Subgroups — #28377108

Order 13952.

1104 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 362 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20295758	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
2	Q₈×Dic₂₁₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20295734	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
4	#20295695	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20295687	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20295680	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#20295676	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#20295649	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	#20295645	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	#20295571	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
11	#20295556	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
12	#20295509	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#20295508	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂×Q₈×Dic₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#548×C₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂×#13182030	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#13182028	C₂²	1	6	yes	—
18	#16812699	C₂²	1	3	yes	—
19	#16812698	C₂²	1	3	yes	—
20	#16812698	C₂²	1	3	yes	—
21	#16812695	C₂²	1	3	yes	—
22	#16812694	C₂²	1	3	yes	—
23	#16812692	C₂²	1	3	yes	—
24	#16812689	C₂²	1	3	yes	—
25	#16812688	C₂²	1	3	yes	—
26	#16812685	C₂²	1	3	yes	—
27	#16812685	C₂²	1	6	yes	—
28	#16812683	C₂²	1	3	yes	—
29	#16812683	C₂²	1	6	yes	—
30	#16812681	C₂²	1	6	yes	—
31	#16812680	C₂²	1	3	yes	—
32	#16812679	C₂²	1	6	yes	—
33	#16812676	C₂²	1	6	yes	—
34	#16812676	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#16812675	C₂²	1	3	yes	—
36	#16812673	C₂²	1	3	yes	—
37	#16812673	C₂²	1	3	yes	—
38	#16812671	C₂²	1	3	yes	—
39	#16812670	C₂²	1	3	yes	—
40	Q₈×Dic₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	Q₈×Dic₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	Q₈×Dic₁₀₉	C₂²	1	3	yes	—
43	Q₈×Dic₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	Q₈×Dic₁₀₉	C₂²	1	3	yes	—
45	C₄×Dic₂₁₈	C₂²	1	3	yes	—
46	C₄×D₄₃₆	C₂²	1	3	yes	—
47	D₄×Dic₁₀₉	C₂²	1	3	yes	—
48	D₄×Dic₁₀₉	C₂²	1	3	yes	—
49	#16812661	C₂²	1	3	yes	—
50	C₄×C₂²⋊D₁₀₉	C₂²	1	3	yes	—
51	C₄×C₂²⋊D₁₀₉	C₂²	1	3	yes	—
52	#16812659	C₂²	1	6	yes	—
53	#16812658	C₂²	1	3	yes	—
54	#16812656	C₂²	1	3	yes	—
55	C₂×C₄⋊Dic₁₀₉	C₂²	1	3	yes	—
56	C₂×C₄⋊Dic₁₀₉	C₂²	1	3	yes	—
57	C₄⋊C₄×D₁₀₉	C₂²	1	3	yes	—
58	C₂×C₄×Dic₁₀₉	C₂²	1	3	yes	—
59	C₂×#41×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×Q₈×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
61	#124×C₁₀₉	C₂²	1	3	yes	—
62	C₂²⋊Q₈×C₁₀₉	C₂²	1	3	yes	—
63	#121×C₁₀₉	C₂²	1	3	yes	—
64	C₄×Q₈×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
65	C₄×D₄×C₁₀₉	C₂²	1	3	yes	—
66	#13182030	—	2	4	no	—
67	#13182028	—	4	12	no	—
68	C₂×Dic₂₁₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×Dic₂₁₈	C₂³	1	6	yes	—
70	C₂×D₄₃₆	C₂³	1	3	yes	—
71	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
72	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
73	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	C₂³	1	6	yes	—
74	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
76	C₂²×Dic₁₀₉	C₂³	1	6	yes	—
77	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
78	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	6	yes	—
79	C₄⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
80	C₄⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
81	C₄⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
