Subgroups — #28379535

Order 13952.

928 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 336 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×#89137	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	(C₂×#89137)⋊Q₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20295974	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20295969	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20295968	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₄×C₂²⋊#89137	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×(C₂×#89137)⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#41×D₁₀₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂³×#89137	C₂²	1	4	yes	—
10	D₄×#89137	—	2	8	no	—
11	C₂×C₄⋊#89137	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₂²⋊#89137	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₂²⋊#89137	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×C₂²⋊#89137	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×#89137	C₂²	1	2	yes	—
16	(C₂×#89137)⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	(C₂×#89137)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	(C₂×#89137)⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
19	(C₂×#89137)⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	(C₂×#89137)⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#13182030	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
22	C₂×#13182029	C₄	1	2	yes	complemented
23	C₂×#13182029	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
24	C₂×#13182028	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
25	C₂×#13182028	C₄	1	2	yes	complemented
26	#41×D₁₀₉	—	2	8	no	—
27	C₂×Q₈×D₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×D₄×D₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×D₄×D₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×C₄×D₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×C₄×D₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#41×C₁₀₉	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
33	C₂²×#89137	—	2	8	no	—
34	C₂²×#89137	—	2	8	no	—
35	C₂²×#89137	—	4	4	no	—
36	C₂²×#89137	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×#89137	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂²×#89137	C₂³	1	2	yes	—
39	C₄⋊#89137	—	2	4	no	—
40	C₂²⋊#89137	—	2	8	no	—
41	C₂²⋊#89137	—	2	4	no	—
42	C₂²⋊#89137	—	4	2	no	—
43	C₄×#89137	—	2	4	no	—
44	C₂³×D₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×D₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
46	#13182030	—	2	4	no	—
47	#13182029	—	2	8	no	—
48	#13182029	—	2	4	no	—
49	#13182028	—	2	4	no	—
50	#13182028	—	2	8	no	—
51	C₂×Dic₂₁₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
52	C₂×Dic₂₁₈	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
53	Q₈×D₁₀₉	—	2	4	no	—
54	C₂×D₄₃₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×D₄₃₆	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
56	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
58	C₂×C₂²⋊D₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
59	D₄×D₁₀₉	—	2	8	no	—
60	D₄×D₁₀₉	D₄	1	8	yes	—
61	C₂²×Dic₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
62	C₂²×Dic₁₀₉	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
63	C₂×C₄×D₁₀₉	—	2	8	no	—
64	C₂×C₄×D₁₀₉	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
66	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
67	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
68	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
