Subgroups — #123×#89137 #28379497

Order 13952.

688 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×#89137	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄×#89137	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20295976	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20295975	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20295974	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20295973	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20295969	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₄⋊C₄×#89137	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²⋊C₄×#89137	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²⋊C₄×#89137	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#123×D₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂³×#89137	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×#89137	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×#89137	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	D₄×#89137	—	2	4	no	—
16	C₂×C₄⋊#89137	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄⋊#89137	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₂²⋊#89137	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₂²⋊#89137	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₂²⋊#89137	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₂²⋊#89137	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×#89137	—	2	4	no	—
23	C₂×C₄×#89137	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×#89137	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×#89137	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×#89137	C₂²	1	2	yes	—
27	(C₂×#89137)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	(C₂×#89137)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
29	(C₂×#89137)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	(C₂×#89137)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	(C₂×#89137)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×D₄×D₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₄×D₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#16812684	C₄	1	2	yes	complemented
35	#16812683	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
36	#16812682	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
37	#16812681	C₄	1	2	yes	complemented
38	#16812680	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
39	C₄⋊C₄×D₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²⋊C₄×D₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂²⋊C₄×D₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
42	#123×C₁₀₉	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
43	C₂²×#89137	—	2	2	no	—
44	C₂²×#89137	—	2	4	no	—
45	C₂²×#89137	—	2	4	no	—
46	C₂²×#89137	—	2	2	no	—
47	C₂²×#89137	—	2	4	no	—
48	C₂²×#89137	D₄	1	4	yes	—
49	C₂²×#89137	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×#89137	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×#89137	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×#89137	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×#89137	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×#89137	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₄⋊#89137	—	2	2	no	—
56	C₄⋊#89137	—	2	4	no	—
57	C₂²⋊#89137	—	2	2	no	—
58	C₂²⋊#89137	—	2	2	no	—
59	C₂²⋊#89137	—	2	2	no	—
60	C₂²⋊#89137	—	2	4	no	—
61	C₄×#89137	—	2	4	no	—
62	C₄×#89137	—	2	4	no	—
63	C₄×#89137	—	2	2	no	—
64	C₄×#89137	—	2	4	no	—
65	C₂³×D₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂³×D₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×D₄₃₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	D₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
71	D₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
72	C₂²×Dic₁₀₉	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
73	C₂×C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
76	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₄⋊Dic₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
80	#13182008	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
81	#13182008	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
82	C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
83	C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
84	#13182006	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
85	#13182006	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
86	#13182006	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
87	C₂×D₄×C₁₀₉	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
89	C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
90	C₂²⋊C₄×C₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
91	C₂²⋊C₄×C₁₀₉	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
92	C₂³×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×D₁₀₉	—	2	2	no	—
95	C₂²×D₁₀₉	—	2	2	no	—
96	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
97	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
98	C₂²×D₁₀₉	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₁₀₉	—	2	2	no	—
