Subgroups — #544×D₁₀₉ #28376428

Order 13952.

1080 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 288 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20295657	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20295656	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#20295655	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20295654	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20295653	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₄⋊Q₈×D₁₀₉	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#125×D₁₀₉	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂²⋊Q₈×D₁₀₉	C₂	1	4	yes	maximal
9	#117×D₁₀₉	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂×C₄⋊C₄×D₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#544×C₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×Q₈×D₁₀₉	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×C₄×D₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×D₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#16812699	C₂²	1	4	yes	complemented
16	#16812698	C₂²	1	4	yes	complemented
17	#16812698	C₂²	1	8	yes	complemented
18	#16812698	C₂²	1	4	yes	complemented
19	#16812697	C₂²	1	8	yes	complemented
20	#16812691	C₂²	1	4	yes	complemented
21	#16812690	C₂²	1	4	yes	complemented
22	#16812690	C₂²	1	4	yes	complemented
23	#16812689	C₂²	1	8	yes	complemented
24	#16812689	C₂²	1	8	yes	complemented
25	#16812679	C₂²	1	4	yes	—
26	#16812678	C₂²	1	4	yes	—
27	#16812677	C₂²	1	8	yes	—
28	#16812676	C₂²	1	8	yes	—
29	#16812675	C₂²	1	4	yes	—
30	#16812658	C₂²	1	2	yes	—
31	#16812657	C₂²	1	2	yes	—
32	#16812657	C₂²	1	2	yes	—
33	#16812656	C₂²	1	4	yes	—
34	#16812655	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×C₄⋊Dic₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#13182008	C₂²	1	2	yes	—
37	C₄⋊C₄×D₁₀₉	C₂²	1	4	yes	—
38	C₄⋊C₄×D₁₀₉	C₂²	1	4	yes	—
39	C₄⋊C₄×D₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
40	C₄⋊C₄×D₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
41	C₄⋊C₄×D₁₀₉	C₂²	1	4	yes	—
42	C₄⋊C₄×D₁₀₉	C₂²	1	8	yes	—
43	C₂²⋊C₄×D₁₀₉	C₂²	1	4	yes	—
44	C₄²×D₁₀₉	C₂²	1	4	yes	—
45	C₄⋊Q₈×C₁₀₉	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#125×C₁₀₉	C₂²	1	4	yes	complemented
47	C₂²⋊Q₈×C₁₀₉	C₂²	1	4	yes	—
48	#117×C₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
49	C₂×C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×D₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×Dic₂₁₈	C₂³	1	8	yes	—
52	C₂×Dic₂₁₈	C₂³	1	4	yes	—
53	Q₈×D₁₀₉	—	4	8	no	—
54	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄×D₁₀₉	—	4	4	no	—
57	C₂×C₄×D₁₀₉	Q₈	1	8	yes	complemented
58	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
64	C₄⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	4	yes	—
65	C₄⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
66	C₄⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
67	C₄⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	4	yes	—
68	C₄⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	8	yes	—
69	#13182008	C₂³	1	8	yes	—
70	#13182008	C₂³	1	4	yes	—
71	#13182008	C₂³	1	4	yes	—
72	#13182008	C₂³	1	8	yes	—
73	#13182008	C₂³	1	8	yes	—
74	#13182008	C₂³	1	8	yes	—
75	C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	4	yes	—
76	#13182006	C₂³	1	4	yes	—
77	#13182006	C₂³	1	4	yes	—
78	C₄×Dic₁₀₉	C₂³	1	4	yes	—
79	C₄×Dic₁₀₉	C₂³	1	4	yes	—
80	C₄×Dic₁₀₉	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×Q₈×C₁₀₉	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂³	1	4	yes	—
85	C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
86	C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
87	C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂³	1	4	yes	—
88	C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂²⋊C₄×C₁₀₉	C₂³	1	4	yes	—
90	C₄²×C₁₀₉	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂³×C₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×D₁₀₉	—	2	2	no	—
93	C₂²×D₁₀₉	—	2	2	no	—
94	C₂²×D₁₀₉	C₂×Q₈	1	4	yes	—
95	C₂²×D₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×D₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
97	Q₈×C₁₀₉	—	4	4	no	—
98	C₂×C₄×C₁₀₉	—	4	2	no	—
99	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
100	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂⁴	1	4	yes	—
101	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂⁴	1	4	yes	—
102	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂⁴	1	4	yes	—
103	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂⁴	1	2	yes	—
104	C₂×Dic₁₀₉	—	4	2	no	—
105	C₂×Dic₁₀₉	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
106	C₂×Dic₁₀₉	C₂⁴	1	4	yes	—
107	C₂×Dic₁₀₉	C₂⁴	1	4	yes	—
108	C₂×Dic₁₀₉	C₂⁴	1	4	yes	—
109	C₂×Dic₁₀₉	C₂⁴	1	2	yes	—
110	C₄×D₁₀₉	—	2	8	no	—
111	C₄×D₁₀₉	—	2	8	no	—
112	C₄×D₁₀₉	—	2	8	no	—
113	C₄×D₁₀₉	—	4	4	no	—
114	C₄×D₁₀₉	C₂×Q₈	1	8	yes	—
115	C₄×D₁₀₉	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
116	Dic₂₁₈	—	4	4	no	—
117	Dic₂₁₈	—	4	8	no	—
118	C₂²×C₁₀₉	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₁₀₉	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₁₀₉	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
121	C₂²×C₁₀₉	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
122	C₂×D₁₀₉	—	2	1	no	—
123	C₂×D₁₀₉	—	2	1	no	—
124	C₂×D₁₀₉	—	2	8	no	—
125	C₂×D₁₀₉	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