69	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄×D₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#41×C₁₀₉	—	2	4	no	—
73	C₂×Q₈×C₁₀₉	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
74	C₂×D₄×C₁₀₉	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×D₄×C₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
76	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
77	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
78	C₂³×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
80	C₂²×D₁₀₉	—	2	4	no	—
81	C₂²×D₁₀₉	—	2	2	no	—
82	C₂²×D₁₀₉	—	2	2	no	—
83	C₂²×D₁₀₉	—	2	2	no	—
84	C₂²×D₁₀₉	—	2	2	no	—
85	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
86	C₂²×D₁₀₉	—	2	1	no	—
87	C₂²×D₁₀₉	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×D₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂²×D₁₀₉	C₂×D₄	1	8	yes	—
90	C₂²×D₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
91	C₂×#89137	—	2	2	no	—
92	C₂×#89137	—	2	2	no	—
93	C₂×#89137	—	2	2	no	—
94	C₂×#89137	—	2	4	no	—
95	C₂×#89137	—	2	2	no	—
96	C₂×#89137	—	2	4	no	—
97	C₂×#89137	—	2	4	no	—
98	C₂×#89137	—	2	2	no	—
99	C₂×#89137	—	4	16	no	—
100	C₂×#89137	#41	1	4	yes	complemented
101	Q₈×C₁₀₉	—	2	2	no	—
102	D₄×C₁₀₉	—	2	4	no	—
103	D₄×C₁₀₉	C₂²⋊C₄	1	4	yes	complemented
104	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	4	no	—
105	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
106	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂×C₄×C₁₀₉	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂²⋊D₁₀₉	—	2	4	no	—
110	C₂²⋊D₁₀₉	—	2	4	no	—
111	C₂²⋊D₁₀₉	C₂²⋊C₄	1	8	yes	complemented
112	C₂×Dic₁₀₉	—	2	4	no	—
113	C₂×Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
114	C₂×Dic₁₀₉	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂×Dic₁₀₉	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂×Dic₁₀₉	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	D₄₃₆	—	2	4	no	—
118	D₄₃₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	complemented
119	C₄×D₁₀₉	—	2	4	no	—
120	C₄×D₁₀₉	—	2	4	no	—
121	C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
122	C₄×D₁₀₉	—	2	4	no	—
123	C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
124	C₄×D₁₀₉	—	2	2	no	—
125	C₄×D₁₀₉	C₂×D₄	1	4	yes	—
126	Dic₂₁₈	—	2	2	no	—
127	Dic₂₁₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₁₀₉	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₁₀₉	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₁₀₉	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₁₀₉	—	2	1	no	—
132	C₂²×C₁₀₉	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₁₀₉	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
134	C₂²×C₁₀₉	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
136	C₂×D₁₀₉	—	2	2	no	—
137	C₂×D₁₀₉	—	2	8	no	—
138	C₂×D₁₀₉	—	2	8	no	—
139	C₂×D₁₀₉	—	2	1	no	—
140	C₂×D₁₀₉	—	2	1	no	—
141	C₂×D₁₀₉	—	2	1	no	—
142	C₂×D₁₀₉	—	4	2	no	—
143	C₂×D₁₀₉	—	4	2	no	—
144	C₂×D₁₀₉	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
145	C₂×D₁₀₉	C₂²×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×D₁₀₉	C₂×#41	1	2	yes	—
147	C₂×D₁₀₉	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
148	C₂×D₁₀₉	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
149	#89137	—	2	4	no	—
150	#89137	—	4	4	no	—
151	#89137	—	4	2	no	—
152	C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
153	C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
154	C₄×C₁₀₉	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
155	Dic₁₀₉	—	2	2	no	—
156	Dic₁₀₉	—	2	1	no	—
157	Dic₁₀₉	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₁₀₉	—	2	4	no	—