100	C₂²×D₁₀₉	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×D₁₀₉	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×D₁₀₉	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂²×D₁₀₉	#41	1	2	yes	—
104	C₂²×D₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	C₂×#89137	—	2	8	no	—
106	C₂×#89137	—	2	2	no	—
107	C₂×#89137	—	2	2	no	—
108	C₂×#89137	—	2	2	no	—
109	C₂×#89137	—	2	8	no	—
110	C₂×#89137	—	2	1	no	—
111	C₂×#89137	—	2	1	no	—
112	C₂×#89137	—	2	2	no	—
113	C₂×#89137	—	2	2	no	—
114	C₂×#89137	—	2	2	no	—
115	C₂×#89137	—	2	2	no	—
116	C₂×#89137	—	2	2	no	—
117	C₂×#89137	—	4	4	no	—
118	C₂×#89137	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂×#89137	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂×#89137	#41	1	4	yes	—
121	C₂×#89137	#41	1	4	yes	—
122	D₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²⋊D₁₀₉	—	2	2	no	—
128	C₂²⋊D₁₀₉	—	2	2	no	—
129	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
130	C₂×Dic₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂×Dic₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂×Dic₁₀₉	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	D₄₃₆	—	2	2	no	—
134	C₄×D₁₀₉	—	2	4	no	—
135	C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
136	C₄×D₁₀₉	—	2	1	no	—
137	C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
138	C₄×D₁₀₉	—	2	1	no	—
139	C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
140	C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₁₀₉	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₁₀₉	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₁₀₉	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₁₀₉	C₄×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₁₀₉	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
147	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
148	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
149	C₂×D₁₀₉	—	2	4	no	—
150	C₂×D₁₀₉	—	2	1	no	—
151	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
152	C₂×D₁₀₉	—	4	1	no	—
153	C₂×D₁₀₉	—	4	1	no	—
154	C₂×D₁₀₉	—	4	2	no	—
155	C₂×D₁₀₉	C₄×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×D₁₀₉	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×D₁₀₉	C₂×#41	1	2	yes	—
158	C₂×D₁₀₉	C₂×#41	1	2	yes	—
159	C₂×D₁₀₉	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
160	#89137	—	2	2	no	—
161	#89137	—	2	4	no	—
162	#89137	—	4	1	no	—
163	#89137	—	4	1	no	—
164	#89137	—	4	2	no	—
165	#89137	#123	1	4	yes	direct product factor
166	C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
167	C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
168	C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
169	Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
170	Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
171	Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
172	C₂×C₁₀₉	—	2	2	no	—
173	C₂×C₁₀₉	—	4	1	no	—
174	C₂×C₁₀₉	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₁₀₉	C₄×#41	1	2	yes	—
176	D₁₀₉	—	2	2	no	—
177	D₁₀₉	—	4	1	no	—
178	D₁₀₉	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
179	D₁₀₉	#525	1	1	yes	characteristic
180	D₁₀₉	#529	1	2	yes	—
181	C₄×#123	—	109	1	no	maximal, Sylow
182	C₁₀₉	C₄×#123	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
183	C₂×#123	—	109	1	no	—
184	C₂×C₄×D₄	—	109	1	no	—
185	C₂²×C₄²	—	109	1	no	—
186	#388	—	109	2	no	—
187	#387	—	109	2	no	—
188	#386	—	109	1	no	—
189	#385	—	109	1	no	—
190	#381	—	109	1	no	—
191	C₄×C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
192	C₄×C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
193	C₄×C₂²⋊C₄	—	109	1	no	—
194	C₂²×D₄	—	109	1	no	—
195	C₂³×C₄	—	109	1	no	—
196	C₂³×C₄	—	109	1	no	—
197	C₂³×C₄	—	109	1	no	—
198	C₂³×C₄	—	109	1	no	—
199	#123	—	109	1	no	—
200	#123	—	109	1	no	—
201	#123	—	109	2	no	—
202	#123	—	109	2	no	—
203	#123	—	109	1	no	—
204	#123	#89137	1	1	yes	characteristic, direct product factor
205	C₄×D₄	—	218	4	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	1	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	1	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	1	no	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	1	no	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
215	C₂×C₄²	—	109	1	no	—
216	C₂×C₄²	—	109	2	no	—
217	C₂×C₄²	—	109	2	no	—
218	C₂×C₄²	—	109	2	no	—
219	C₂×C₄²	—	218	4	no	—
220	#95	—	109	2	no	—
221	#95	—	109	2	no	—
222	#95	—	109	2	no	—
223	#95	—	109	2	no	—
224	#95	—	109	2	no	—
225	C₂⁴	—	109	1	no	—
226	C₂⁴	—	109	1	no	—
227	C₂×D₄	—	109	1	no	—
228	C₂×D₄	—	109	1	no	—
229	C₂×D₄	—	109	1	no	—
230	C₂×D₄	—	218	2	no	—
231	C₂×D₄	—	218	2	no	—
232	C₂×D₄	C₂×#89137	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
234	C₂²×C₄	—	109	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
236	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	218	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	218	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	218	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	218	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	218	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	218	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	218	2	no	—
