Subgroups — #28377111

Order 13952.

1104 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 362 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20295759	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
2	Q₈×Dic₂₁₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20295731	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
4	#20295695	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20295688	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20295683	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20295681	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#20295677	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	#20295647	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	#20295641	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
11	#20295573	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
12	#20295554	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
13	#20295508	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₄×Q₈×D₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#520×C₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂×#13182030	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#13182029	C₂²	1	6	yes	—
18	C₂×Q₈×D₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#16812699	C₂²	1	3	yes	—
20	#16812698	C₂²	1	3	yes	—
21	#16812698	C₂²	1	3	yes	—
22	#16812695	C₂²	1	3	yes	—
23	#16812694	C₂²	1	3	yes	—
24	#16812692	C₂²	1	3	yes	—
25	#16812689	C₂²	1	3	yes	—
26	#16812687	C₂²	1	3	yes	—
27	#16812686	C₂²	1	3	yes	—
28	#16812685	C₂²	1	3	yes	—
29	#16812685	C₂²	1	6	yes	—
30	#16812684	C₂²	1	3	yes	—
31	#16812682	C₂²	1	6	yes	—
32	#16812681	C₂²	1	3	yes	—
33	#16812681	C₂²	1	6	yes	—
34	#16812679	C₂²	1	3	yes	—
35	#16812678	C₂²	1	6	yes	—
36	#16812678	C₂²	1	3	yes	—
37	#16812677	C₂²	1	6	yes	—
38	#16812677	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#16812674	C₂²	1	3	yes	—
40	#16812673	C₂²	1	3	yes	—
41	#16812672	C₂²	1	3	yes	—
42	#16812670	C₂²	1	3	yes	—
43	#16812670	C₂²	1	3	yes	—
44	Q₈×Dic₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	Q₈×Dic₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₄×Dic₂₁₈	C₂²	1	3	yes	—
47	C₄×Dic₂₁₈	C₂²	1	3	yes	—
48	#16812664	C₂²	1	3	yes	—
49	C₄×D₄₃₆	C₂²	1	3	yes	—
50	C₄×D₄₃₆	C₂²	1	3	yes	—
51	#16812661	C₂²	1	3	yes	—
52	C₄×C₂²⋊D₁₀₉	C₂²	1	3	yes	—
53	C₄×C₂²⋊D₁₀₉	C₂²	1	3	yes	—
54	C₄×C₂²⋊D₁₀₉	C₂²	1	6	yes	—
55	#16812656	C₂²	1	3	yes	—
56	C₄⋊C₄×D₁₀₉	C₂²	1	3	yes	—
57	C₄⋊C₄×D₁₀₉	C₂²	1	3	yes	—
58	C₄²×D₁₀₉	C₂²	1	3	yes	—
59	C₂×#41×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	C₄×Q₈×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
61	C₄×Q₈×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
62	C₄×D₄×C₁₀₉	C₂²	1	3	yes	—
63	C₄×D₄×C₁₀₉	C₂²	1	3	yes	—
64	#117×C₁₀₉	C₂²	1	3	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂²	1	3	yes	—
66	#13182030	—	2	4	no	—
67	#13182029	—	4	12	no	—
68	C₂×Dic₂₁₈	C₂³	1	3	yes	—
69	C₂×Dic₂₁₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×Dic₂₁₈	C₂³	1	6	yes	—
71	Q₈×D₁₀₉	—	2	4	no	—
72	C₂×D₄₃₆	C₂³	1	3	yes	—
73	C₂×D₄₃₆	C₂³	1	3	yes	—
74	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
75	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
76	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	C₂³	1	6	yes	—
77	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
79	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
80	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
81	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	6	yes	—
