Subgroups — C₂×#20295627 #28376388

Order 13952.

1260 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 320 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20295627	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
2	C₂×#16812695	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16812690	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#16812682	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#16812681	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#16812674	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#16812673	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#16812672	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#16812670	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×C₄×D₄₃₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#16812656	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×C₄×D₄×C₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂²×D₄₃₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×D₄₃₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₂²⋊D₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₂²⋊D₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₂²⋊D₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄×D₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄×D₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
20	#16812695	C₂²	1	8	yes	complemented
21	#16812690	C₂²	1	8	yes	complemented
22	#16812682	C₂²	1	16	yes	complemented
23	#16812681	C₂²	1	16	yes	complemented
24	#16812674	C₂²	1	8	yes	complemented
25	#16812673	C₂²	1	16	yes	complemented
26	#16812672	C₂²	1	16	yes	complemented
27	#16812670	C₂²	1	8	yes	complemented
28	C₄×D₄₃₆	C₂²	1	8	yes	complemented
29	#16812656	C₂²	1	8	yes	complemented
30	C₂×C₄⋊Dic₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄⋊Dic₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#13182008	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#13182008	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#13182008	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#13182006	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#13182006	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#13182006	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#13182006	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×C₄×Dic₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×D₄×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₄×C₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
43	C₄×D₄×C₁₀₉	C₂²	1	8	yes	complemented
44	C₂×C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₂²⋊C₄×C₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂×C₄²×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×D₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×D₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×D₄₃₆	—	2	4	no	—
50	C₂×D₄₃₆	—	4	4	no	—
51	C₂×D₄₃₆	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂×D₄₃₆	C₂³	1	8	yes	—
53	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	—	4	4	no	—
54	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	—	4	4	no	—
55	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	—	4	4	no	—
56	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	C₂³	1	8	yes	—
57	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	C₂³	1	8	yes	—
58	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	C₂³	1	8	yes	—
59	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄×D₁₀₉	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄×D₁₀₉	—	4	4	no	—
65	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	8	yes	—
67	C₄⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	4	yes	—
68	C₄⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	8	yes	—
69	#13182008	C₂³	1	4	yes	—
70	#13182008	C₂³	1	4	yes	—
71	#13182008	C₂³	1	8	yes	—
72	C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	8	yes	—
73	#13182006	C₂³	1	4	yes	—
74	#13182006	C₂³	1	4	yes	—
75	#13182006	C₂³	1	8	yes	—
76	#13182006	C₂³	1	8	yes	—
77	C₄×Dic₁₀₉	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂⁴×C₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×D₄×C₁₀₉	—	2	4	no	—
80	C₂×D₄×C₁₀₉	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂²×C₄×C₁₀₉	—	4	4	no	—
82	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	8	yes	—
86	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂²⋊C₄×C₁₀₉	C₂³	1	8	yes	—