82	C₄⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
83	C₄⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	6	yes	—
84	C₄⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₄⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
86	#13182008	C₂³	1	3	yes	—
87	#13182008	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#13182008	C₂³	1	3	yes	—
89	#13182008	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#13182008	C₂³	1	3	yes	—
91	#13182008	C₂³	1	3	yes	—
92	C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
93	C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
94	C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
96	#13182006	C₂³	1	3	yes	—
97	#13182006	C₂³	1	3	yes	—
98	#13182006	C₂³	1	6	yes	—
99	#13182006	C₂³	1	3	yes	—
100	#13182006	C₂³	1	3	yes	—
101	C₄×Dic₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
102	C₄×Dic₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
103	C₄×Dic₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
104	C₄×Dic₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
105	C₄×Dic₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
106	#41×C₁₀₉	—	2	4	no	—
107	C₂×Q₈×C₁₀₉	—	2	4	no	—
108	C₂×Q₈×C₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
109	C₂×Q₈×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×D₄×C₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
111	C₂×D₄×C₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
112	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
113	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
114	C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
115	C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
116	C₂²⋊C₄×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂²⋊C₄×C₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
118	C₂²⋊C₄×C₁₀₉	C₂³	1	6	yes	—
119	C₄²×C₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
120	C₂³×C₁₀₉	C₂⁴	1	3	yes	—
121	C₂³×C₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×D₁₀₉	C₂⁴	1	3	yes	—
123	Q₈×C₁₀₉	—	2	6	no	—
124	Q₈×C₁₀₉	#41	1	4	yes	complemented
125	D₄×C₁₀₉	—	2	6	no	—
126	D₄×C₁₀₉	—	2	6	no	—
127	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	6	no	—
128	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	6	no	—
129	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂⁴	1	3	yes	—
131	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂⁴	1	3	yes	—
132	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂⁴	1	3	yes	—
134	C₂²⋊D₁₀₉	—	2	6	no	—
135	C₂²⋊D₁₀₉	—	2	6	no	—
136	C₂²⋊D₁₀₉	—	4	6	no	—
137	C₂×Dic₁₀₉	—	2	6	no	—
138	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
139	C₂×Dic₁₀₉	—	4	6	no	—
140	C₂×Dic₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	C₂×Dic₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
142	C₂×Dic₁₀₉	C₂⁴	1	3	yes	—
143	C₂×Dic₁₀₉	C₂⁴	1	3	yes	—
144	C₂×Dic₁₀₉	C₂⁴	1	3	yes	—
145	C₂×Dic₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
146	C₂×Dic₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
147	D₄₃₆	—	2	6	no	—
148	C₄×D₁₀₉	—	2	6	no	—
149	C₄×D₁₀₉	—	4	6	no	—
150	Dic₂₁₈	—	2	2	no	—
151	Dic₂₁₈	—	4	6	no	—
152	C₂²×C₁₀₉	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₁₀₉	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₁₀₉	—	2	3	no	—
155	C₂²×C₁₀₉	—	2	3	no	—
156	C₂²×C₁₀₉	—	2	3	no	—
157	C₂²×C₁₀₉	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
158	C₂²×C₁₀₉	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
159	C₂×D₁₀₉	—	2	3	no	—
160	C₂×D₁₀₉	—	2	3	no	—
161	C₂×D₁₀₉	—	2	3	no	—
162	C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
