Subgroups — C₂²×#16837878 #29495272

Order 15104.

11230 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 276 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×Q₈×D₅₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16837878	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
3	C₂²×Q₈×Dic₅₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂²×C₄×Dic₁₁₈	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	C₂²×#14273692	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#14273685	C₂	1	3	yes	maximal
7	C₂²×#14273684	C₂	1	3	yes	maximal
8	C₂²×C₄×Q₈×C₅₉	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×Dic₁₁₈	C₂²	1	3	yes	—
10	C₂²×Q₈×D₅₉	C₄	1	32	yes	complemented
11	C₂²×Q₈×D₅₉	C₂²	1	24	yes	—
12	C₂³×C₄×D₅₉	C₂²	1	3	yes	—
13	#16837878	C₂²	1	256	yes	direct product factor
14	C₂×Q₈×Dic₅₉	C₂²	1	24	yes	complemented
15	C₂×C₄×Dic₁₁₈	C₂²	1	72	yes	complemented
16	C₂×#14273692	C₂²	1	72	yes	complemented
17	C₂×#14273685	C₂²	1	72	yes	—
18	C₂×#14273684	C₂²	1	72	yes	—
19	C₂²×C₄⋊Dic₅₉	C₂²	1	3	yes	—
20	C₂²×Dic₅₉⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
21	C₂²×Dic₅₉⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
22	C₂²×(C₂×D₅₉)⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×(C₂×D₅₉)⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
24	C₂²×C₄×Dic₅₉	C₂²	1	3	yes	—
25	C₂²×C₄×Dic₅₉	C₂²	1	6	yes	—
26	C₂³×Q₈×C₅₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×Q₈×C₅₉	C₂²	1	24	yes	complemented
28	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₉	C₂²	1	3	yes	—
29	C₂²×C₄²×C₅₉	C₂²	1	3	yes	—
30	C₂⁴×D₅₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×Dic₁₁₈	C₂×C₄	1	48	yes	—
32	C₂²×Dic₁₁₈	C₂³	1	36	yes	—
33	C₂×Q₈×D₅₉	C₂×C₄	1	384	yes	complemented
34	C₂×Q₈×D₅₉	C₂³	1	64	yes	—
35	C₂³×Dic₅₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×Dic₅₉	C₂³	1	3	yes	—
37	C₂³×Dic₅₉	C₂³	1	3	yes	—
38	C₂²×C₄×D₅₉	C₂×C₄	1	48	yes	—
39	C₂²×C₄×D₅₉	C₂³	1	36	yes	—
40	Q₈×Dic₅₉	C₂³	1	64	yes	complemented
41	C₄×Dic₁₁₈	C₂³	1	192	yes	complemented
42	#14273692	C₂³	1	192	yes	complemented
43	#14273685	C₂³	1	192	yes	—
44	#14273684	C₂³	1	192	yes	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₉	C₂³	1	36	yes	—
46	C₂×Dic₅₉⋊C₄	C₂³	1	36	yes	—
47	C₂×Dic₅₉⋊C₄	C₂³	1	36	yes	—
48	C₂×(C₂×D₅₉)⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
49	C₂×(C₂×D₅₉)⋊C₄	C₂³	1	36	yes	—
50	C₂×C₄×Dic₅₉	C₂³	1	36	yes	—
51	C₂×C₄×Dic₅₉	C₂³	1	72	yes	—
52	C₂²×Q₈×C₅₉	C₂×C₄	1	16	yes	—
53	C₂²×Q₈×C₅₉	C₂³	1	12	yes	—
54	C₂³×C₄×C₅₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₄×C₅₉	C₂³	1	3	yes	—
56	C₂³×C₄×C₅₉	C₂³	1	3	yes	—
57	C₄×Q₈×C₅₉	C₂³	1	64	yes	complemented
58	C₂×C₄⋊C₄×C₅₉	C₂³	1	36	yes	—
59	C₂×C₄²×C₅₉	C₂³	1	36	yes	—
60	C₂⁴×C₅₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×D₅₉	—	2	4	no	—
62	C₂³×D₅₉	—	2	4	no	—
63	C₂³×D₅₉	C₂²×C₄	1	8	yes	—