82	C₄⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
83	C₄⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
84	C₄⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
85	C₄⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
86	#13182008	C₂³	1	3	yes	—
87	#13182008	C₂³	1	6	yes	—
88	#13182008	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#13182008	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#13182008	C₂³	1	3	yes	—
91	#13182008	C₂³	1	3	yes	—
92	#13182008	C₂³	1	3	yes	—
93	C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
94	C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	6	yes	—
95	C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
96	#13182006	C₂³	1	3	yes	—
97	#13182006	C₂³	1	3	yes	—
98	#13182006	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	#13182006	C₂³	1	3	yes	—
100	#13182006	C₂³	1	6	yes	—
101	#13182006	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	#13182006	C₂³	1	3	yes	—
103	C₄×Dic₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
104	C₄×Dic₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
105	C₄×Dic₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
106	C₄×Dic₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
107	#41×C₁₀₉	—	2	4	no	—
108	C₂×Q₈×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂×D₄×C₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
110	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
111	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	6	yes	—
112	C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
113	C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
114	C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
115	C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₂²⋊C₄×C₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
117	C₂²⋊C₄×C₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
118	C₄²×C₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
119	C₄²×C₁₀₉	C₂³	1	3	yes	—
120	C₂³×C₁₀₉	C₂⁴	1	3	yes	—
121	C₂²×D₁₀₉	C₂⁴	1	3	yes	—
122	C₂²×D₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	Q₈×C₁₀₉	#41	1	4	yes	complemented
124	D₄×C₁₀₉	—	2	6	no	—
125	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	6	no	—
126	C₂×C₄×C₁₀₉	—	4	6	no	—
127	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂⁴	1	3	yes	—
130	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂⁴	1	3	yes	—
131	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂⁴	1	3	yes	—
133	C₂²⋊D₁₀₉	—	2	6	no	—
134	C₂²⋊D₁₀₉	—	2	6	no	—
135	C₂²⋊D₁₀₉	—	4	6	no	—
136	C₂×Dic₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
137	C₂×Dic₁₀₉	C₂⁴	1	3	yes	—
138	C₂×Dic₁₀₉	C₂⁴	1	3	yes	—
139	C₂×Dic₁₀₉	C₂⁴	1	3	yes	—
140	C₂×Dic₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	C₂×Dic₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
142	D₄₃₆	—	2	6	no	—
143	D₄₃₆	—	2	6	no	—
144	C₄×D₁₀₉	—	2	6	no	—
145	C₄×D₁₀₉	—	2	6	no	—
146	C₄×D₁₀₉	—	2	6	no	—
147	C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
148	C₄×D₁₀₉	—	4	6	no	—
149	Dic₂₁₈	—	2	6	no	—
150	Dic₂₁₈	—	2	2	no	—
151	Dic₂₁₈	—	4	6	no	—
152	C₂²×C₁₀₉	—	2	3	no	—
153	C₂²×C₁₀₉	—	2	3	no	—
154	C₂²×C₁₀₉	—	2	3	no	—
155	C₂²×C₁₀₉	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
156	C₂×D₁₀₉	—	2	1	no	—
157	C₂×D₁₀₉	—	2	1	no	—
158	C₂×D₁₀₉	—	2	3	no	—
159	C₂×D₁₀₉	—	2	3	no	—
160	C₂×D₁₀₉	—	2	3	no	—
161	C₂×D₁₀₉	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
162	C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
163	C₄×C₁₀₉	—	2	3	no	—
164	C₄×C₁₀₉	—	2	3	no	—