89	C₄²×C₁₀₉	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂³×C₁₀₉	—	2	4	no	—
91	C₂³×C₁₀₉	—	2	4	no	—
92	C₂³×C₁₀₉	—	2	4	no	—
93	C₂³×C₁₀₉	C₂⁴	1	4	yes	—
94	C₂³×C₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×D₁₀₉	—	2	2	no	—
96	C₂²×D₁₀₉	—	2	4	no	—
97	C₂²×D₁₀₉	—	2	4	no	—
98	C₂²×D₁₀₉	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₁₀₉	—	2	4	no	—
100	C₂²×D₁₀₉	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₁₀₉	C₂⁴	1	2	yes	—
102	C₂²×D₁₀₉	C₂⁴	1	4	yes	—
103	D₄×C₁₀₉	—	2	8	no	—
104	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
105	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	4	no	—
106	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
107	C₂×C₄×C₁₀₉	—	4	8	no	—
108	C₂×C₄×C₁₀₉	#41	1	4	yes	—
109	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂⁴	1	2	yes	—
110	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂⁴	1	2	yes	—
111	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂⁴	1	4	yes	—
112	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂⁴	1	2	yes	—
113	C₂²⋊D₁₀₉	—	4	8	no	—
114	C₂²⋊D₁₀₉	—	4	8	no	—
115	C₂²⋊D₁₀₉	—	4	8	no	—
116	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
117	C₂×Dic₁₀₉	—	2	4	no	—
118	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
119	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
120	C₂×Dic₁₀₉	C₂⁴	1	2	yes	—
121	C₂×Dic₁₀₉	C₂⁴	1	2	yes	—
122	C₂×Dic₁₀₉	C₂⁴	1	2	yes	—
123	C₂×Dic₁₀₉	C₂⁴	1	4	yes	—
124	D₄₃₆	—	2	8	no	—
125	D₄₃₆	—	4	8	no	—
126	C₄×D₁₀₉	—	2	8	no	—
127	C₄×D₁₀₉	—	4	8	no	—
128	C₂²×C₁₀₉	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₁₀₉	—	2	4	no	—
130	C₂²×C₁₀₉	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₁₀₉	—	4	8	no	—
132	C₂²×C₁₀₉	C₂×#41	1	2	yes	—
133	C₂²×C₁₀₉	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
134	C₂²×C₁₀₉	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
135	C₂²×C₁₀₉	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
136	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
137	C₂×D₁₀₉	—	2	4	no	—
138	C₂×D₁₀₉	—	2	4	no	—
139	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
140	C₂×D₁₀₉	—	2	4	no	—
141	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
142	C₂×D₁₀₉	—	4	4	no	—
143	C₂×D₁₀₉	—	4	8	no	—
144	C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
145	C₄×C₁₀₉	—	2	4	no	—
146	C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
147	C₄×C₁₀₉	C₂×#41	1	4	yes	—
148	Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
149	Dic₁₀₉	—	2	4	no	—
150	Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
151	Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
152	C₂×C₁₀₉	—	4	4	no	—
153	C₂×C₁₀₉	#540	1	4	yes	complemented
154	C₂×C₁₀₉	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₁₀₉	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₁₀₉	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
157	D₁₀₉	—	4	2	no	—
158	D₁₀₉	—	4	4	no	—
159	C₂×#540	—	109	1	no	maximal, Sylow
160	C₁₀₉	C₂×#540	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
161	#540	—	109	16	no	—
162	C₂×#127	—	109	1	no	—
163	C₂×#125	—	109	1	no	—
164	C₂×#123	—	109	2	no	—
165	C₂×#123	—	109	2	no	—
166	C₂×#121	—	109	1	no	—
167	C₂×#121	—	109	2	no	—
168	C₂×#121	—	109	1	no	—
169	C₂×#121	—	109	2	no	—
170	C₂×C₄×D₄	—	109	1	no	—
171	C₂×C₄×D₄	D₁₀₉	1	1	yes	characteristic, complemented
172	C₂×#117	—	109	1	no	—
173	C₂²×D₄	—	109	2	no	—
174	C₂²×D₄	—	109	2	no	—
175	C₂²×D₄	—	109	2	no	—
176	C₂²×D₄	—	109	2	no	—
177	C₂²×D₄	—	109	1	no	—
178	C₂²×D₄	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
179	C₂³×C₄	—	109	2	no	—
180	C₂³×C₄	—	109	1	no	—
181	C₂³×C₄	C₂×D₁₀₉	1	2	yes	—
182	#127	—	109	8	no	—
183	#125	—	109	8	no	—
184	#123	—	109	16	no	—
185	#123	—	109	16	no	—
186	#121	—	109	8	no	—
187	#121	—	109	16	no	—
188	#121	—	109	8	no	—
189	#121	—	109	16	no	—
190	C₄×D₄	—	109	8	no	—
191	C₄×D₄	C₂×D₁₀₉	1	8	yes	complemented
192	#117	—	109	8	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	1	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	1	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₁₀₉	1	2	yes	—
205	C₂×C₄²	—	109	1	no	—
206	C₂×C₄²	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
207	C₂⁴	—	109	1	no	—
208	C₂⁴	—	109	2	no	—
209	C₂⁴	C₂²×D₁₀₉	1	2	yes	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	109	8	no	—
212	C₂×D₄	—	109	8	no	—
213	C₂×D₄	—	109	8	no	—
214	C₂×D₄	—	109	8	no	—
215	C₂×D₄	—	109	4	no	—