64	C₂³×D₅₉	C₂⁴	1	6	yes	—
65	C₂×Q₈×C₅₉	C₂²×C₄	1	96	yes	—
66	C₂×Q₈×C₅₉	C₂⁴	1	16	yes	—
67	C₂²×C₄×C₅₉	—	2	12	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₉	—	2	4	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₉	C₂²×C₄	1	24	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₉	C₂⁴	1	6	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₉	C₂⁴	1	18	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₉	C₂⁴	1	18	yes	—
73	C₂²×Dic₅₉	—	2	4	no	—
74	C₂²×Dic₅₉	—	2	12	no	—
75	C₂²×Dic₅₉	C₂²×C₄	1	24	yes	—
76	C₂²×Dic₅₉	C₂⁴	1	6	yes	—
77	C₂²×Dic₅₉	C₂⁴	1	18	yes	—
78	C₂²×Dic₅₉	C₂⁴	1	18	yes	—
79	Q₈×D₅₉	C₂²×C₄	1	512	yes	complemented
80	C₂×C₄×D₅₉	C₂²×C₄	1	288	yes	—
81	C₂×C₄×D₅₉	C₂⁴	1	48	yes	—
82	C₂×Dic₁₁₈	C₂²×C₄	1	288	yes	—
83	C₂×Dic₁₁₈	C₂⁴	1	48	yes	—
84	C₄⋊C₄×C₅₉	C₂⁴	1	48	yes	—
85	C₄²×C₅₉	C₂⁴	1	48	yes	—
86	(C₂×D₅₉)⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
87	(C₂×D₅₉)⋊C₄	C₂⁴	1	48	yes	—
88	C₄⋊Dic₅₉	C₂⁴	1	48	yes	—
89	Dic₅₉⋊C₄	C₂⁴	1	48	yes	—
90	Dic₅₉⋊C₄	C₂⁴	1	48	yes	—
91	C₄×Dic₅₉	C₂⁴	1	48	yes	—
92	C₄×Dic₅₉	C₂⁴	1	96	yes	—
93	C₂³×C₅₉	C₂³×C₄	1	4	yes	—
94	C₂³×C₅₉	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
95	C₂³×C₅₉	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
96	C₂³×C₅₉	C₂⁵	1	3	yes	—
97	C₂²×D₅₉	—	2	32	no	—
98	C₂²×D₅₉	—	2	12	no	—
99	C₂²×D₅₉	—	2	12	no	—
100	C₂²×D₅₉	C₂³×C₄	1	24	yes	—
101	C₂²×D₅₉	C₂⁵	1	4	yes	—
102	Q₈×C₅₉	C₂³×C₄	1	64	yes	—
103	C₂×C₄×C₅₉	—	2	36	no	—
104	C₂×C₄×C₅₉	—	2	12	no	—
105	C₂×C₄×C₅₉	C₂³×C₄	1	72	yes	—
106	C₂×C₄×C₅₉	C₂⁵	1	12	yes	—
107	C₂×C₄×C₅₉	C₂⁵	1	4	yes	—
108	C₂×C₄×C₅₉	C₂⁵	1	12	yes	—
109	C₂×Dic₅₉	—	2	12	no	—
110	C₂×Dic₅₉	—	2	36	no	—
111	C₂×Dic₅₉	C₂³×C₄	1	72	yes	—
112	C₂×Dic₅₉	C₂⁵	1	4	yes	—
113	C₂×Dic₅₉	C₂⁵	1	12	yes	—
114	C₂×Dic₅₉	C₂⁵	1	12	yes	—
115	C₄×D₅₉	C₂³×C₄	1	192	yes	—
116	Dic₁₁₈	C₂³×C₄	1	192	yes	—
117	C₂²×#519	—	59	1	no	maximal, Sylow
118	C₂²×C₅₉	#519	1	16	yes	complemented
119	C₂²×C₅₉	C₂⁴×C₄	1	6	yes	—
120	C₂²×C₅₉	C₂×2₋¹⁺⁴	1	6	yes	—
121	C₂²×C₅₉	C₂×2₋¹⁺⁴	1	6	yes	—
122	C₂²×C₅₉	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
123	C₂×D₅₉	—	2	4	no	—
124	C₂×D₅₉	—	2	4	no	—
125	C₂×D₅₉	—	2	48	no	—
126	C₂×D₅₉	C₂⁴×C₄	1	8	yes	—
127	C₄×C₅₉	—	2	12	no	—
128	C₄×C₅₉	—	2	4	no	—
129	C₄×C₅₉	C₂⁴×C₄	1	24	yes	—
130	Dic₅₉	—	2	4	no	—
131	Dic₅₉	—	2	12	no	—
132	Dic₅₉	C₂⁴×C₄	1	24	yes	—
133	C₂⁴×Q₈	—	59	1	no	—
134	C₂×#519	—	59	48	no	—
135	C₂²×C₄×Q₈	—	59	3	no	—
136	C₂²×C₄×Q₈	—	59	1	no	—
137	C₂²×C₄×Q₈	—	59	3	no	—
138	C₂²×C₄×Q₈	D₅₉	1	1	yes	characteristic, complemented
139	C₂²×#117	—	59	3	no	—
140	C₂²×#117	—	59	3	no	—
141	C₂×C₅₉	C₂×#519	1	12	yes	complemented
142	C₂×C₅₉	C₂⁵×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₅₉	C₂²×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₅₉	C₂²×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
145	D₅₉	—	2	8	no	—
146	C₂³×Q₈	—	59	32	no	—