163	C₄×C₁₀₉	—	2	3	no	—
164	C₄×C₁₀₉	—	2	3	no	—
165	C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
166	C₄×C₁₀₉	C₂×#41	1	6	yes	—
167	Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
168	Dic₁₀₉	—	2	3	no	—
169	Dic₁₀₉	—	2	3	no	—
170	Dic₁₀₉	—	2	3	no	—
171	Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
172	Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
173	Dic₁₀₉	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
174	C₂×C₁₀₉	—	2	2	no	—
175	C₂×C₁₀₉	—	4	3	no	—
176	C₂×C₁₀₉	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₁₀₉	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₁₀₉	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
179	D₁₀₉	—	4	3	no	—
180	#3522	—	109	1	no	maximal, Sylow
181	C₁₀₉	#3522	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
182	#559	—	109	3	no	—
183	Q₈²	—	109	1	no	—
184	#554	—	109	3	no	—
185	#550	—	109	1	no	—
186	#548	—	109	1	no	—
187	#548	D₁₀₉	1	1	yes	characteristic, complemented
188	#547	—	109	3	no	—
189	#547	—	109	3	no	—
190	#542	—	109	3	no	—
191	#542	—	109	3	no	—
192	#532	—	109	3	no	—
193	#529	—	109	3	no	—
194	#520	—	109	1	no	—
195	#520	—	109	1	no	—
196	C₂×C₄×Q₈	—	109	1	no	—
197	C₂×#41	—	109	1	no	—
198	C₂×#41	—	109	6	no	—
199	C₂×#41	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×Q₈	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
201	C₄⋊Q₈	—	109	3	no	—
202	C₄⋊Q₈	—	109	3	no	—
203	C₄⋊Q₈	—	109	3	no	—
204	#127	—	109	3	no	—
205	#126	—	109	3	no	—
206	#126	—	109	3	no	—
207	#125	—	109	3	no	—
208	#124	—	109	3	no	—
209	#124	—	109	3	no	—
210	#124	—	109	6	no	—
211	#124	C₂×D₁₀₉	1	3	yes	—
212	#123	—	109	3	no	—
213	#123	—	109	3	no	—
214	#123	—	109	6	no	—
215	#123	—	109	6	no	—
216	C₂²⋊Q₈	—	109	3	no	—
217	C₂²⋊Q₈	—	109	6	no	—
218	C₂²⋊Q₈	—	109	1	no	—
219	C₂²⋊Q₈	—	109	6	no	—
220	C₂²⋊Q₈	C₂×D₁₀₉	1	3	yes	—
221	#121	—	109	3	no	—
222	#121	—	109	3	no	—
223	#121	—	109	3	no	—
224	#121	—	109	3	no	—
225	#121	C₂×D₁₀₉	1	3	yes	—
226	C₄×Q₈	—	109	1	no	—
227	C₄×Q₈	—	109	3	no	—
228	C₄×Q₈	—	109	1	no	—
229	C₄×Q₈	—	109	3	no	—
230	C₄×Q₈	—	109	1	no	—
231	C₄×Q₈	—	109	3	no	—
232	C₄×Q₈	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
233	C₄×D₄	—	109	3	no	—
234	C₄×D₄	—	109	3	no	—
235	C₄×D₄	—	109	3	no	—
236	C₄×D₄	—	109	3	no	—
237	C₄×D₄	—	109	3	no	—
238	C₄×D₄	—	109	6	no	—
239	C₄×D₄	—	109	3	no	—
240	C₄×D₄	C₂×D₁₀₉	1	3	yes	—
241	#117	—	109	3	no	—
242	#117	—	109	3	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	—	109	3	no	—
244	C₂×C₄⋊C₄	—	109	3	no	—
245	C₂×C₄⋊C₄	—	109	3	no	—
246	C₂×C₄²	—	109	3	no	—
247	#41	—	2	4	no	—
248	#41	—	436	12	no	—
249	#41	—	218	4	no	—
250	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
251	C₂×Q₈	—	109	6	no	—
252	C₂×Q₈	—	109	1	no	—
253	C₂×Q₈	C₂²×D₁₀₉	1	3	yes	—
254	C₂×Q₈	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
255	C₂×D₄	—	109	6	no	—
256	C₂×D₄	—	109	3	no	—
257	C₂×D₄	—	109	3	no	—
258	C₂×D₄	—	109	3	no	—
259	C₂×D₄	C₂²×D₁₀₉	1	3	yes	—
260	C₂×D₄	C₂²×D₁₀₉	1	3	yes	—
261	C₂²×C₄	—	109	6	no	—
262	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
263	C₂²×C₄	—	109	3	no	—
264	C₂²×C₄	—	109	6	no	—
265	C₂²×C₄	—	109	3	no	—
266	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	3	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	3	yes	—
268	C₄⋊C₄	—	109	3	no	—
269	C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
270	C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
271	C₄⋊C₄	—	109	3	no	—
272	C₄⋊C₄	—	109	3	no	—
273	C₄⋊C₄	—	109	3	no	—
274	C₄⋊C₄	—	109	3	no	—
275	C₄⋊C₄	—	109	3	no	—
276	C₄⋊C₄	—	109	3	no	—
277	C₄⋊C₄	—	109	3	no	—