126	C₂×D₁₀₉	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
127	C₂×D₁₀₉	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
128	C₂×D₁₀₉	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
129	C₄×C₁₀₉	—	2	4	no	—
130	C₄×C₁₀₉	—	2	4	no	—
131	C₄×C₁₀₉	—	2	4	no	—
132	C₄×C₁₀₉	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
133	Dic₁₀₉	—	2	4	no	—
134	Dic₁₀₉	—	2	4	no	—
135	Dic₁₀₉	—	2	4	no	—
136	Dic₁₀₉	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
137	C₂×C₁₀₉	—	2	2	no	—
138	C₂×C₁₀₉	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₁₀₉	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₁₀₉	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
141	D₁₀₉	—	2	2	no	—
142	D₁₀₉	#544	1	4	yes	direct product factor
143	C₂×#544	—	109	1	no	maximal, Sylow
144	C₁₀₉	C₂×#544	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
145	#544	—	109	4	no	—
146	#544	—	109	4	no	—
147	#544	—	109	4	no	—
148	#544	—	109	2	no	—
149	#544	—	109	1	no	—
150	#544	D₁₀₉	1	1	yes	characteristic, direct product factor
151	C₂×C₄⋊Q₈	—	109	4	no	—
152	C₂×#125	—	109	4	no	—
153	C₂×C₂²⋊Q₈	—	109	4	no	—
154	C₂×#117	—	109	2	no	—
155	C₂²×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
156	C₂²×Q₈	—	109	4	no	—
157	C₂³×C₄	—	109	1	no	—
158	C₂³×C₄	—	109	2	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	109	8	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	109	8	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	109	4	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	109	4	no	—
163	C₄⋊Q₈	—	109	4	no	—
164	C₄⋊Q₈	C₂×D₁₀₉	1	4	yes	complemented
165	#125	—	109	8	no	—
166	#125	—	109	8	no	—
167	#125	—	109	4	no	—
168	#125	—	109	4	no	—
169	#125	—	109	4	no	—
170	#125	C₂×D₁₀₉	1	4	yes	complemented
171	C₂²⋊Q₈	—	109	4	no	—
172	C₂²⋊Q₈	—	109	4	no	—
173	C₂²⋊Q₈	—	109	8	no	—
174	C₂²⋊Q₈	—	109	4	no	—
175	C₂²⋊Q₈	—	109	8	no	—
176	C₂²⋊Q₈	C₂×D₁₀₉	1	4	yes	—
177	#117	—	109	2	no	—
178	#117	—	109	2	no	—
179	#117	—	109	2	no	—
180	#117	—	109	4	no	—
181	#117	—	109	4	no	—
182	#117	C₂×D₁₀₉	1	2	yes	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	109	4	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	109	4	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	109	4	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	109	8	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	4	no	—
193	C₂×C₄²	—	109	4	no	—
194	C₂⁴	—	109	1	no	—
195	C₂×Q₈	—	109	4	no	—
196	C₂×Q₈	—	109	8	no	—
197	C₂×Q₈	—	436	8	no	—
198	C₂×Q₈	C₂²×D₁₀₉	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
200	C₂²×C₄	—	109	8	no	—
201	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	109	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	109	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	109	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	109	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	436	4	no	—
209	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
211	C₄⋊C₄	—	109	8	no	—
212	C₄⋊C₄	—	109	4	no	—
213	C₄⋊C₄	—	109	4	no	—
214	C₄⋊C₄	—	109	8	no	—
215	C₄⋊C₄	—	109	8	no	—
216	C₄⋊C₄	—	109	8	no	—
217	C₄⋊C₄	—	109	4	no	—
218	C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
219	C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
220	C₄⋊C₄	—	109	4	no	—
221	C₄⋊C₄	—	109	8	no	—
222	C₄⋊C₄	C₂²×D₁₀₉	1	4	yes	—
223	C₄⋊C₄	C₂²×D₁₀₉	1	2	yes	—
224	C₄⋊C₄	C₂²×D₁₀₉	1	2	yes	—
225	C₄⋊C₄	C₂²×D₁₀₉	1	4	yes	—
226	C₄⋊C₄	C₂²×D₁₀₉	1	8	yes	—
227	C₂²⋊C₄	—	109	4	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	109	4	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	109	4	no	—
230	C₂²⋊C₄	C₂²×D₁₀₉	1	4	yes	—
231	C₄²	—	109	4	no	—
232	C₄²	—	109	4	no	—
233	C₄²	—	109	4	no	—
234	C₄²	C₂²×D₁₀₉	1	4	yes	—
235	C₂³	—	109	1	no	—
236	C₂³	—	109	4	no	—
237	C₂³	—	109	1	no	—
238	C₂³	—	218	2	no	—
239	C₂³	—	218	2	no	—
240	C₂³	C₂³×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
241	Q₈	—	4	4	no	—
242	Q₈	—	436	4	no	—
243	Q₈	—	436	8	no	—
244	C₂×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂×C₄	—	109	4	no	—
246	C₂×C₄	—	109	2	no	—
247	C₂×C₄	—	109	8	no	—
248	C₂×C₄	—	109	8	no	—
249	C₂×C₄	—	109	4	no	—
250	C₂×C₄	—	109	4	no	—
251	C₂×C₄	—	109	4	no	—
252	C₂×C₄	—	436	4	no	—
253	C₂×C₄	—	436	2	no	—
254	C₂×C₄	—	218	8	no	—
255	C₂×C₄	—	218	8	no	—
256	C₂×C₄	—	218	8	no	—
257	C₂×C₄	Q₈×D₁₀₉	1	4	yes	complemented
258	C₂×C₄	C₂³×D₁₀₉	1	4	yes	—
259	C₂×C₄	C₂³×D₁₀₉	1	4	yes	—
260	C₂×C₄	C₂³×D₁₀₉	1	4	yes	—
261	C₂×C₄	C₂³×D₁₀₉	1	2	yes	—
262	C₂²	—	2	1	no	—
263	C₂²	—	2	1	no	—
264	C₂²	—	109	2	no	—
265	C₂²	—	109	2	no	—
266	C₂²	—	109	2	no	—
267	C₂²	—	109	2	no	—
268	C₂²	—	218	8	no	—
269	C₂²	—	218	1	no	—
270	C₂²	—	218	1	no	—
271	C₂²	C₂×Q₈×D₁₀₉	1	2	yes	—
272	C₂²	C₂⁴×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
273	C₄	—	2	4	no	—
274	C₄	—	2	4	no	—
275	C₄	—	2	4	no	—
276	C₄	—	109	4	no	—
277	C₄	—	218	4	no	—
278	C₄	—	218	4	no	—
279	C₄	—	218	4	no	—
280	C₄	C₂×Q₈×D₁₀₉	1	4	yes	—
281	C₂	—	2	2	no	—
282	C₂	—	109	4	no	—
283	C₂	—	218	2	no	—
284	C₂	C₂²×Q₈×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
285	C₂	H(5,𝔽₂)×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
286	C₂	2₋¹⁺⁴×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²	C₂⁴×D₁₀₉
commutator, socle, cosocle	C₂²×C₁₀₉	C₂⁵
Fitting	#544×C₁₀₉	C₂
prime radical	C₂³×D₁₀₉	C₂³
hypercenter	#544	D₁₀₉
hypocenter	C₁₀₉	C₂×#544
LCS	G ▷ C₂²×C₁₀₉ ▷ C₁₀₉
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #544