159	C₂×C₁₀₉	—	4	1	no	—
160	C₂×C₁₀₉	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₁₀₉	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₁₀₉	#520	1	1	yes	characteristic
163	D₁₀₉	—	2	4	no	—
164	D₁₀₉	—	4	1	no	—
165	D₁₀₉	#546	1	2	yes	—
166	D₁₀₉	#547	1	2	yes	—
167	#2339	—	109	1	no	maximal, Sylow
168	C₁₀₉	#2339	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
169	C₂²×#41	—	109	1	no	—
170	C₂×C₄×D₄	—	109	2	no	—
171	#391	—	109	2	no	—
172	#386	—	109	4	no	—
173	#381	—	109	2	no	—
174	#380	—	109	1	no	—
175	C₄×C₂²⋊C₄	—	109	1	no	—
176	C₂×#95	—	109	2	no	—
177	C₂×#41	—	109	1	no	—
178	C₂×#41	—	109	1	no	—
179	C₂×#41	—	109	2	no	—
180	C₂×#41	—	109	2	no	—
181	C₂×#41	—	109	1	no	—
182	C₂×#41	—	218	8	no	—
183	C₂×#41	#89137	1	1	yes	characteristic, complemented
184	C₂²×Q₈	—	109	1	no	—
185	C₂²×D₄	—	109	1	no	—
186	C₂²×D₄	—	109	2	no	—
187	C₂³×C₄	—	109	2	no	—
188	C₂³×C₄	—	109	1	no	—
189	C₂³×C₄	—	109	4	no	—
190	C₄×D₄	—	218	8	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	109	2	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	4	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	109	2	no	—
195	C₂×C₄²	—	109	2	no	—
196	#95	—	109	1	no	—
197	#95	—	109	2	no	—
198	#95	—	109	4	no	—
199	#95	—	109	1	no	—
200	#95	—	109	4	no	—
201	C₂⁴	—	109	2	no	—
202	C₂⁴	—	109	1	no	—
203	#41	—	2	4	no	—
204	#41	—	218	8	no	—
205	#41	—	218	4	no	—
206	#41	—	218	8	no	—
207	#41	—	218	4	no	—
208	#41	—	218	4	no	—
209	C₂×Q₈	—	109	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	109	1	no	—
211	C₂×Q₈	—	218	4	no	—
212	C₂×Q₈	C₂×#89137	1	1	yes	characteristic, complemented
213	C₂×D₄	—	109	2	no	—
214	C₂×D₄	—	109	8	no	—
215	C₂×D₄	—	109	2	no	—
216	C₂×D₄	—	109	2	no	—
217	C₂×D₄	—	109	1	no	—
218	C₂×D₄	—	109	2	no	—
219	C₂×D₄	—	218	8	no	—
220	C₂×D₄	C₂×#89137	1	1	yes	characteristic
221	C₂×D₄	C₂×#89137	1	2	yes	complemented
222	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
229	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	109	1	no	—
231	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	109	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	109	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	436	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	218	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	218	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	218	8	no	—
238	C₂²×C₄	—	218	8	no	—
239	C₂²×C₄	C₂×#89137	1	2	yes	complemented
240	C₂²×C₄	C₂×#89137	1	1	yes	characteristic, complemented
241	C₄⋊C₄	—	218	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	436	2	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	218	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	218	8	no	—
245	C₄²	—	218	4	no	—
246	C₂³	—	109	1	no	—
247	C₂³	—	109	8	no	—
248	C₂³	—	109	2	no	—
249	C₂³	—	109	1	no	—
250	C₂³	—	218	1	no	—
251	C₂³	—	218	2	no	—
252	C₂³	—	218	2	no	—
253	C₂³	—	218	1	no	—
254	C₂³	—	218	2	no	—
255	C₂³	—	218	4	no	—
256	C₂³	—	218	2	no	—
257	C₂³	C₂²×#89137	1	1	yes	characteristic
258	C₂³	C₂²×#89137	1	2	yes	—
259	Q₈	—	2	2	no	—
260	Q₈	—	218	4	no	—
261	Q₈	—	218	2	no	—
262	D₄	—	2	4	no	—
263	D₄	—	109	8	no	—
264	D₄	—	109	4	no	—
265	D₄	—	218	4	no	—
266	D₄	—	218	4	no	—
267	D₄	—	218	4	no	—
268	D₄	C₂²⋊#89137	1	4	yes	complemented
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	109	1	no	—
272	C₂×C₄	—	109	4	no	—
273	C₂×C₄	—	109	4	no	—
274	C₂×C₄	—	109	1	no	—
275	C₂×C₄	—	109	2	no	—
276	C₂×C₄	—	436	16	no	—
277	C₂×C₄	—	218	2	no	—
278	C₂×C₄	—	218	2	no	—
279	C₂×C₄	—	218	4	no	—
280	C₂×C₄	—	218	4	no	—
281	C₂×C₄	—	218	4	no	—