278	C₄⋊C₄	—	109	6	no	—
279	C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
280	C₄⋊C₄	—	109	3	no	—
281	C₄⋊C₄	C₂²×D₁₀₉	1	3	yes	—
282	C₄⋊C₄	C₂²×D₁₀₉	1	3	yes	—
283	C₂²⋊C₄	—	109	3	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	109	3	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	109	1	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	109	3	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	109	3	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	109	3	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	109	3	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	109	6	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	109	3	no	—
292	C₂²⋊C₄	C₂²×D₁₀₉	1	6	yes	—
293	C₂²⋊C₄	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
294	C₂²⋊C₄	C₂²×D₁₀₉	1	3	yes	—
295	C₄²	—	109	3	no	—
296	C₄²	—	109	3	no	—
297	C₄²	—	109	3	no	—
298	C₄²	—	109	3	no	—
299	C₄²	—	109	3	no	—
300	C₄²	C₂²×D₁₀₉	1	3	yes	—
301	C₂³	—	109	3	no	—
302	C₂³	C₂³×D₁₀₉	1	3	yes	—
303	C₂³	C₂³×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
304	Q₈	—	2	6	no	—
305	Q₈	—	436	6	no	—
306	Q₈	—	218	2	no	—
307	Q₈	#13182028	1	4	yes	complemented
308	D₄	—	2	6	no	—
309	D₄	—	2	6	no	—
310	D₄	—	436	6	no	—
311	D₄	—	218	6	no	—
312	D₄	—	218	6	no	—
313	D₄	—	218	6	no	—
314	C₂×C₄	—	2	6	no	—
315	C₂×C₄	—	2	6	no	—
316	C₂×C₄	—	109	1	no	—
317	C₂×C₄	—	109	1	no	—
318	C₂×C₄	—	109	1	no	—
319	C₂×C₄	—	109	3	no	—
320	C₂×C₄	—	109	3	no	—
321	C₂×C₄	—	109	3	no	—
322	C₂×C₄	—	109	1	no	—
323	C₂×C₄	—	436	6	no	—
324	C₂×C₄	—	436	6	no	—
325	C₂×C₄	—	218	2	no	—
326	C₂×C₄	—	218	6	no	—
327	C₂×C₄	—	218	6	no	—
328	C₂×C₄	C₂³×D₁₀₉	1	3	yes	—
329	C₂×C₄	C₂³×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂³×D₁₀₉	1	3	yes	—
331	C₂×C₄	C₂³×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂³×D₁₀₉	1	3	yes	—
333	C₂²	—	2	1	no	—
334	C₂²	—	2	1	no	—
335	C₂²	—	2	3	no	—
336	C₂²	—	2	3	no	—
337	C₂²	—	2	3	no	—
338	C₂²	—	218	3	no	—
339	C₂²	—	218	3	no	—
340	C₂²	—	218	3	no	—
341	C₂²	#16812745	1	2	yes	—
342	C₂²	C₂⁴×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
343	C₄	—	2	1	no	—
344	C₄	—	2	3	no	—
345	C₄	—	2	3	no	—
346	C₄	—	2	1	no	—
347	C₄	—	109	2	no	—
348	C₄	—	218	1	no	—
349	C₄	—	218	3	no	—
350	C₄	—	218	3	no	—
351	C₄	—	218	3	no	—
352	C₄	—	218	1	no	—
353	C₄	—	218	1	no	—
354	C₄	C₂×#13182028	1	6	yes	—
355	C₂	—	2	2	no	—
356	C₂	—	4	3	no	—
357	C₂	—	436	3	no	—
358	C₂	C₂²×#13182028	1	1	yes	characteristic
359	C₂	C₂×#16812745	1	1	yes	characteristic
360	C₂	2₋¹⁺⁴×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²	C₂⁴×D₁₀₉
commutator, socle, cosocle	C₂²×C₁₀₉	C₂⁵
Fitting	#548×C₁₀₉	C₂
hypercenter	#548	D₁₀₉
hypocenter	C₁₀₉	#3522
LCS	G ▷ C₂²×C₁₀₉ ▷ C₁₀₉
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #548

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20295758	C₂	semidirect
2. Q₈×Dic₂₁₈	C₂	semidirect
3. #20295734	C₂	semidirect
4. #20295695	C₂	semidirect
5. #20295687	C₂	semidirect
6. #20295680	C₂	semidirect
7. #20295676	C₂	semidirect
8. #20295649	C₂	semidirect
9. #20295645	C₂	semidirect
10. #20295571	C₂	semidirect
11. #20295556	C₂	semidirect
12. #20295509	C₂	semidirect
13. #20295508	C₂	semidirect
14. C₂×Q₈×Dic₁₀₉	C₂	semidirect
15. #548×C₁₀₉	C₂	semidirect
124. Q₈×C₁₀₉	#41	semidirect
181. C₁₀₉	#3522	semidirect
187. #548	D₁₀₉	semidirect
307. Q₈	#13182028	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20295758	2
Q₈×Dic₂₁₈	2
#20295734	2
#20295695	2
#20295687	2
#20295680	2
#20295676	2
#20295649	2
#20295645	2
#20295571	2
#20295556	2
#20295509	2
#20295508	2
C₂×Q₈×Dic₁₀₉	2
#548×C₁₀₉	2
#3522	109