	—
236	M₁₆	—	218	2	no	—
237	C₂×C₈	—	109	2	no	—
238	C₂×C₈	—	109	2	no	—
239	C₂×C₈	—	218	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
243	C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
244	C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
245	C₄⋊C₄	—	218	1	no	—
246	C₄⋊C₄	—	218	1	no	—
247	C₄⋊C₄	C₂²×D₁₀₉	1	2	yes	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	218	1	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	218	1	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	218	1	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	218	1	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	218	1	no	—
255	C₄²	—	218	1	no	—
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	4	1	no	—
259	C₂³	—	218	1	no	—
260	C₂³	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
261	C₂³	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
262	C₂³	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
263	Q₈	—	2	2	no	—
264	Q₈	—	2	2	no	—
265	Q₈	—	4	2	no	—
266	Q₈	—	218	1	no	—
267	Q₈	—	218	1	no	—
268	D₄	—	436	2	no	—
269	D₄	—	436	2	no	—
270	D₄	—	436	2	no	—
271	D₄	—	218	1	no	—
272	D₄	—	218	1	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	4	2	no	—
283	C₂×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂×C₄	—	436	2	no	—
285	C₂×C₄	—	218	1	no	—
286	C₂×C₄	—	218	1	no	—
287	C₂×C₄	—	218	1	no	—
288	C₂×C₄	D₄×D₁₀₉	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	#13182028	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	C₂³×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
294	C₈	—	109	4	no	—
295	C₈	—	218	2	no	—
296	C₂²	—	2	1	no	—
297	C₂²	—	2	1	no	—
298	C₂²	—	2	1	no	—
299	C₂²	—	2	1	no	—
300	C₂²	—	2	1	no	—
301	C₂²	—	2	1	no	—
302	C₂²	—	2	1	no	—
303	C₂²	—	4	4	no	—
304	C₂²	—	436	1	no	—
305	C₂²	—	436	1	no	—
306	C₂²	—	436	1	no	—
307	C₂²	#16812671	1	2	yes	—
308	C₂²	#16812730	1	2	yes	complemented
309	C₂²	C₂²×C₂²⋊D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
310	C₄	—	2	1	no	—
311	C₄	—	2	1	no	—
312	C₄	—	4	2	no	—
313	C₄	—	4	2	no	—
314	C₄	—	436	1	no	—
315	C₄	—	436	1	no	—
316	C₄	—	436	1	no	—
317	C₄	#16812671	1	2	yes	—
318	C₄	C₂×D₄×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
319	C₄	C₂×#13182028	1	1	yes	characteristic
320	C₂	—	2	2	no	—
321	C₂	—	2	2	no	—
322	C₂	—	4	1	no	—
323	C₂	—	872	1	no	—
324	C₂	C₂×#16812671	1	1	yes	characteristic
325	C₂	C₂×#16812730	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#20295824	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×C₂²⋊D₁₀₉
commutator, cosocle	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂⁴
Frattini	C₂×C₄	C₂³×D₁₀₉
Fitting	C₂×C₂²⋊Q₈×C₁₀₉	C₂
socle	C₂²×C₁₀₉	C₂²×D₄
prime radical	#20295537	C₂
hypercenter	C₂×C₂²⋊Q₈	D₁₀₉
hypocenter	C₁₀₉	#3056
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₁₀₉ ▷ C₂×C₁₀₉ ▷ C₁₀₉
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂×C₂²⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16812730	C₂	semidirect
2. C₂²×#13182013	C₂	semidirect
4. #20295282	C₂	semidirect
5. #20295274	C₂	semidirect
6. #20295265	C₂	semidirect
7. #20295257	C₂	semidirect
8. #20295066	C₂	semidirect
9. #20295035	C₂	semidirect
10. #20295025	C₂	semidirect
11. C₂×C₂²⋊Q₈×C₁₀₉	C₂	semidirect
14. C₂×#13182019	C₂²	semidirect
15. C₂×#13182016	C₂²	semidirect
30. #16812632	C₂²	semidirect
31. #16812630	C₂²	semidirect
32. #16812623	C₂²	semidirect
33. #16812623	C₂²	semidirect
34. #16812622	C₂²	semidirect
35. #16812619	C₂²	semidirect
57. #13182013	D₄	semidirect
141. C₂²×C₁₀₉	#137	semidirect
164. C₁₀₉	#3056	semidirect
168. C₂×C₂²⋊Q₈	D₁₀₉	semidirect
308. C₂²	#16812730	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16812730	2
C₂²×#13182013	2
#20295537	2
#20295282	2
#20295274	2
#20295265	2
#20295257	2
#20295066	2
#20295035	2
#20295025	2
C₂×C₂²⋊Q₈×C₁₀₉	2
#3056	109