147	C₂³×Q₈	—	59	24	no	—
148	C₂³×Q₈	—	59	3	no	—
149	C₂³×Q₈	C₂×D₅₉	1	1	yes	characteristic
150	C₂⁴×C₄	—	59	3	no	—
151	#519	—	59	256	no	—
152	C₂×C₄×Q₈	—	59	24	no	—
153	C₂×C₄×Q₈	—	59	72	no	—
154	C₂×C₄×Q₈	—	59	72	no	—
155	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅₉	1	24	yes	complemented
156	C₂×#117	—	59	72	no	—
157	C₂×#117	—	59	72	no	—
158	C₂²×C₄⋊C₄	—	59	3	no	—
159	C₂²×C₄⋊C₄	—	59	3	no	—
160	C₂²×C₄⋊C₄	—	59	3	no	—
161	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₅₉	1	3	yes	—
162	C₂²×C₂²⋊C₄	—	59	1	no	—
163	C₂²×C₂²⋊C₄	—	59	3	no	—
164	C₂²×C₄²	—	59	6	no	—
165	C₂²×C₄²	—	59	3	no	—
166	C₂²×C₄²	C₂×D₅₉	1	3	yes	—
167	C₅₉	C₂²×#519	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
168	C₂⁵	—	59	1	no	—
169	C₂²×Q₈	—	59	384	no	—
170	C₂²×Q₈	—	59	64	no	—
171	C₂²×Q₈	—	59	48	no	—
172	C₂²×Q₈	—	59	36	no	—
173	C₂²×Q₈	C₄×D₅₉	1	16	yes	—
174	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₉	1	12	yes	—
175	C₂³×C₄	—	59	3	no	—
176	C₂³×C₄	—	59	48	no	—
177	C₂³×C₄	—	59	36	no	—
178	C₂³×C₄	—	59	1	no	—
179	C₂³×C₄	—	59	3	no	—
180	C₂³×C₄	C₂²×D₅₉	1	1	yes	characteristic
181	C₂³×C₄	C₂²×D₅₉	1	3	yes	—
182	C₂³×C₄	C₂²×D₅₉	1	3	yes	—
183	C₄×Q₈	—	59	64	no	—
184	C₄×Q₈	—	59	192	no	—
185	C₄×Q₈	—	59	192	no	—
186	C₄×Q₈	C₂²×D₅₉	1	64	yes	complemented
187	#117	—	59	192	no	—
188	#117	—	59	192	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	59	36	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	59	36	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	59	36	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₉	1	36	yes	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	59	36	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	59	12	no	—
195	C₂×C₄²	—	59	72	no	—
196	C₂×C₄²	—	59	36	no	—
197	C₂×C₄²	C₂²×D₅₉	1	36	yes	—
198	C₂⁴	—	59	8	no	—
199	C₂⁴	—	59	6	no	—
200	C₂⁴	—	118	4	no	—
201	C₂⁴	—	118	4	no	—
202	C₂⁴	C₂³×D₅₉	1	1	yes	characteristic
203	C₂×Q₈	—	59	512	no	—
204	C₂×Q₈	—	59	288	no	—
205	C₂×Q₈	—	59	48	no	—
206	C₂×Q₈	C₂×C₄×D₅₉	1	96	yes	—
207	C₂×Q₈	C₂³×D₅₉	1	16	yes	—
208	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	59	24	no	—
211	C₂²×C₄	—	59	18	no	—
212	C₂²×C₄	—	59	288	no	—
213	C₂²×C₄	—	59	48	no	—
214	C₂²×C₄	—	59	6	no	—
215	C₂²×C₄	—	59	18	no	—
216	C₂²×C₄	—	118	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	118	12	no	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₉	1	24	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂³×D₅₉	1	18	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂³×D₅₉	1	6	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂³×D₅₉	1	18	yes	—
222	C₄⋊C₄	—	59	48	no	—
223	C₄⋊C₄	—	59	48	no	—
224	C₄⋊C₄	—	59	48	no	—
225	C₄⋊C₄	C₂³×D₅₉	1	48	yes	—
226	C₂²⋊C₄	—	59	48	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	59	16	no	—
228	C₄²	—	59	96	no	—
229	C₄²	—	59	48	no	—
230	C₄²	C₂³×D₅₉	1	48	yes	—
