Subgroups — #28379519

Order 13952.

556 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈×#89137	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#16812778	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	(C₂×#89137)⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20295977	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20295977	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20295976	C₂	1	2	yes	maximal
7	#20295976	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20295975	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#20295968	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₄⋊C₄×#89137	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂²⋊Q₈×D₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	Q₈×#89137	—	2	4	no	—
13	#16812778	—	2	4	no	—
14	C₂×C₄⋊#89137	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄⋊#89137	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄⋊#89137	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄⋊#89137	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄⋊#89137	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄⋊#89137	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₂²⋊#89137	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₂²⋊#89137	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₂²⋊#89137	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×#89137	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×#89137	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×#89137	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×#89137	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	(C₂×#89137)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	(C₂×#89137)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
29	(C₂×#89137)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	(C₂×#89137)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	(C₂×#89137)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×Q₈×D₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₄×D₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#16812679	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
35	#16812678	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
36	#16812677	C₄	1	2	yes	complemented
37	#16812676	C₄	1	2	yes	complemented
38	#16812675	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
39	C₄⋊C₄×D₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₄⋊C₄×D₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²⋊C₄×D₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²⋊Q₈×C₁₀₉	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
43	C₂²×#89137	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×#89137	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×#89137	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×#89137	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×#89137	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×#89137	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₄⋊#89137	—	2	2	no	—
50	C₄⋊#89137	—	2	2	no	—
51	C₄⋊#89137	—	2	4	no	—
52	C₄⋊#89137	—	2	2	no	—
53	C₄⋊#89137	—	2	2	no	—
54	C₄⋊#89137	—	4	2	no	—
55	C₂²⋊#89137	—	2	2	no	—
56	C₂²⋊#89137	—	2	2	no	—
57	C₂²⋊#89137	—	4	2	no	—
58	C₄×#89137	—	2	4	no	—
59	C₄×#89137	—	2	2	no	—
60	C₄×#89137	—	4	2	no	—
61	C₄×#89137	D₄	1	4	yes	—
62	C₂³×D₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×Dic₂₁₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×Dic₂₁₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	Q₈×D₁₀₉	—	2	2	no	—
66	Q₈×D₁₀₉	—	2	2	no	—
67	C₂²×Dic₁₀₉	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₄⋊Dic₁₀₉	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₄⋊Dic₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	#13182008	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#13182008	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	#13182008	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂²⋊Dic₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#13182006	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#13182006	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×Q₈×C₁₀₉	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²⋊C₄×C₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	C₂³×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
91	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
92	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
93	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
94	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