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20295657	C₂	semidirect
2. #20295656	C₂	semidirect
3. #20295655	C₂	semidirect
4. #20295654	C₂	semidirect
5. #20295653	C₂	semidirect
6. C₄⋊Q₈×D₁₀₉	C₂	semidirect
7. #125×D₁₀₉	C₂	semidirect
11. #544×C₁₀₉	C₂	semidirect
15. #16812699	C₂²	semidirect
16. #16812698	C₂²	semidirect
17. #16812698	C₂²	semidirect
18. #16812698	C₂²	semidirect
19. #16812697	C₂²	semidirect
20. #16812691	C₂²	semidirect
21. #16812690	C₂²	semidirect
22. #16812690	C₂²	semidirect
23. #16812689	C₂²	semidirect
24. #16812689	C₂²	semidirect
45. C₄⋊Q₈×C₁₀₉	C₂²	semidirect
46. #125×C₁₀₉	C₂²	semidirect
57. C₂×C₄×D₁₀₉	Q₈	semidirect
99. C₂×C₄×C₁₀₉	C₂×Q₈	semidirect
105. C₂×Dic₁₀₉	C₂×Q₈	semidirect
115. C₄×D₁₀₉	C₂×Q₈	semidirect
142. D₁₀₉	#544	direct (N × H)
144. C₁₀₉	C₂×#544	semidirect
150. #544	D₁₀₉	direct (N × H)
164. C₄⋊Q₈	C₂×D₁₀₉	semidirect
170. #125	C₂×D₁₀₉	semidirect
257. C₂×C₄	Q₈×D₁₀₉	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20295657	2
#20295656	2
#20295655	2
#20295654	2
#20295653	2
C₄⋊Q₈×D₁₀₉	2
#125×D₁₀₉	2
C₂²⋊Q₈×D₁₀₉	2
#117×D₁₀₉	2
C₂×C₄⋊C₄×D₁₀₉	2
#544×C₁₀₉	2
C₂×#544	109

Subgroups — #544×D109 #28376428

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — #544×D₁₀₉ #28376428