252	C₂²×C₄	C₂×#89137	1	1	yes	characteristic, complemented
253	C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	218	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	218	2	no	—
258	C₄⋊C₄	C₂×#89137	1	2	yes	complemented
259	C₂²⋊C₄	—	109	1	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	218	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	218	2	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	218	2	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	218	2	no	—
268	C₂²⋊C₄	C₂×#89137	1	1	yes	characteristic, complemented
269	C₂²⋊C₄	C₂×#89137	1	2	yes	complemented
270	C₄²	—	218	4	no	—
271	C₄²	—	218	4	no	—
272	C₄²	—	218	4	no	—
273	C₄²	—	218	2	no	—
274	C₂³	—	109	1	no	—
275	C₂³	—	109	2	no	—
276	C₂³	—	109	2	no	—
277	C₂³	—	109	1	no	—
278	C₂³	—	109	1	no	—
279	C₂³	—	218	1	no	—
280	C₂³	—	218	2	no	—
281	C₂³	—	218	2	no	—
282	C₂³	—	218	1	no	—
283	C₂³	—	218	2	no	—
284	C₂³	—	218	2	no	—
285	C₂³	C₂²×#89137	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	C₂²×#89137	1	1	yes	characteristic
287	D₄	—	2	2	no	—
288	D₄	—	218	2	no	—
289	D₄	—	218	2	no	—
290	D₄	—	218	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	109	2	no	—
293	C₂×C₄	—	109	4	no	—
294	C₂×C₄	—	109	2	no	—
295	C₂×C₄	—	109	4	no	—
296	C₂×C₄	—	109	2	no	—
297	C₂×C₄	—	109	2	no	—
298	C₂×C₄	—	109	1	no	—
299	C₂×C₄	—	436	4	no	—
300	C₂×C₄	—	218	2	no	—
301	C₂×C₄	—	218	1	no	—
302	C₂×C₄	—	218	2	no	—
303	C₂×C₄	—	218	2	no	—
304	C₂×C₄	—	218	2	no	—
305	C₂×C₄	—	218	4	no	—
306	C₂×C₄	—	218	1	no	—
307	C₂×C₄	—	218	8	no	—
308	C₂×C₄	—	218	1	no	—
309	C₂×C₄	—	218	2	no	—
310	C₂×C₄	—	218	1	no	—
311	C₂×C₄	—	218	2	no	—
312	C₂×C₄	—	218	2	no	—
313	C₂×C₄	—	218	2	no	—
314	C₂×C₄	—	218	2	no	—
315	C₂×C₄	—	218	2	no	—
316	C₂×C₄	—	218	2	no	—
317	C₂×C₄	—	218	2	no	—
318	C₂×C₄	—	218	8	no	—
319	C₂×C₄	—	218	2	no	—
320	C₂×C₄	C₂²×#89137	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×#89137	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×#89137	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	—	2	2	no	—
324	C₂²	—	2	1	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	109	1	no	—
327	C₂²	—	109	1	no	—
328	C₂²	—	109	2	no	—
329	C₂²	—	109	2	no	—
330	C₂²	—	109	2	no	—
331	C₂²	—	436	1	no	—
332	C₂²	—	436	1	no	—
333	C₂²	—	436	2	no	—
334	C₂²	—	218	2	no	—
335	C₂²	—	218	2	no	—
336	C₂²	—	218	4	no	—
337	C₂²	—	218	1	no	—
338	C₂²	—	218	2	no	—
339	C₂²	—	218	2	no	—
340	C₂²	D₄×#89137	1	2	yes	—
341	C₂²	C₂³×#89137	1	1	yes	characteristic
342	C₄	—	2	2	no	—
343	C₄	—	2	1	no	—
344	C₄	—	2	2	no	—
345	C₄	—	109	4	no	—
346	C₄	—	436	1	no	—
347	C₄	—	436	1	no	—
348	C₄	—	436	2	no	—
349	C₄	—	218	2	no	—
350	C₄	—	218	4	no	—
351	C₄	—	218	2	no	—
352	C₄	—	218	1	no	—
353	C₄	—	218	2	no	—
354	C₂	—	2	2	no	—
355	C₂	—	4	1	no	—
356	C₂	—	109	1	no	—
357	C₂	—	109	1	no	—
358	C₂	—	109	2	no	—
359	C₂	—	436	1	no	—
360	C₂	—	218	2	no	—
361	C₂	C₂×D₄×#89137	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#41×#89137	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²	C₂³×#89137
commutator, socle	C₂²×C₁₀₉	C₂³×C₄
Fitting	#123×C₁₀₉	C₄
prime radical	C₂×D₄×D₁₀₉	C₂²
cosocle	C₂²×D₁₀₉	C₂⁴
hypercenter	#123	#89137
hypocenter	C₁₀₉	C₄×#123
LCS	G ▷ C₂²×C₁₀₉ ▷ C₁₀₉
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #123

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×C₄×#89137	C₂	semidirect
3. #20295976	C₂	semidirect
4. #20295975	C₂	semidirect
6. #20295973	C₂	semidirect
7. #20295969	C₂	semidirect
8. C₄⋊C₄×#89137	C₂	semidirect
9. C₂²⋊C₄×#89137	C₂	semidirect
10. C₂²⋊C₄×#89137	C₂	semidirect
34. #16812684	C₄	semidirect
35. #16812683	C₄	semidirect
36. #16812682	C₄	semidirect
37. #16812681	C₄	semidirect
38. #16812680	C₄	semidirect
42. #123×C₁₀₉	C₄	semidirect
72. C₂²×Dic₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
75. C₂×C₄×D₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
79. C₄⋊Dic₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
80. #13182008	C₂×C₄	semidirect
81. #13182008	C₂×C₄	semidirect
82. C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
83. C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
84. #13182006	C₂×C₄	semidirect
85. #13182006	C₂×C₄	semidirect
86. #13182006	C₂×C₄	semidirect
88. C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
89. C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
90. C₂²⋊C₄×C₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
91. C₂²⋊C₄×C₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
165. #89137	#123	direct (N × H)
182. C₁₀₉	C₄×#123	semidirect
204. #123	#89137	direct (N × H)
252. C₂²×C₄	C₂×#89137	semidirect
258. C₄⋊C₄	C₂×#89137	semidirect
268. C₂²⋊C₄	C₂×#89137	semidirect
269. C₂²⋊C₄	C₂×#89137	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×#89137	2
C₂²×C₄×#89137	2
#20295976	2
#20295975	2
#20295974	2
#20295973	2
#20295969	2
C₄⋊C₄×#89137	2
C₂²⋊C₄×#89137	2
#123×D₁₀₉	2
C₄×#123	109