165	C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
166	C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
167	C₄×C₁₀₉	C₂×#41	1	6	yes	—
168	Dic₁₀₉	—	2	3	no	—
169	Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
170	Dic₁₀₉	—	2	3	no	—
171	Dic₁₀₉	—	2	3	no	—
172	Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
173	Dic₁₀₉	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
174	C₂×C₁₀₉	—	4	3	no	—
175	C₂×C₁₀₉	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₁₀₉	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₁₀₉	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
178	D₁₀₉	—	2	2	no	—
179	D₁₀₉	—	4	3	no	—
180	#3522	—	109	1	no	maximal, Sylow
181	C₁₀₉	#3522	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
182	#559	—	109	3	no	—
183	Q₈²	—	109	1	no	—
184	#554	—	109	3	no	—
185	#550	—	109	1	no	—
186	#548	—	109	1	no	—
187	#548	—	109	1	no	—
188	#547	—	109	3	no	—
189	#547	—	109	3	no	—
190	#542	—	109	3	no	—
191	#542	—	109	3	no	—
192	#532	—	109	3	no	—
193	#529	—	109	3	no	—
194	#520	—	109	1	no	—
195	#520	D₁₀₉	1	1	yes	characteristic, complemented
196	C₂×C₄×Q₈	—	109	1	no	—
197	C₂×#41	—	109	1	no	—
198	C₂×#41	—	109	6	no	—
199	C₂×#41	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×Q₈	—	109	1	no	—
201	C₄⋊Q₈	—	109	3	no	—
202	C₄⋊Q₈	—	109	3	no	—
203	C₄⋊Q₈	—	109	3	no	—
204	#127	—	109	3	no	—
205	#126	—	109	3	no	—
206	#126	—	109	3	no	—
207	#125	—	109	3	no	—
208	#124	—	109	3	no	—
209	#124	—	109	3	no	—
210	#124	—	109	6	no	—
211	#124	—	109	3	no	—
212	#123	—	109	6	no	—
213	#123	—	109	3	no	—
214	#123	—	109	3	no	—
215	#123	—	109	6	no	—
216	C₂²⋊Q₈	—	109	6	no	—
217	C₂²⋊Q₈	—	109	3	no	—
218	C₂²⋊Q₈	—	109	1	no	—
219	C₂²⋊Q₈	—	109	6	no	—
220	C₂²⋊Q₈	—	109	3	no	—
221	#121	—	109	3	no	—
222	#121	—	109	3	no	—
223	#121	—	109	3	no	—
224	#121	—	109	3	no	—
225	#121	—	109	3	no	—
226	C₄×Q₈	—	109	1	no	—
227	C₄×Q₈	—	109	1	no	—
228	C₄×Q₈	—	109	3	no	—
229	C₄×Q₈	—	109	3	no	—
230	C₄×Q₈	—	109	3	no	—
231	C₄×Q₈	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
232	C₄×Q₈	C₂×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
233	C₄×D₄	—	109	3	no	—
234	C₄×D₄	—	109	3	no	—
235	C₄×D₄	—	109	6	no	—
236	C₄×D₄	—	109	3	no	—
237	C₄×D₄	—	109	3	no	—
238	C₄×D₄	—	109	3	no	—
239	C₄×D₄	C₂×D₁₀₉	1	3	yes	—
240	C₄×D₄	C₂×D₁₀₉	1	3	yes	—
241	#117	—	109	3	no	—
242	#117	C₂×D₁₀₉	1	3	yes	—
243	C₂×C₄⋊C₄	—	109	3	no	—
244	C₂×C₄⋊C₄	—	109	3	no	—
245	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₁₀₉	1	3	yes	—
246	C₂×C₄²	—	109	3	no	—
247	#41	—	2	4	no	—
248	#41	—	436	12	no	—
249	#41	—	218	4	no	—
250	C₂×Q₈	—	109	6	no	—
251	C₂×Q₈	—	109	1	no	—
252	C₂×Q₈	—	109	3	no	—
253	C₂×Q₈	—	218	4	no	—
254	C₂×Q₈	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
255	C₂×D₄	—	109	6	no	—
256	C₂×D₄	—	109	3	no	—
257	C₂×D₄	—	109	3	no	—
258	C₂×D₄	—	109	3	no	—
259	C₂×D₄	—	109	3	no	—
260	C₂×D₄	C₂²×D₁₀₉	1	3	yes	—
261	C₂²×C₄	—	109	6	no	—
262	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
263	C₂²×C₄	—	109	3	no	—
264	C₂²×C₄	—	109	3	no	—
265	C₂²×C₄	—	109	3	no	—
266	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	3	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₁₀₉	1	6	yes	—
268	C₄⋊C₄	—	109	3	no	—
269	C₄⋊C₄	—	109	6	no	—
270	C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
271	C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
272	C₄⋊C₄	—	109	3	no	—
273	C₄⋊C₄	—	109	3	no	—
274	C₄⋊C₄	—	109	3	no	—
275	C₄⋊C₄	—	109	3	no	—
276	C₄⋊C₄	—	109	3	no	—
277	C₄⋊C₄	—	109	3	no	—
278	C₄⋊C₄	—	109	3	no	—
279	C₄⋊C₄	C₂²×D₁₀₉	1	3	yes	—
280	C₄⋊C₄	C₂²×D₁₀₉	1	3	yes	—