282	C₂×C₄	—	218	2	no	—
283	C₂×C₄	—	218	2	no	—
284	C₂×C₄	—	218	4	no	—
285	C₂×C₄	—	218	4	no	—
286	C₂×C₄	—	218	2	no	—
287	C₂×C₄	—	218	4	no	—
288	C₂×C₄	—	218	2	no	—
289	C₂×C₄	—	218	2	no	—
290	C₂×C₄	—	218	2	no	—
291	C₂×C₄	—	218	4	no	—
292	C₂×C₄	—	218	2	no	—
293	C₂×C₄	C₂²×#89137	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	C₂²×#89137	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂²×#89137	1	1	yes	characteristic
296	C₂²	—	2	2	no	—
297	C₂²	—	2	2	no	—
298	C₂²	—	2	1	no	—
299	C₂²	—	2	1	no	—
300	C₂²	—	2	1	no	—
301	C₂²	—	109	2	no	—
302	C₂²	—	109	2	no	—
303	C₂²	—	109	1	no	—
304	C₂²	—	109	1	no	—
305	C₂²	—	109	4	no	—
306	C₂²	—	436	2	no	—
307	C₂²	—	436	2	no	—
308	C₂²	—	218	8	no	—
309	C₂²	—	218	8	no	—
310	C₂²	—	218	1	no	—
311	C₂²	—	218	1	no	—
312	C₂²	—	218	1	no	—
313	C₂²	—	218	2	no	—
314	C₂²	—	218	2	no	—
315	C₂²	C₂×C₂²⋊#89137	1	4	yes	—
316	C₂²	C₂³×#89137	1	1	yes	characteristic
317	C₄	—	2	1	no	—
318	C₄	—	2	2	no	—
319	C₄	—	109	2	no	—
320	C₄	—	436	4	no	—
321	C₄	—	436	2	no	—
322	C₄	—	218	4	no	—
323	C₄	—	218	1	no	—
324	C₄	—	218	2	no	—
325	C₄	C₂×C₂²⋊#89137	1	2	yes	—
326	C₂	—	2	4	no	—
327	C₂	—	4	1	no	—
328	C₂	—	109	2	no	—
329	C₂	—	109	2	no	—
330	C₂	—	436	1	no	—
331	C₂	—	218	4	no	—
332	C₂	C₂²×C₂²⋊#89137	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#41×#89137	1	1	yes	characteristic
334	C₂	#20296095	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²	C₂³×#89137
commutator, socle	C₂²×C₁₀₉	C₂³×C₄
Fitting	C₂×#41×C₁₀₉	C₄
prime radical	C₂×#41×D₁₀₉	C₂
cosocle	C₂²×D₁₀₉	C₂⁴
hypercenter	C₂×#41	#89137
hypocenter	C₁₀₉	#2339
LCS	G ▷ C₂²×C₁₀₉ ▷ C₁₀₉
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×#41

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×D₄×#89137	C₂	semidirect
2. (C₂×#89137)⋊Q₈	C₂	semidirect
3. #20295974	C₂	semidirect
4. #20295969	C₂	semidirect
5. #20295968	C₂	semidirect
6. C₄×C₂²⋊#89137	C₂	semidirect
7. C₂×(C₂×#89137)⋊C₄	C₂	semidirect
21. C₂×#13182030	C₄	semidirect
22. C₂×#13182029	C₄	semidirect
23. C₂×#13182029	C₄	semidirect
24. C₂×#13182028	C₄	semidirect
25. C₂×#13182028	C₄	semidirect
32. C₂×#41×C₁₀₉	C₄	semidirect
51. C₂×Dic₂₁₈	C₂×C₄	semidirect
52. C₂×Dic₂₁₈	C₂×C₄	semidirect
55. C₂×D₄₃₆	C₂×C₄	semidirect
57. C₂×C₂²⋊D₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
58. C₂×C₂²⋊D₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
61. C₂²×Dic₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
62. C₂²×Dic₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
65. C₂×C₄×D₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
66. C₂×C₄×D₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
67. C₂×C₄×D₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
68. C₂×C₄×D₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
73. C₂×Q₈×C₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
75. C₂×D₄×C₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
76. C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
77. C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂×C₄	semidirect
100. C₂×#89137	#41	semidirect
103. D₄×C₁₀₉	C₂²⋊C₄	semidirect
111. C₂²⋊D₁₀₉	C₂²⋊C₄	semidirect
118. D₄₃₆	C₂²⋊C₄	semidirect
168. C₁₀₉	#2339	semidirect
183. C₂×#41	#89137	semidirect
212. C₂×Q₈	C₂×#89137	semidirect
221. C₂×D₄	C₂×#89137	semidirect
239. C₂²×C₄	C₂×#89137	semidirect
240. C₂²×C₄	C₂×#89137	semidirect
268. D₄	C₂²⋊#89137	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×#89137	2
(C₂×#89137)⋊Q₈	2
#20295974	2
#20295969	2
#20295968	2
C₄×C₂²⋊#89137	2
C₂×(C₂×#89137)⋊C₄	2
C₂×#41×D₁₀₉	2
#2339	109