95	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
96	C₂²×D₁₀₉	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×D₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
98	C₂×#89137	—	2	1	no	—
99	C₂×#89137	—	2	1	no	—
100	C₂×#89137	—	2	1	no	—
101	C₂×#89137	—	2	1	no	—
102	C₂×#89137	—	2	1	no	—
103	C₂×#89137	—	2	1	no	—
104	C₂×#89137	—	2	2	no	—
105	C₂×#89137	—	2	2	no	—
106	C₂×#89137	—	2	2	no	—
107	C₂×#89137	—	2	2	no	—
108	C₂×#89137	—	2	1	no	—
109	C₂×#89137	—	2	1	no	—
110	C₂×#89137	—	2	1	no	—
111	C₂×#89137	—	2	1	no	—
112	C₂×#89137	—	2	2	no	—
113	C₂×#89137	—	2	2	no	—
114	C₂×#89137	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂×#89137	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	Q₈×C₁₀₉	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
123	C₂×Dic₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂×Dic₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₂×Dic₁₀₉	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×Dic₁₀₉	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₄×D₁₀₉	—	2	1	no	—
128	C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
129	C₄×D₁₀₉	—	2	1	no	—
130	C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
131	C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
132	C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
133	C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
134	C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
135	C₄×D₁₀₉	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₄×D₁₀₉	#41	1	2	yes	—
137	Dic₂₁₈	—	2	2	no	—
138	Dic₂₁₈	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₁₀₉	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₁₀₉	—	2	1	no	—
141	C₂²×C₁₀₉	—	2	1	no	—
142	C₂²×C₁₀₉	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×D₁₀₉	—	2	1	no	—
144	C₂×D₁₀₉	—	2	1	no	—
145	C₂×D₁₀₉	—	2	1	no	—
146	C₂×D₁₀₉	—	4	1	no	—
147	C₂×D₁₀₉	—	4	1	no	—
148	C₂×D₁₀₉	—	4	1	no	—
149	C₂×D₁₀₉	—	4	1	no	—
150	C₂×D₁₀₉	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×D₁₀₉	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
152	C₂×D₁₀₉	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
153	C₂×D₁₀₉	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
154	C₂×D₁₀₉	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
155	C₂×D₁₀₉	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
156	#89137	—	2	2	no	—
157	#89137	—	2	2	no	—
158	#89137	—	4	1	no	—
159	#89137	—	4	1	no	—
160	#89137	—	4	2	no	—
161	#89137	—	4	2	no	—
162	C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
163	C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
164	C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
165	C₄×C₁₀₉	C₄×D₄	1	2	yes	—
166	Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
167	Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
168	Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
169	Dic₁₀₉	C₄×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₁₀₉	—	4	1	no	—
171	C₂×C₁₀₉	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₁₀₉	#519	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₁₀₉	#520	1	1	yes	characteristic
174	D₁₀₉	—	4	1	no	—
175	D₁₀₉	#536	1	1	yes	characteristic
176	D₁₀₉	#537	1	1	yes	characteristic
177	D₁₀₉	#541	1	1	yes	characteristic
178	D₁₀₉	#542	1	1	yes	characteristic
179	#2323	—	109	1	no	maximal, Sylow
180	C₁₀₉	#2323	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
181	C₂×C₂²⋊Q₈	—	109	1	no	—
182	C₂×C₄×Q₈	—	109	1	no	—
183	C₂×#117	—	109	1	no	—
184	#391	—	109	1	no	—
185	#389	—	109	2	no	—
186	#389	—	109	1	no	—
187	#388	—	109	2	no	—
188	#388	—	109	2	no	—
189	#387	—	109	2	no	—
190	#380	—	109	1	no	—
191	C₄×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
192	C₂²×Q₈	—	109	1	no	—
193	C₂³×C₄	—	109	1	no	—
194	C₂²⋊Q₈	—	109	1	no	—
195	C₂²⋊Q₈	—	109	1	no	—
196	C₂²⋊Q₈	—	109	2	no	—
197	C₂²⋊Q₈	—	109	1	no	—
198	C₂²⋊Q₈	—	109	2	no	—
199	C₂²⋊Q₈	#89137	1	1	yes	characteristic, complemented
200	C₄×Q₈	—	218	4	no	—
201	#117	—	218	4	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	1	no	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	1	no	—
214	C₂×C₄²	—	109	1	no	—
215	C₂×C₄²	—	109	2	no	—
216	C₂×C₄²	—	109	1	no	—
217	C₂×C₄²	—	109	2	no	—
218	#95	—	109	2	no	—
219	#95	—	109	2	no	—
220	#95	—	109	2	no	—
221	#95	—	109	2	no	—
222	#95	—	109	2	no	—
223	C₂⁴	—	109	1	no	—
224	C₂×Q₈	—	109	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	109	1	no	—
226	C₂×Q₈	—	218	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	218	2	no	—