231	C₂³	—	59	24	no	—
232	C₂³	—	59	4	no	—
233	C₂³	—	118	12	no	—
234	C₂³	—	118	12	no	—
235	C₂³	—	118	32	no	—
236	C₂³	C₂²×C₄×D₅₉	1	4	yes	—
237	C₂³	#14273774	1	4	yes	—
238	C₂³	#14273775	1	4	yes	—
239	C₂³	C₂⁴×D₅₉	1	3	yes	—
240	Q₈	—	59	192	no	—
241	Q₈	C₂²×C₄×D₅₉	1	64	yes	—
242	C₂×C₄	—	2	36	no	—
243	C₂×C₄	—	2	12	no	—
244	C₂×C₄	—	59	72	no	—
245	C₂×C₄	—	59	12	no	—
246	C₂×C₄	—	59	192	no	—
247	C₂×C₄	—	59	4	no	—
248	C₂×C₄	—	59	12	no	—
249	C₂×C₄	—	118	12	no	—
250	C₂×C₄	—	118	36	no	—
251	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₉	1	72	yes	—
252	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₉	1	12	yes	—
253	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₉	1	4	yes	—
254	C₂×C₄	C₂⁴×D₅₉	1	12	yes	—
255	C₂²	—	59	8	no	—
256	C₂²	—	118	48	no	—
257	C₂²	—	118	4	no	—
258	C₂²	—	118	4	no	—
259	C₂²	#16837878	1	16	yes	direct product factor
260	C₂²	C₂³×C₄×D₅₉	1	6	yes	—
261	C₂²	C₂×#14273774	1	6	yes	—
262	C₂²	C₂×#14273775	1	6	yes	—
263	C₂²	C₂⁵×D₅₉	1	1	yes	characteristic
264	C₄	—	2	12	no	—
265	C₄	—	2	4	no	—
266	C₄	—	59	24	no	—
267	C₄	—	118	4	no	—
268	C₄	—	118	12	no	—
269	C₄	C₂³×C₄×D₅₉	1	24	yes	—
270	C₂	—	118	8	no	—
271	C₂	C₂×#16837878	1	12	yes	direct product factor
272	C₂	C₂⁴×C₄×D₅₉	1	1	yes	characteristic
273	C₂	C₂²×#14273774	1	1	yes	characteristic
274	C₂	C₂²×#14273775	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂³×D₅₉
commutator	C₂×C₅₉	C₂⁵×C₄
Frattini	C₂²	C₂⁵×D₅₉
Fitting	C₂²×C₄×Q₈×C₅₉	C₂
socle	C₂⁴×C₅₉	C₂⁴
prime radical	C₂⁴×D₅₉	C₂³
cosocle	C₂²×C₅₉	C₂⁶
hypercenter	C₂²×C₄×Q₈	D₅₉
hypocenter	C₅₉	C₂²×#519
LCS	G ▷ C₂×C₅₉ ▷ C₅₉
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄×Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16837878	C₂	direct (N × H)
3. C₂²×Q₈×Dic₅₉	C₂	semidirect
4. C₂²×C₄×Dic₁₁₈	C₂	semidirect
5. C₂²×#14273692	C₂	semidirect
8. C₂²×C₄×Q₈×C₅₉	C₂	semidirect
10. C₂²×Q₈×D₅₉	C₄	semidirect
13. #16837878	C₂²	direct (N × H)
14. C₂×Q₈×Dic₅₉	C₂²	semidirect
15. C₂×C₄×Dic₁₁₈	C₂²	semidirect
16. C₂×#14273692	C₂²	semidirect
27. C₂×C₄×Q₈×C₅₉	C₂²	semidirect
33. C₂×Q₈×D₅₉	C₂×C₄	semidirect
40. Q₈×Dic₅₉	C₂³	semidirect
41. C₄×Dic₁₁₈	C₂³	semidirect
42. #14273692	C₂³	semidirect
57. C₄×Q₈×C₅₉	C₂³	semidirect
79. Q₈×D₅₉	C₂²×C₄	semidirect
118. C₂²×C₅₉	#519	semidirect
138. C₂²×C₄×Q₈	D₅₉	semidirect
141. C₂×C₅₉	C₂×#519	semidirect
155. C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅₉	semidirect
167. C₅₉	C₂²×#519	semidirect
186. C₄×Q₈	C₂²×D₅₉	semidirect
259. C₂²	#16837878	direct (N × H)
271. C₂	C₂×#16837878	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×Q₈×D₅₉	2
C₂×#16837878	2
C₂²×Q₈×Dic₅₉	2
C₂²×C₄×Dic₁₁₈	2
C₂²×#14273692	2
C₂²×#14273685	2
C₂²×#14273684	2
C₂²×C₄×Q₈×C₅₉	2
C₂²×#519	59

Subgroups — C22×#16837878 #29495272

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#16837878 #29495272