216	C₂×D₄	—	436	4	no	—
217	C₂×D₄	—	436	4	no	—
218	C₂×D₄	—	436	4	no	—
219	C₂×D₄	—	436	4	no	—
220	C₂×D₄	—	218	4	no	—
221	C₂×D₄	C₂²×D₁₀₉	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	109	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	109	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	436	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	218	4	no	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	8	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
236	C₄⋊C₄	—	109	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	109	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	109	8	no	—
239	C₄⋊C₄	—	109	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	109	8	no	—
241	C₄⋊C₄	C₂²×D₁₀₉	1	4	yes	—
242	C₂²⋊C₄	—	109	8	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	109	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	109	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	109	8	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	109	8	no	—
247	C₂²⋊C₄	C₂²×D₁₀₉	1	8	yes	—
248	C₄²	—	109	4	no	—
249	C₄²	C₂²×D₁₀₉	1	4	yes	—
250	C₂³	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	2	4	no	—
252	C₂³	—	2	4	no	—
253	C₂³	—	109	2	no	—
254	C₂³	—	109	4	no	—
255	C₂³	—	218	2	no	—
256	C₂³	—	218	4	no	—
257	C₂³	—	218	2	no	—
258	C₂³	—	218	4	no	—
259	C₂³	—	218	4	no	—
260	C₂³	—	218	2	no	—
261	C₂³	C₂³×D₁₀₉	1	4	yes	—
262	C₂³	C₂³×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
263	D₄	—	2	8	no	—
264	D₄	—	436	8	no	—
265	D₄	—	436	8	no	—
266	D₄	—	436	8	no	—
267	D₄	—	436	8	no	—
268	D₄	—	218	8	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	4	8	no	—
273	C₂×C₄	—	109	2	no	—
274	C₂×C₄	—	109	2	no	—
275	C₂×C₄	—	109	2	no	—
276	C₂×C₄	—	109	4	no	—
277	C₂×C₄	—	436	8	no	—
278	C₂×C₄	—	218	2	no	—
279	C₂×C₄	—	218	2	no	—
280	C₂×C₄	—	218	4	no	—
281	C₂×C₄	—	218	2	no	—
282	C₂×C₄	—	218	8	no	—
283	C₂×C₄	#13182029	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	C₂³×D₁₀₉	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂³×D₁₀₉	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂³×D₁₀₉	1	4	yes	—
287	C₂×C₄	C₂³×D₁₀₉	1	2	yes	—
288	C₂²	—	2	4	no	—
289	C₂²	—	2	4	no	—
290	C₂²	—	2	4	no	—
291	C₂²	—	4	8	no	—
292	C₂²	—	436	4	no	—
293	C₂²	—	436	8	no	—
294	C₂²	—	218	2	no	—
295	C₂²	—	218	4	no	—
296	C₂²	—	218	2	no	—
297	C₂²	—	218	4	no	—
298	C₂²	—	218	4	no	—
299	C₂²	—	218	2	no	—
300	C₂²	C₂×#13182029	1	2	yes	—
301	C₂²	#16812744	1	2	yes	—
302	C₂²	#16812745	1	2	yes	—
303	C₂²	C₂⁴×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
304	C₄	—	2	2	no	—
305	C₄	—	2	4	no	—
306	C₄	—	2	2	no	—
307	C₄	—	218	2	no	—
308	C₄	—	218	2	no	—
309	C₄	—	218	4	no	—
310	C₄	—	218	2	no	—
311	C₄	C₂×#13182029	1	4	yes	—
312	C₂	—	4	4	no	—
313	C₂	—	436	2	no	—
314	C₂	—	436	4	no	—
315	C₂	#20295627	1	4	yes	direct product factor
316	C₂	C₂²×#13182029	1	1	yes	characteristic
317	C₂	C₂×#16812744	1	1	yes	characteristic
318	C₂	C₂×#16812745	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂³×D₁₀₉
commutator, cosocle	C₂²×C₁₀₉	C₂⁵
Frattini	C₂²	C₂⁴×D₁₀₉
Fitting	C₂×C₄×D₄×C₁₀₉	C₂
socle	C₂³×C₁₀₉	C₂⁴
hypercenter	C₂×C₄×D₄	D₁₀₉
hypocenter	C₁₀₉	C₂×#540
LCS	G ▷ C₂²×C₁₀₉ ▷ C₁₀₉
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20295627	C₂	direct (N × H)
2. C₂×#16812695	C₂	semidirect
3. C₂×#16812690	C₂	semidirect
4. C₂×#16812682	C₂	semidirect
5. C₂×#16812681	C₂	semidirect
6. C₂×#16812674	C₂	semidirect
7. C₂×#16812673	C₂	semidirect
8. C₂×#16812672	C₂	semidirect
9. C₂×#16812670	C₂	semidirect
10. C₂×C₄×D₄₃₆	C₂	semidirect
11. C₂×#16812656	C₂	semidirect
12. C₂×C₄×D₄×C₁₀₉	C₂	semidirect
20. #16812695	C₂²	semidirect
21. #16812690	C₂²	semidirect
22. #16812682	C₂²	semidirect
23. #16812681	C₂²	semidirect
24. #16812674	C₂²	semidirect
25. #16812673	C₂²	semidirect
26. #16812672	C₂²	semidirect
27. #16812670	C₂²	semidirect
28. C₄×D₄₃₆	C₂²	semidirect
29. #16812656	C₂²	semidirect
43. C₄×D₄×C₁₀₉	C₂²	semidirect
153. C₂×C₁₀₉	#540	semidirect
160. C₁₀₉	C₂×#540	semidirect
171. C₂×C₄×D₄	D₁₀₉	semidirect
191. C₄×D₄	C₂×D₁₀₉	semidirect
315. C₂	#20295627	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20295627	2
C₂×#16812695	2
C₂×#16812690	2
C₂×#16812682	2
C₂×#16812681	2
C₂×#16812674	2
C₂×#16812673	2
C₂×#16812672	2
C₂×#16812670	2
C₂×C₄×D₄₃₆	2
C₂×#16812656	2
C₂×C₄×D₄×C₁₀₉	2
C₂×#540	109

Subgroups — C2×#20295627 #28376388

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#20295627 #28376388