228	C₂×Q₈	C₂×#89137	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
230	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
231	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
232	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
233	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
234	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
241	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	218	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	218	2	no	—
244	C₂²×C₄	C₂×#89137	1	1	yes	characteristic
245	C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	109	1	no	—
249	C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	436	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	218	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	218	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	218	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	218	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	218	4	no	—
256	C₄⋊C₄	C₂×#89137	1	1	yes	characteristic
257	C₄⋊C₄	C₂×#89137	1	2	yes	—
258	C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	436	2	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	218	2	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	218	2	no	—
264	C₂²⋊C₄	C₂×#89137	1	2	yes	—
265	C₄²	—	109	4	no	—
266	C₄²	—	436	2	no	—
267	C₄²	—	218	2	no	—
268	C₄²	—	218	4	no	—
269	C₂³	—	109	1	no	—
270	C₂³	—	109	1	no	—
271	C₂³	—	218	1	no	—
272	C₂³	—	218	1	no	—
273	C₂³	—	218	1	no	—
274	C₂³	—	218	1	no	—
275	C₂³	—	218	1	no	—
276	C₂³	—	218	1	no	—
277	C₂³	C₂²×#89137	1	1	yes	characteristic
278	Q₈	—	2	2	no	—
279	Q₈	—	218	4	no	—
280	Q₈	—	218	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	109	1	no	—
283	C₂×C₄	—	109	2	no	—
284	C₂×C₄	—	109	2	no	—
285	C₂×C₄	—	109	2	no	—
286	C₂×C₄	—	109	2	no	—
287	C₂×C₄	—	109	2	no	—
288	C₂×C₄	—	109	2	no	—
289	C₂×C₄	—	109	1	no	—
290	C₂×C₄	—	218	2	no	—
291	C₂×C₄	—	218	2	no	—
292	C₂×C₄	—	218	2	no	—
293	C₂×C₄	—	218	1	no	—
294	C₂×C₄	—	218	1	no	—
295	C₂×C₄	—	218	2	no	—
296	C₂×C₄	—	218	2	no	—
297	C₂×C₄	—	218	2	no	—
298	C₂×C₄	—	218	2	no	—
299	C₂×C₄	—	218	1	no	—
300	C₂×C₄	—	218	1	no	—
301	C₂×C₄	—	218	2	no	—
302	C₂×C₄	—	218	2	no	—
303	C₂×C₄	—	218	1	no	—
304	C₂×C₄	—	218	2	no	—
305	C₂×C₄	—	218	2	no	—
306	C₂×C₄	—	218	1	no	—
307	C₂×C₄	—	218	1	no	—
308	C₂×C₄	—	218	2	no	—
309	C₂×C₄	—	218	1	no	—
310	C₂×C₄	—	218	1	no	—
311	C₂×C₄	—	218	1	no	—
312	C₂×C₄	—	218	1	no	—
313	C₂×C₄	—	218	1	no	—
314	C₂×C₄	—	218	2	no	—
315	C₂×C₄	C₂²×#89137	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂²×#89137	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²×#89137	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂²×#89137	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	—	2	1	no	—
320	C₂²	—	2	1	no	—
321	C₂²	—	2	1	no	—
322	C₂²	—	109	1	no	—
323	C₂²	—	109	1	no	—
324	C₂²	—	109	1	no	—
325	C₂²	—	109	1	no	—
326	C₂²	—	109	1	no	—
327	C₂²	—	109	1	no	—
328	C₂²	—	436	1	no	—
329	C₂²	—	436	1	no	—
330	C₂²	—	436	1	no	—
331	C₂²	—	436	1	no	—
332	C₂²	—	218	1	no	—
333	C₂²	—	218	1	no	—
334	C₂²	—	218	1	no	—
335	C₂²	C₂³×#89137	1	1	yes	characteristic
336	C₄	—	2	1	no	—
337	C₄	—	2	2	no	—
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	109	2	no	—
340	C₄	—	436	1	no	—
341	C₄	—	436	2	no	—
342	C₄	—	436	2	no	—
343	C₄	—	436	1	no	—
344	C₄	—	218	2	no	—
345	C₄	—	218	2	no	—
346	C₄	—	218	1	no	—
347	C₄	—	218	2	no	—
348	C₄	—	218	2	no	—
349	C₄	D₄×#89137	1	2	yes	—
350	C₂	—	4	1	no	—
351	C₂	—	109	1	no	—
352	C₂	—	109	1	no	—
353	C₂	—	109	1	no	—
354	C₂	—	109	1	no	—
355	C₂	—	436	1	no	—
356	C₂	C₂×D₄×#89137	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#20296094	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#20296095	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²	C₂³×#89137
commutator, socle	C₂²×C₁₀₉	C₂³×C₄
Fitting	C₂²⋊Q₈×C₁₀₉	C₄
prime radical	C₂³×D₁₀₉	C₂³
cosocle	C₂²×D₁₀₉	C₂⁴
hypercenter	C₂²⋊Q₈	#89137
hypocenter	C₁₀₉	#2323
LCS	G ▷ C₂²×C₁₀₉ ▷ C₁₀₉
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×Q₈×#89137	C₂	semidirect
3. (C₂×#89137)⋊Q₈	C₂	semidirect
4. #20295977	C₂	semidirect
5. #20295977	C₂	semidirect
8. #20295975	C₂	semidirect
10. C₄⋊C₄×#89137	C₂	semidirect
34. #16812679	C₄	semidirect
35. #16812678	C₄	semidirect
36. #16812677	C₄	semidirect
37. #16812676	C₄	semidirect
38. #16812675	C₄	semidirect
42. C₂²⋊Q₈×C₁₀₉	C₄	semidirect
180. C₁₀₉	#2323	semidirect
199. C₂²⋊Q₈	#89137	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈×#89137	2
C₂×#16812778	2
(C₂×#89137)⋊Q₈	2
#20295977	2
#20295976	2
#20295975	2
#20295968	2
C₄⋊C₄×#89137	2
C₂²⋊Q₈×D₁₀₉	2
#2323	109