281	C₄⋊C₄	C₂²×D₁₀₉	1	3	yes	—
282	C₄⋊C₄	C₂²×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
283	C₂²⋊C₄	—	109	3	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	109	6	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	109	3	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	109	3	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	109	3	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	109	1	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	109	1	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	109	3	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	109	6	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	109	3	no	—
293	C₂²⋊C₄	C₂²×D₁₀₉	1	3	yes	—
294	C₂²⋊C₄	C₂²×D₁₀₉	1	3	yes	—
295	C₄²	—	109	3	no	—
296	C₄²	—	109	3	no	—
297	C₄²	—	109	3	no	—
298	C₄²	—	109	3	no	—
299	C₄²	C₂²×D₁₀₉	1	3	yes	—
300	C₄²	C₂²×D₁₀₉	1	3	yes	—
301	C₂³	—	109	1	no	—
302	C₂³	—	109	3	no	—
303	C₂³	C₂³×D₁₀₉	1	3	yes	—
304	Q₈	—	436	6	no	—
305	Q₈	—	218	2	no	—
306	Q₈	—	218	6	no	—
307	Q₈	#13182029	1	4	yes	complemented
308	D₄	—	2	6	no	—
309	D₄	—	436	6	no	—
310	D₄	—	218	6	no	—
311	D₄	—	218	6	no	—
312	D₄	—	218	6	no	—
313	D₄	—	218	6	no	—
314	C₂×C₄	—	2	6	no	—
315	C₂×C₄	—	4	6	no	—
316	C₂×C₄	—	109	1	no	—
317	C₂×C₄	—	109	1	no	—
318	C₂×C₄	—	109	3	no	—
319	C₂×C₄	—	109	3	no	—
320	C₂×C₄	—	109	3	no	—
321	C₂×C₄	—	109	1	no	—
322	C₂×C₄	—	436	6	no	—
323	C₂×C₄	—	218	2	no	—
324	C₂×C₄	—	218	6	no	—
325	C₂×C₄	—	218	6	no	—
326	C₂×C₄	—	218	6	no	—
327	C₂×C₄	C₂³×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂³×D₁₀₉	1	3	yes	—
329	C₂×C₄	C₂³×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂³×D₁₀₉	1	3	yes	—
331	C₂×C₄	C₂³×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂³×D₁₀₉	1	3	yes	—
333	C₂²	—	2	3	no	—
334	C₂²	—	2	3	no	—
335	C₂²	—	2	3	no	—
336	C₂²	—	109	2	no	—
337	C₂²	—	218	3	no	—
338	C₂²	—	218	3	no	—
339	C₂²	—	218	3	no	—
340	C₂²	—	218	1	no	—
341	C₂²	—	218	1	no	—
342	C₂²	C₂⁴×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
343	C₄	—	2	1	no	—
344	C₄	—	2	3	no	—
345	C₄	—	2	3	no	—
346	C₄	—	2	1	no	—
347	C₄	—	2	1	no	—
348	C₄	—	109	2	no	—
349	C₄	—	218	1	no	—
350	C₄	—	218	3	no	—
351	C₄	—	218	3	no	—
352	C₄	—	218	3	no	—
353	C₄	—	218	1	no	—
354	C₄	C₂×#13182029	1	6	yes	—
355	C₂	—	4	3	no	—
356	C₂	—	436	3	no	—
357	C₂	—	218	2	no	—
358	C₂	C₂²×#13182029	1	1	yes	characteristic
359	C₂	H(5,𝔽₂)×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic
360	C₂	2₋¹⁺⁴×D₁₀₉	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²	C₂⁴×D₁₀₉
commutator, socle, cosocle	C₂²×C₁₀₉	C₂⁵
Fitting	#520×C₁₀₉	C₂
hypercenter	#520	D₁₀₉
hypocenter	C₁₀₉	#3522
LCS	G ▷ C₂²×C₁₀₉ ▷ C₁₀₉
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #520

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20295759	C₂	semidirect
2. Q₈×Dic₂₁₈	C₂	semidirect
3. #20295731	C₂	semidirect
4. #20295695	C₂	semidirect
5. #20295688	C₂	semidirect
6. #20295683	C₂	semidirect
7. #20295681	C₂	semidirect
8. #20295677	C₂	semidirect
9. #20295647	C₂	semidirect
10. #20295641	C₂	semidirect
11. #20295573	C₂	semidirect
12. #20295554	C₂	semidirect
13. #20295508	C₂	semidirect
14. C₄×Q₈×D₁₀₉	C₂	semidirect
15. #520×C₁₀₉	C₂	semidirect
123. Q₈×C₁₀₉	#41	semidirect
181. C₁₀₉	#3522	semidirect
195. #520	D₁₀₉	semidirect
307. Q₈	#13182029	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20295759	2
Q₈×Dic₂₁₈	2
#20295731	2
#20295695	2
#20295688	2
#20295683	2
#20295681	2
#20295677	2
#20295647	2
#20295641	2
#20295573	2
#20295554	2
#20295508	2
C₄×Q₈×D₁₀₉	2
#520×C₁₀₉	2
#3522	109